人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教案（全冊）

16.1二次根式

第1課時(shí)二次根式的概念

解析：要判斷一個(gè)根式是不是二次根式,

教爵1?一是看根指數(shù)是不是2,二是看被開方數(shù)是

1.能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)不是非負(fù)數(shù).

量及數(shù)量關(guān)系，體會(huì)研究二次根式的必要性;解：因?yàn)?TLN(-7)2,嗜二

(難點(diǎn))

2.能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次

,yj3—x(xW3),AJ(a-1)2,

根式的概念及性質(zhì)，會(huì)求二次根式中被開方

數(shù)中字母的取值范圍.(重點(diǎn))N(a—b)4加NO)中的根指數(shù)都是2,且被

開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.狗的

根指數(shù)不是2,1-5,4一x(x20),7-x2-5

的被開方數(shù)小于0,所以不是二次根式.

一、情境導(dǎo)入方法總結(jié)：判斷一個(gè)式子是不是二次根

問題1：你能用帶有根號的式子填空嗎？式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)

(1)面積為3的正方形的邊長為帶二次根號;(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

,面積為S的正方形的邊長為探究點(diǎn)二：二次根式有意義的條件

［類型—］根據(jù)二次根式有意義求字

(2)一個(gè)長方形圍欄，長是寬的2倍，面母的取值范圍

積為130m2,則它的寬為m.M求使下列式子有意義的x的取值

(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面范圍.

所用的時(shí)間f(單位：s)與落下的高度〃(單位:

1"\/3—xA/X+5

m)滿足關(guān)系。=5凡如果用含有〃的式子表⑴gQ*⑶-

示t,則t—.

問題2：上面得到的式子小,小，麗,解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意

需分別表示什么意義？它們有什么共同義，被開方數(shù)大于或等于0且分母不等于0,

列不等式(組)求解.

特征？...4

解：(1)由題意得4—3x>0,解得％V).

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次根式的定義

硒1下列各式中，哪些是二次根式，哪

些不是二次根式？

3—x20,

(1)VH；(2AP5；(3尺(一7)2；(2)由題意得彳二解得xW3且

2￥0,

(4)^/13；I；⑹-3—x(xW3)；

xW2.當(dāng)xW3且無#2時(shí)，”有意義;

(7)yj-x(x30)；(8)y/(a-l)2；x—2

(9y\/—x2—5；______

(1()NQa-b)2(。心o).

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

卜+520,②A/I+抖/1+白圭=3

（3）由題意得…解得X2—5且

xWO.當(dāng)5且x^O時(shí)，丈?^有意義.

（1）請你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，

方法總結(jié)：含二次根式的式子有意義的寫出\人+1+*的結(jié)果;

條件：

（1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，（2）請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試

那么它們有意義的條件是各個(gè)二次根式中寫出用

的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；（2）如果所給式含n的式子表示的等式（〃為正整數(shù)）.

子中含有分母，則除了保證二次根式中的被解析：（1）從三個(gè)等式中可以發(fā)現(xiàn)，等號

開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.右邊第一個(gè)加數(shù)都是1,第二個(gè)加數(shù)是個(gè)分

［類型二］利用二次根式的非負(fù)性求數(shù)，設(shè)分母為n,第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母就是n

+1,結(jié)果是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1,分

n（1）已知滿足寸24+8+/一小數(shù)部分的分子也是1,分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分

1=0，解關(guān)于x的方程（a+2）x+/?2=a—1；母的積；（2）根據(jù)⑴找的規(guī)律寫出表示這個(gè)

（2）已知x、y都是實(shí)數(shù)，且3+規(guī)律的式子.

產(chǎn)G+4,求產(chǎn)的平方根.

解析：（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性和絕對

值的非負(fù)性求解即可；（2）根據(jù)二次根式的非

負(fù)性即可求得x的值，進(jìn)而求得），的值，進(jìn)

而可求出產(chǎn)的平方根.口7”7尸〃為正整數(shù)）.

儼+8=0,

解：⑴根據(jù)題意得\h-y[3=0,解得方法總結(jié)：解答規(guī)律探究性問題，都要

通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通

過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示

[a——4,

\b=y[3.則（。+2）x+爐=。-1,即一2x+3出來.

三、板書設(shè)計(jì)

=-5,解得x=4；1.二次根式的定義

一般地，我們把形如6320）的式子叫

|%一320,

（2）根據(jù)題意得、解得x=3.則做二次根式.

13一x30,

2.二次根式有意義的條件

y=4,故7V=43=64,±^64=±8,.'.y，的平被開方數(shù)（式）為非負(fù)數(shù)；g有意義04

方根為±8.與0.

方法總結(jié)：二次根式和絕對值都具有非艮思

負(fù)性，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個(gè)非負(fù)數(shù)投鮮

都為0.通過將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與對

探究點(diǎn)三：和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究比，隨后由學(xué)生熟悉的實(shí)際問題出發(fā)，用已

性問題有的知識(shí)進(jìn)行探究，由此引入二次根式.在

MEI先觀察下列等式，再回答下列問教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是

題.實(shí)際的需要，體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活間的緊

刃1+++］=1+＞昌=卓密聯(lián)系，以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

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第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)

一小)；

1H(3)/—4/+4=(/—2)2=［(x+5)(工一

i.經(jīng)歷二次根式的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，體6)］2=(x+即)2。一書)2.

驗(yàn)歸納、猜想的思想方法；(重點(diǎn))方法總結(jié)：一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)

2.了解并掌握二次根式的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用無法分解因式，可是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就可以繼

其進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.(重點(diǎn)，難點(diǎn))續(xù)分解因式.這就需要把一個(gè)非負(fù)數(shù)表示成

平方的形式.

探究點(diǎn)二：二次根式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

［類型一］結(jié)合數(shù)軸利用二次根式的

性質(zhì)求值或化簡

一、情境導(dǎo)入廁?己知實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如

而等于什么？圖所示，化簡：y/(a+1)2+2,\］(4>-1)2

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,一I。一例.

—3,…分別計(jì)算出對應(yīng)的后的值，看看有

???141?ill］??一

什么規(guī)律._________5-4-3-2-I0I2345

y/27—y［4—2；yj(—2)2；解析:根據(jù)數(shù)軸確定〃和匕的取值范圍，

5

A/3=A/9=3；y］(-3)2=4=3；???進(jìn)而確定。+1、1和。-b的取值范圍，

你能概括一下立的值嗎？

再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值的意義化

二、合作探究簡求解.

探究點(diǎn)一：二次根式的性質(zhì)解：從數(shù)軸上〃，8的位置關(guān)系可知一2

［類型—］利用、應(yīng)=13、(、份)2=a進(jìn)<a<—1,1<b<2,且力>〃，故〃+1V0,

行計(jì)算b—1>0,a—1V0.原式=|a+l|+2|Z?—1|—

硒I化簡：\a-b\=—(a+\)+2(b-l)+(a-b)=b-3.

(1)(小)2；(2市；(3川(—5)2；(4)(-方法總結(jié)：結(jié)合數(shù)軸利用二次根式的性

小)2.質(zhì)求值或化簡，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸判斷

解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即字母的取值范圍和熟練運(yùn)用二次根式的性

可.質(zhì).

解:。)(小)2=5：⑵迎=5；［類型二］二次根式的化簡與三角形

(3爾(-5)2=5；(4)(一幣)2=5.三邊關(guān)系的綜合

方法總結(jié)：利用歸=團(tuán)進(jìn)行計(jì)算與化的II已知a、〃、c是的三邊長，

簡，嘉的運(yùn)算法則仍然適用，同時(shí)要注意二化簡y］(a+b+c)2—yj(b+c—a)2+

次根式的被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù).yj(c—b—a)2.

［類型二］(T)2=a(a20)的有關(guān)應(yīng)用解析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出〃+

礫在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.c>a,.根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出含

(l)a2—13；(2)4a2—5；(3)^—4x2+4.有絕對值的式子，最后去絕對值符號合并即

解析：由于任意一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成可.

一個(gè)數(shù)的平方的形式，利用這個(gè)即可將以上解：b、c是△ABC的三邊長，.二b

幾個(gè)式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.+c>a,h+a>c,六原式=|a+b+c|一步+

解：(1)層一13=層一(行)2=3+回)(4c—川+匕一。一a|=o+b+c—S+c—a)+(〃

+a-c)=a+b+c-b—c+a+h+a—c=3a

(2)4a2-5=(2a)2一(小>=(2a+鄧)(2?+b—c.

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角解：(l)(g)2+l=〃+l,S“=坐'(〃是正

形的三邊關(guān)系得出不等關(guān)系，再進(jìn)行變換后,

結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.整數(shù));

［類型三］利用分類討論的思想對二⑵=5,0A2=也，0A3-

次根式進(jìn)行化簡_________y[3,—.'.OA\o=y[\0；

(例?已知x為實(shí)數(shù)時(shí),化簡“x2—2x+1

(3)ST+S?+SJH--------1"品=(￥)

解析：根據(jù)而=|a|,結(jié)合絕對值的性質(zhì),+閨+…+(甥T(l+2+3+…+1。)

將x的取值范圍分段進(jìn)行討論解答.

解：yjx2—2x+1+-\/j?—yj(x—1)2+

=55

=不

l|+|x|.當(dāng)xWO時(shí)，x—I<0,原式

=1—x+(—x)=l—2x；當(dāng)0<xWl時(shí)，x—方法總結(jié)：解題時(shí)通過分析找到各部分

l<0,原式=1—x+x=l；當(dāng)x>l時(shí)，x—的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律

1>0>原式=x—1+x—2x—1.要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想.

方法總結(jié)：利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化探究點(diǎn)三：代數(shù)式的定義及簡單應(yīng)用

簡時(shí)，要結(jié)合具體問題，先確定出被開方數(shù)按照下列程序計(jì)算，表格內(nèi)應(yīng)輸

的正負(fù)，對于式子后=間，當(dāng)a的符號無出的代數(shù)式是.

法判斷時(shí)，就需要分類討論，分類時(shí)要做到

國T立用T+〃|一|+”|—|一〃|

不重不漏.

［類型四］二次根式的規(guī)律探究性問

->答案

1

砸I細(xì)心觀察，認(rèn)真分析下列各式，然解析：根據(jù)程序所給的運(yùn)算，用代數(shù)式

后解答問題.表示即可，

(加戶+1=2,Si=乎，根據(jù)程序所給的運(yùn)算可得輸出的代數(shù)

〃

式為——一〃.故答案為———九

nn

(,^2)2+1=3,Sz—2?

方法總結(jié)：根據(jù)實(shí)際問題列代數(shù)式的一

般步驟：(1)認(rèn)真審題，對語言或圖形中所代

("73)2+1—4,S3—2-

表的意思進(jìn)行仔細(xì)辨析；(2)分清語言和圖形

表述中各種數(shù)量的關(guān)系；(3)根據(jù)各數(shù)量間的

運(yùn)算關(guān)系及運(yùn)算順序?qū)懗龃鷶?shù)式.

三'板書設(shè)計(jì)

1.二次根式的性質(zhì)1：(g)2=a("20)；

2.二次根式的性質(zhì)2：亞=a(aNO).

3.代數(shù)式的定義

用基本運(yùn)算符號(基本運(yùn)算符號包括加、

(1)請用含〃(〃是正整數(shù))的等式表示上減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字

述變化規(guī)律；母連接起來的式子叫做代數(shù)式.

(2)推算出04o的長；

(3)求出S?+￡+S?+…+S?o的值.

解析：利用直角三角形的面積公式，觀教卷底思

察上述結(jié)論，會(huì)發(fā)現(xiàn)第〃個(gè)三角形的一直角新的教學(xué)理念要求教師在課堂教學(xué)中

邊長就是出，另一條直角邊長為1,然后利注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)中,

用面積公式可得.對學(xué)生探索求知作出了引導(dǎo)，并且鼓勵(lì)學(xué)生

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

自由發(fā)言，但在師生互動(dòng)方面做得還不夠,

小組間的合作不夠融洽，今后的教學(xué)中應(yīng)多16.2二次根式的

培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)，這樣有助于他們

今后的學(xué)習(xí)和生活.乘除

第1課時(shí)二次根式的乘法

■E(1)小義??；(2

1.掌握二次根式乘法法則和積的算術(shù)(3)6^27X(-3^3);

平方根的性質(zhì)；(重點(diǎn))3,-

(4)押8協(xié)

2.會(huì)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對二次

根式進(jìn)行化簡.(難點(diǎn))解析：有理式的乘法運(yùn)算律及乘法公式

對二次根式同樣適用，計(jì)算時(shí)注意最后結(jié)果

要化為最簡形式.

解：(lh/3X^5=^/3X5=<i5；

(2)y^XyfM=y^X64=y[\6=4；

一、情境導(dǎo)入

計(jì)算：(3)6727X(-35)=-18^27X3=一

(lh/Zxp與「4X25；18-V8i=-18X9=-162；

(2標(biāo)義也與416X9.

思考：

對于也X小與退又5呢？

_^計(jì)算的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)gX#=

V2X3,這是什么道理呢？

考-61屈=一半麻

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次根式的乘法方法總結(jié)：在運(yùn)算過程中要注意根號前

［類型一］二次根式的乘法法則成立的因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須化成假分?jǐn)?shù)，如果

的條件被開方數(shù)有能開得盡方的因數(shù)或因式，可先

［例KI式子5+1-y］2-x=將二次根式化簡后再相乘.

、(x+1)(2-x)成立的條件是()探究點(diǎn)二：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

A.xW2B.x2一1砸1化簡：

C.TWxW2D.-l<x<2(1>7(-36)X16X(-9)；

(2/7362+482；

fx+1^0,

解析：根據(jù)題意得、解得一(Sys/x3+6x2y+9xy2.

(2-x^O,

解析：主要運(yùn)用公式

.故選C.匕20)和4了=4(420)對二次根式進(jìn)行化簡.

方法總結(jié)：運(yùn)用二次根式的乘法法則：解：⑴7(一36)X16X(—9)=

y［ciy［h=y［ah(a^O,〃20),必須注意被開方-736X16X9=、62義42x32=聲X/

數(shù)均是非負(fù)數(shù)這一條件.X4=6X4X3=72；

［類型二］二次根式的乘法運(yùn)算(2)4362+482-

礫計(jì)算：、(12X3)2+(12X4)2=

AJ122X(32+42)=7122X迎=12X5=

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60；i.二次根式的乘法法則：

（3）^x3+6x2y+9xy2=y1x（x+3y）2—y[a-y[b—y[ab（a>0,匕》0）

、（x+3y）2.4=|A-+3yW.2.積的算術(shù)平方根：

方法總結(jié)：利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)ylab=y[a-y[b（a^0,b20）

可以對二次根式進(jìn)行化簡.

探究點(diǎn)三：二次根式乘法的綜合應(yīng)用

m小明的爸爸做了一個(gè)長為書演在教學(xué)安排上，體現(xiàn)由具體到抽象的認(rèn)

cm,寬為q487tcm的矩形木相框，還想做一識(shí)過程.對于二次根式的乘法法則的推導(dǎo)，

個(gè)與它面積相等的圓形木相框，請你幫他計(jì)先利用幾個(gè)二次根式的具體計(jì)算，歸納出二

算一下這個(gè)圓的半徑（結(jié)果保留根號）.次根式的乘法運(yùn)算法則.在具體計(jì)算時(shí)，可

解析：根據(jù)矩形的面積公式、圓的面積以通過小組合作交流，放手讓學(xué)生去思考、

公式，構(gòu)造等式進(jìn)行計(jì)算.討論，這樣安排有助于學(xué)生縝密思考和嚴(yán)謹(jǐn)

解：設(shè)圓的半徑為em.因?yàn)榫匦文鞠嗫虮磉_(dá)，更有助于學(xué)生合作精神的培養(yǎng).

的面積為小函rXe藐=168%（cm?）,所以

兀3=168元，r=2，55cm（r=—舍去）.

答：這個(gè)圓的半徑是2匹cm.

方法總結(jié)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,第2課時(shí)二次根式的除法

列出相應(yīng)的式子進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

三、板書設(shè)計(jì)

⑶鬻（4）4（-5皿.

1.掌握二次根式的除法法則和商的算解析：本題主要運(yùn)用二次根式的除法法

術(shù)平方根的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算;則來進(jìn)行計(jì)算，若被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，則被開

（重點(diǎn)）方數(shù)相除時(shí)，可先用除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)

2.能綜合運(yùn)用己學(xué)性質(zhì)進(jìn)行二次根式數(shù)的倒數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行約分.

的化簡與運(yùn)算.（難點(diǎn)）解:⑴磊

⑵-十+班=-

投鮮述禍

點(diǎn)假=一行=—3卷

一、情境導(dǎo)入

計(jì)算下列各題，觀察有什么規(guī)律?―7601bl6a2br—

（4）小-歸5雄=-

^XIX^/I=4X3=4-

方法總結(jié)：利用二次根式的除法法則進(jìn)

行計(jì)算時(shí)，可以用“除以一個(gè)不為零的數(shù)等

探究點(diǎn)一：二次根式的除法于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分化簡.

[類型一]二次根式的除法運(yùn)算[類型二]二次根式的乘除混合運(yùn)算

硒1計(jì)算：畫日計(jì)算：

⑴師;

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⑵霹汨?裾々探究點(diǎn)三：最簡二次根式

而在下列各式中，哪些是最簡二次

解析：先把系數(shù)進(jìn)行乘除運(yùn)算，再根據(jù)根式？哪些不是？并說明理由.

二次根式的乘除法則運(yùn)算.(DA/45;(2)A/|；(3)乎；(4)匹；

解:⑴原式=9xgx'|xq45X,xg=

18小;

⑵原式=&2分勺abq品=喂很.解析：根據(jù)滿足最簡二次根式的兩個(gè)條

件判斷即可.

方法總結(jié)：二次根式乘除混合運(yùn)算的方解：(1)點(diǎn)=3小，被開方數(shù)含有開得

法與整式乘除混合運(yùn)算的方法相同，在運(yùn)算盡方的因數(shù)，因此不是最簡二次根式；

時(shí)要注意運(yùn)算符號和運(yùn)算順序，若被開方數(shù)(2)稿=坐，被開方數(shù)中含有分母’因

是帶分?jǐn)?shù)，要先將其化為假分?jǐn)?shù).

探究點(diǎn)二：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)此它不是最簡二次根式；

【類型一］利用商的算術(shù)平方根的性(3)半，被開方數(shù)不含分母，且被開方數(shù)

質(zhì)確定字母的取值范圍

睡若、乒=-^,不含能開得盡方的因數(shù)或因式，因此它是最

1則a的取值

—ayj2-a簡二次根式；

范圍是()(4)折=、￡=坐,被開方數(shù)含有小數(shù),

A.a<2B.aW2

C.0?2D.心0因此不是最簡二次根式；

la^O,被開方數(shù)中含有

解析：根據(jù)題意得解得OWa

［2—a>0,

分母，因此它不是最簡二次根式.

<2.故選C.方法總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡

方法總結(jié)：運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì):二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩

、^=%3>0,人20),必須注意被開方數(shù)個(gè)條件：

(1)被開方數(shù)不含分母；

是非負(fù)數(shù)且分母不等于零這一條件.(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或

［類型二］利用商的算術(shù)平方根的性因式.

質(zhì)化簡二次根式探究點(diǎn)四：二次根式除法的綜合運(yùn)用

(WD化簡：座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來回所需的

(2)^儡^>0,6>0,時(shí)間稱為一個(gè)周期，其周期計(jì)算公式為T=

其中T表示周期(單位：秒)，/表示

c>0).

解析：運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，用擺長(單位：米)，g=9.8米/秒2,假若一臺(tái)

分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根.座鐘擺長為0.5米，它每擺動(dòng)一個(gè)來回發(fā)出

一次滴答聲，那么在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約

發(fā)出了多少次滴答聲(兀Q3.14)?

解析：由給出的公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即

可.要先求出這個(gè)鐘擺的周期，然后利用時(shí)

方法總結(jié)：被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為間除周期得到次數(shù).

假分?jǐn)?shù)，被開方數(shù)中的分母要化去，即被開0.5…6060

角|：VT=2K斯心1.42,~^=^42

方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式.

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

弋42（次），.?.在I分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出性質(zhì).在此過程中應(yīng)給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，可提

了42次滴答聲.出問題讓學(xué)生有一定的探索方向.在設(shè)計(jì)課

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用堂教學(xué)內(nèi)容時(shí)，以提問的方式引出本節(jié)課要

公式.用二次根式的除法進(jìn)行運(yùn)算，解這類解決的問題，讓學(xué)生自主探究，在探究過程

問題時(shí)要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一.中觀察知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的全過程，從而讓學(xué)生

三、板書設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)情感和學(xué)習(xí)品質(zhì)得到升華，學(xué)生的創(chuàng)

1.二次根式的除法運(yùn)算新精神得到發(fā)展.

2.商的算術(shù)平方根

3.最簡二次根式

被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能16.3二次根式的

開得盡方的因數(shù)或因式.

教懿思加減

在教學(xué)中應(yīng)注重積和商的互相轉(zhuǎn)換，讓

學(xué)生通過具體實(shí)例再結(jié)合積的算術(shù)平方根第課時(shí)二次根式的加減

的性質(zhì)，對比、歸納得到商的算術(shù)平方根的1

“十%〃-4能夠合并同類項(xiàng),.\a+b=2,2a

1.會(huì)將二次根式化為最簡二次根式，掌+b=3a—4,解得a=3,b——\,.'.a+b—

握二次根式加減法的運(yùn)算：（重點(diǎn)）3+（-l）=2.

2.熟練進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，并運(yùn)方法總結(jié)：根據(jù)同類二次根式的概念求

用其解決問題.（難點(diǎn)）待定字母的值時(shí)，應(yīng)該根據(jù)同類二次根式的

概念建立方程或方程組求解.

探究點(diǎn)二：二次根式的加減

投鮮遞［類型一］二次根式的加減運(yùn)算

3畫?計(jì)算:也一右一（也）2+|2f|.

一、情境導(dǎo)入

解析：二次根式的加減運(yùn)算應(yīng)先化簡，

再合并同類二次根式.

解：原式=24一坐一2+2一切=

小明家的客廳是長7.5m,寬5m的長方

形，他要在客廳中截出兩個(gè)面積分別為8m2（2*T*=￥

和18m2的正方形鋪不同顏色的地磚，問能

否截出？方法總結(jié)：二次根式相加減，先把各個(gè)

二、合作探究二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)

探究點(diǎn)一：被開方數(shù)相同的最簡二次根相同的二次根式進(jìn)行合并，合并時(shí)系數(shù)相加

式減，根式不變.

（例H已知最簡二次根式、2a+b與［類型二］二次根式的化簡求值

“十宣工能夠合并同類項(xiàng)，求的值.砸1先化簡，再求值：生了

解析：利用最簡二次根式的念求出a,

傘-加茨）,其中”=2+小,6=2一4

b的值,再代入〃+人求解即可.

解：??,最簡二次根式、2a+b與解析：先將原式化為最簡彩式，再將a

與匕的值代入計(jì)算即可求出.

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

e-(o+b)Ca~b)4X(-7800+^450)=4X(20^2+15a=

解：原式=--------：-------

14(h/2^197.96(cm).因?yàn)?.2m=120cm<

cr—lab+b2197.96cm,所以小號的金色細(xì)彩帶不夠

a用.197.96—120=77.96?=78(cm),即還需買

(q+Z?)(a-b)a_____78cm的金色細(xì)彩帶.

當(dāng)

(〃一人)2a-h'方法總結(jié)：利用二次根式來解決生活中

的問題，應(yīng)認(rèn)真分析題意，注意計(jì)算的正確

2+小"=2一小時(shí)，原式=捕口送

性與結(jié)果的要求.

4__2^3三、板書設(shè)計(jì)

=芯=3.1.被開方數(shù)相同的最簡二次根式

方法總結(jié)：化簡求值時(shí)一般是先化簡為2.二次根式的加減

最簡分式或整式，再代入求值.化簡時(shí)不能一般地，二次根式加減時(shí)，可以先將二

跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯(cuò)解.次根式化簡成最簡二次根式，再將被開方數(shù)

［類型三］二次根式加減運(yùn)算在實(shí)際相同的二次根式進(jìn)行合并.

生活中的應(yīng)用

(WD母親節(jié)快到了，為了表示對媽媽

的感恩，小號同學(xué)特地做了兩張大小不同的在授課過程中，要以學(xué)生為主體，進(jìn)行

正方形的壁畫送給媽媽，其中一張面積為探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)

800cm2,另一張面積為450cm2,他想如果再論.在例題的選擇上可由簡到難，符合學(xué)生

用金色細(xì)彩帶把壁畫的邊鑲上會(huì)更漂亮，他的認(rèn)知規(guī)律，便于學(xué)生掌握知識(shí).在得到定

手上現(xiàn)有1.2m長的金色細(xì)彩帶，請你幫他義、法則的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、思考、

算一算，他的金色細(xì)彩帶夠用嗎？如果不夠,探究的過程，體會(huì)學(xué)習(xí)知識(shí)的成功與快樂.

還需買多長的金色細(xì)彩帶(也Q1.414,結(jié)果

保留整數(shù))？

解析：先求出每張正方形壁畫的邊長，第2課時(shí)二次根式的混合

再根據(jù)正方形的周長公式求所需金色細(xì)彩

帶的長.運(yùn)算

解：鑲壁畫所用的金色細(xì)彩帶的長為：

+2小)乂乖=小乂乖+2小X布=72又6

+2A/T8=2小+6也(cm?).

i.會(huì)熟練地進(jìn)行二次根式的加減乘除他的做法正確嗎？

混合運(yùn)算，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力；(重點(diǎn))二、合作探究

2.正確地運(yùn)用二次根式加減乘除法則探究點(diǎn)一：二次根式的混合運(yùn)算

及運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，并把結(jié)果化簡.(難點(diǎn))［類型一］二次根式的四則運(yùn)算

頤1計(jì)算：

敬學(xué)清3

一、情境導(dǎo)入

_如果梯形的上、下底邊長分別為2#cm,(3h/2-(V3+2)^/3.

4小cm,高為加cm,那么它的面積是多少？解析：先把各二次根式化為最簡二次根

毛毛是這樣算的：式，再把括號內(nèi)合并后進(jìn)行二次根式的乘法

運(yùn)算，然后進(jìn)行加法運(yùn)算.

梯形的面積：建+4啊X班=(也

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

中小學(xué)課堂教學(xué)資料設(shè)計(jì)

解：⑴原式=；X9X\/gx￡x?=；y[m—y[n(相》〃),

為根※〃=計(jì)算

{(m<n).

（3X2）X（8X12）的結(jié)果為（）

A.2-4#B.2C.2小

D.20

解析：?；3>2,；.3派2=小一地.：8<

12,.?.8派12=乖+6=2（啦+小），；.（3

（3）原式=也一（小+2戶志=也一※2）乂（8※12）=（小一也）乂2（蛆+?。?2.

故選B.

方法總結(jié)：弄清新定義中的運(yùn)算法則，

小i1-

3轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運(yùn)算，正確運(yùn)用運(yùn)算律及公

方法總結(jié)：二次根式的混合運(yùn)算：先把式是解題的關(guān)鍵.

各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次［類型二］二次根式運(yùn)算的拓展應(yīng)用

根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.硒1請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的

探究點(diǎn)二：利用乘法公式及運(yùn)算律進(jìn)行任務(wù).斐波那契（約1170?1250）是意大利數(shù)

二次根式混合運(yùn)算學(xué)家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙,

礫計(jì)算：被稱為斐波那契數(shù)列（按照一定順序排列著

（1）（^2+小—黃）（6一小+#）;的一列數(shù)稱為數(shù)列）.后來人們在研究它的

（）（啦（小一（）；

2^2—I-+284+.過程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果，在實(shí)

際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽

菊等）的瓣數(shù)恰似斐波那契數(shù)列中的數(shù).斐

解析：（1）利用平方差公式展開然后合并波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實(shí)際生

即可；（2）先利用完全平方公式和平方差公式活中也有廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列中的第

展開然后合并即可；（3）利用乘法分配律進(jìn)行n個(gè)數(shù)可以用4（上乎）“一（與"）”表示

計(jì)算即可.

解：（1）原式=［6+（小—加川也一（其中，〃21）.這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的

（小一乖X=（?。?一（小—水）2=2—（9—一個(gè)范例.任務(wù)：請根據(jù)以上材料，通過計(jì)

2^18）=2-94-6^2=-7+6^2：算求出斐波那契數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)

（2）原式=2—2g+1+2陋乂（3—2）=數(shù).

2-2啦+1+2啦=3；解析：分別把〃=1、2代入式子化簡即

⑶原式=（#—乎—旃卜（—2佝=可.

解：第1個(gè)數(shù)，當(dāng)〃=1時(shí)?，方

2

一酢x（-2佝=8.

方法總結(jié)：利用乘法公式進(jìn)行二次根式

混合運(yùn)算的關(guān)鍵是熟記常見的乘法公式；在

二次根式的混合運(yùn)算中，整式乘法的運(yùn)算律