人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第六章計(jì)數(shù)原理 課時分層練習(xí)題及章末檢測（含答案解析）

第六章計(jì)算原理

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.............................................1

6.2排列與組合.....................................................................19

6.2.1-6.2.2排列與排列數(shù)....................................................19

6.2.3-6.2.4組合與組合數(shù).....................................................27

6.3二項(xiàng)式定理....................................................................35

6.3.1二項(xiàng)式定理..............................................................35

6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)........................................................43

章末檢測.........................................................................54

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

A基礎(chǔ)練

一、選擇題

1.完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這

9個人中選1個人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）

A.5種B.4種C.9種D.45種

【答案】C

【解析】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；會用第二種方法的有4

個人，選1個人完成這項(xiàng)工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇，

2.（2021?甘肅蘭州市?高三）2019年9月1日蘭州地鐵一號線正式開通，兩位同學(xué)同時去乘坐地鐵，

一列地鐵有6節(jié)車廂，兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有（）

A.13種B.30種C.36種D.64種

【答案】C

【詳解】每位同學(xué)都可以進(jìn)入地鐵中的任何一節(jié)車廂，每個人都有6種方法，所以兩人進(jìn)入車廂的

方法數(shù)共有6x6=36種方法.故選：C

3.（2021?全國高三專題練習(xí)）為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召,某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、

3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積

極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種

【答案】B

【詳解】解：由題意可知，分三步完成：

第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；

第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；

第二步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有2x3x6=36不同的選取方法，故選：B

4.（2021?全國高二課時練習(xí)）某電商為某次活動設(shè)計(jì)了“和諧”、“愛國”、“敬業(yè)”三種紅包，活動規(guī)

定每人可以依次點(diǎn)擊4次，每次都會來得三種紅包的一種，若集全三種即可獲獎，但三種紅包出現(xiàn)

的順序不同對應(yīng)的獎次也不同?員工甲按規(guī)定依次點(diǎn)擊了4次，直到第4次才獲獎?則他獲得獎次的

不同情形種數(shù)為（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，若員工甲直到第4次才獲獎，則其第4次才集全“和諧”、“愛國”、“敬業(yè)”三種紅

包，則中第4次獲得的紅包有3種情況，

前三次獲得的紅包為其余的2種，有23-2=6種情況，

則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為3x6=18種；故選C.

5.（2021?全國高二課時練）中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)

際上是一根根同長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示1-9的一種方法.則據(jù)此，3可表示為“三”，26

可表示為“=_L"，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1-9這9數(shù)字表示的兩

位數(shù)的個數(shù)為（）

__==^J_JL==

123456789

A.9B.13C.16D.18

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,

3、3,3、7,7、7；數(shù)字組合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每組可以表示2個

兩位數(shù)，則可以表示2x7=14個兩位數(shù)；

數(shù)字組合3、3,7、7,每組可以表示1個兩位數(shù)，則可以表示2x1=2個兩位數(shù)；

則一共可以表示14+2=16個兩位數(shù).故選:C

6.（多選題）（2021.全國高二課時練）某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政

治這三科，且生物在8層，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課

各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說法正確的是（）

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)4層4班

生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史8層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物B層1班物理8層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式B.此人有5種選課方式

C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

【答案】BD

【詳解】由于生物在B層，只有第2,3節(jié)有，故分兩類：

若生物選第2節(jié)，則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，

其他兩節(jié)政治、自習(xí)任意選，

故有2x2=4種（此種情況自習(xí)可安排在第1、3、4節(jié)中的某節(jié)）；

若生物選第3節(jié)，則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習(xí)只能選第2節(jié)，故有I種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得選課方式有4+1=5種.

綜上，自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).故選：BD.

二、填空題

7.（2021?全國高二課時練）如圖，在由電鍵組A與8組成的串聯(lián)電路（規(guī)定每組電鍵只能合上其中

的一個電鍵）中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有種.

【答案】6

【詳解】要完成的“一件事”是“使燈泡發(fā)光“，只有先合上A組中2個電鍵中的任意一個，再合上B

組中3個電鍵中的任意一個時，接通電源，燈泡才能發(fā)光.因此要完成這件事，需要分步，只有各

個步驟都完成才能使燈泡發(fā)光，所以接通電源使燈泡發(fā)光的方法有2x3=6種.

7.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知某體育場有4個門，從一個門進(jìn)，另一個門出，則不同的走法的

種數(shù)為_.

【答案】12

【詳解】根據(jù)題意，某體育場有4個門，從一個門進(jìn)，有4種走法，另一個門出，有3種走法，則

有4x3=12種不同的走法.

8.5個人參加100m、200機(jī)、400團(tuán)跑的決賽，同一個項(xiàng)目中，并列冠軍的情況不發(fā)生，則冠軍

分配的不同情況有種.

【答案】125

【解析】由題意可知，每個冠軍都有5種可能，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，冠軍分配的不同情況

5、125種.

10.（2021?福建原門一中高二）2020年初，湖北面臨侯務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，原

門人民心系湖北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生志愿者分配到4,8兩家醫(yī)院（每

人去一家，每家醫(yī)院至少安排1人），且甲醫(yī)生不安排在A醫(yī)院，則共有_________種分配方案.

【答案】7

【解析】甲只能安排在B醫(yī)院，乙、丙、丁3名醫(yī)生共有2x2x2=8種安排方法，其中乙、丙、丁

3名醫(yī)生都安排在8醫(yī)院不合題意，所以符合題意的分配方案共有8-1=7種.

三、解答題

11.（2021?全國高二課時練習(xí)）有紅、黃、藍(lán)低各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向

排列，表示不同的信號，順序不同也表示不同的信號，共可以組成多少種不同的信號？

【詳解】每次升1面旗可組成3種不同的信號：每次升2面旗可組成3x3=9種不同的信號：每次

升3面旗可組成3x3x3=27種不同的信號，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共可組成3+9+27=39種

不同的信號.

12.有一項(xiàng)活動，需要在3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.

（1）若只需選1人參加，則有多少種不同的選法？

（2）若需要老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？

（3）若需要1名老師、1名學(xué)生參加，則有多少種不同的選法？

【解析】（1）需一人參加，有三類：第一類選老師，有3種不同的選法；第二類選男生，有8種不

同的選法；第三類選女生，有5種不同的選法.共有3+8+5=16種不同的選法；

（2）需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人，則分3步，第一步選老師，有.3種不同的選法；第二步選男

生，有8種不同的選法；第三步選女生，有5種不同的選法.共有3x8x5=120種不同的選法；

（3）第一步選老師有3種不同的選法，第二步選學(xué)生有8+5=13種不同的選法，共仃3x13=39種

不同的選法.

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）-

B提高練

一、選擇題

1.（2021?吉林扶余市第一中學(xué)高二）若準(zhǔn)備用1個字符給一本書編號，其中可用字符為字母A，B,

C,也可用數(shù)字字符1,2,3,4,5,則不同的編號有（）

A.2種B.5種C.8種D.15種

【答案】C

【詳解】由題意這本書的編號可能是字母4，B,C,有3種，可能是數(shù)字：1,2,3,4,5,有效

種，共有3+5=8種.故選：C.

2.（2021?全國高二課時練）設(shè)M、N是兩個非空集合，定義M⑥N={（a,若？={0,

1,2）,Q={\,2},則PgQ中元素的個數(shù)是（）

A.4B.9C.6D.3

【答案】C

【詳解】因?yàn)槭?{0,1,2},2={1,2},所以。有3種選法，》有2種取法，

根據(jù)乘法原理，可得中元素的個數(shù)是：3x2=6（個）.故選C.

3.（2021?陜西西安市高二期末）將3名防控新冠疫情志愿者全部分配給2個不同的社區(qū)服務(wù)，不同

的分配方案有（）

A.12種B.9種C.8種D.6種

【答案】C

【詳解】每名防控新冠疫情志愿者都有兩種不同的分配方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的分配

方案總數(shù)為23=8種.故選：C

4.（2021?全國高二課時練）若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個數(shù)字一樣，我們就把

這樣的三位數(shù)定義為“單重?cái)?shù)例如：232,114等，則不超過200的“單重?cái)?shù)”中，從小到大排列第22

個“單重?cái)?shù)”是（）

A.166B.171C.181D.188

【答案】B

【詳解】由題意可得：不超過200的數(shù)，

兩個數(shù)字一樣同為。時，有100,200有2個，

兩個數(shù)字一樣同為1時，有110，101,112,121,113,131,一直到191,119,共18個，

兩個數(shù)字一樣同為2時，有122,有1個

同理，兩個數(shù)字一樣同為3,4,5,6,7,8,9時各1個，

綜上，不超過200的“單重?cái)?shù)”共有2+18+8=28,

其中最大的是200,較小的依次為199,191,188,181,177,171,

故第22個“單重?cái)?shù)”為171,故選：B.

5.（多選題）（2021?全國高二課時練）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是

（）

A.每位同學(xué)限報(bào)其中一個社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種

B.每位同學(xué)限報(bào)其中一個社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有4?種

C.每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則不同的報(bào)名方法共有24種

D.每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則不同的報(bào)名方法共有33種

【答案】AC

【詳解】對于A選項(xiàng)，第1個同學(xué)有3種報(bào)法，第2個同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個同學(xué)也有3

種報(bào)法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有34種結(jié)果，A正確，B錯誤；對于C選項(xiàng)，每個社團(tuán)限報(bào)一個人,

則第1個社團(tuán)有4種選擇，第2個社團(tuán)有3種選擇，第3個社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共

有4x3x2=24種結(jié)果，C正確，D錯誤.

6.（多選題）（2021?遼寧本溪市?高二月考）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，

已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，8,C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝

Q,E，尸；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G,X，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊

到樹枝8,D，H;（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝/,C,E,下列結(jié)論正確的是（）

A,最高處的樹枝為G、/當(dāng)中的一個

B.最低處的樹枝一定是尸

C.這九棵樹枝從高到低不同的順序共有33種

D.這九棵樹枝從高到低不同的順序共有32種

【答案】AC

【詳解】解：由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)镚A3CM,還剩下O，H，I，且樹枝/比

。高，樹枝。在樹枝9，E之間，樹枝〃比。低，故A選項(xiàng)正確;

先看樹枝/，有4種可能，若/在8,C之間，

則。有3種可能：①。在B，/之間，〃有5種可能；

②。在/,C之間，〃有4種可能；

③。在C,E之間，”有3種可能，

此時樹枝的高低順序有5+4+3=12（種）。

若/不在8，C之間，則/有3種可能，。有2中可能，

若。在8，C之間，則”有3種可能，

若0在C,七之間，則”有三種可能，

此時樹枝的高低順序有3X（4+3）=21（種）可能，

故這九根樹枝從高到低不同的順序共有12+21=33種，故C選項(xiàng)正確.故選：AC.

二、填空題

7.（2021?全國高二課時練）某縣總工會利用業(yè)余時間開設(shè)太極、書法、繪畫三個培訓(xùn)班，甲、乙、

丙、丁四人報(bào)名參加，每人只報(bào)名參加一項(xiàng)，且甲乙不參加同一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法種數(shù)為

【答案】54

【詳解】甲有三個培訓(xùn)可選，甲乙不參加同一項(xiàng)，所以乙有二個培訓(xùn)可選，丙、丁各有三個培訓(xùn)可

選，根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理，不同的報(bào)名方法種數(shù)為3x2x3x3=54.

8.數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩'‘兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學(xué)

中有回文數(shù)，如343,12521等.兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,3,……，99共9個，則在三位數(shù)的

回文數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)是.

【答案】40

【詳解】由題意，若三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù)，則末（首）位可能為2,4,6,8.如果末（首）位

為2,中間一位數(shù)有10種可能，同理可得，如果末（首）位為4或6或8,

中間一位數(shù)均有10種可能,所以有4x10=40個.

9.（2020?福建漳州高二月考）高三年段有四個老師分別為這四位老師要去監(jiān)考四個班級

每個老師只能監(jiān)考一個班級，一個班級只能有一個監(jiān)考老師.現(xiàn)要求。老師不能監(jiān)考A班,

〃老師不能監(jiān)考B班，。老師不能監(jiān)考C班，d老師不能監(jiān)考。班，則不同的監(jiān)考方式有一種.

【答案】9

【解析】當(dāng)。老師監(jiān)考B班時，剩下的三位老師有3種情況，同理當(dāng)。老師監(jiān)考C班時，也有3種，

當(dāng)。老師監(jiān)考O班時，也有3種，共9種，

10.（2021?全國高二課時練習(xí)）工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的

螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不熊連綏固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種

數(shù)是.

【答案】60

【解析】根據(jù)題意，第一個可以從6個釘里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會相等的，

若第一個選1號釘?shù)臅r候，第二個可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以

總共有10x6=60種方法，故答案是60.

三、解答題

11.已知集合A/={-3,-2,-1,0,1,2},若mb,cSM,則：

（1）丁=以2+法+?？梢员硎径嗌賯€不同的二次函數(shù)？

（2）丫=以2+法+?？梢员硎径嗌賯€圖象開口向上的二次函數(shù)？

【解析】（1）根據(jù)y=o?+法+。，表示二次函數(shù)，由此可判斷〃的取值情況，再分別判斷Ac

的取值情況，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，開口向上，則?！?,由此可判斷。的取值情況，再分別判斷江。的取

值情況，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

詳解：

（1）因?yàn)閍不能取0,所以有5種取法，方有6種取法，c有6種取法，

所以y=a?+加+?？梢员硎?x6x6=180個不同的二次函數(shù).

（2）y=依2+辰+。的圖象開口向上時，a不能取小于等于0的數(shù)，所以有2種取法，b有6種取

法，c有6種取法，

所以y=ar2+灰可以表示2x6x6=72個圖象開口向上的二次函數(shù)

12.現(xiàn)某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級13人，高二年級12人，高三年級9

人.

⑴選其中一人為負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法?

⑵每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？

⑶選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人，這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法?

【解析】（1）根據(jù)題意，選其中一人為負(fù)責(zé)人，有3種情況，

若選出的是高一學(xué)生，有13種情況，

若選出的是高二學(xué)生，有12種情況，

若選出的是高三學(xué)生，有9種情況，

由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有12+13+9=34種選法.

（2）根據(jù)題意，從高一學(xué)生中選出1人，有13種情況；

從高二學(xué)生中選出1人，有12種情況；

從高三學(xué)生中選出1人，有9種情況；

由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有12x13x9=1404種選法.

（3）根據(jù)題意，分三種情況討論：

若選出的是高一、高二學(xué)生，有12x13=156種情況,

若選出的是高一、高三學(xué)生，有13x9=117種情況，

若選出的是高二、高三學(xué)生，有12x9=108種情況，

由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有156+117+108=381種選法.

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（2）

A基礎(chǔ)練

一、選擇題

1.求是中學(xué)的教學(xué)樓共有5層，每層均有兩個樓梯，某同學(xué)從樓上到五樓可能的走法有（）

A.10種B.16種C.25種D.32種

【答案】B

【詳解】走法共分四步：一層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五層2種，

一共2'=16種.

2.（2021?北京朝陽區(qū)高二期末）一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，一個程序模塊從開始到

結(jié)束的路線稱為該程序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個計(jì)算機(jī)程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路

徑的條數(shù)是（）

A.6B.14C.49D.84

【答案】C

【詳解】由分類加法計(jì)數(shù)原理.，子模塊1或子模塊2或于模塊3的子路徑共有2十2十3=7條；

子模塊4或子模塊5中的子路徑共有4+3=7條，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個模塊的不同執(zhí)行路徑

共有7x7=49條，故選：C

3.（2021.貴州高三開學(xué)考試）如圖所示，A地到七地要鋪設(shè)一條煤氣管道，其中需經(jīng)過三級中間站,

兩點(diǎn)之間的連線上的數(shù)字表示距離.則從A地到七地鋪設(shè)煤氣管道最短距離是（）

A.19B.21C.22D.23

【答案】A

【詳解】對各個路線進(jìn)行計(jì)算可得，rflA到當(dāng)?shù)紺到〃到E，距離共19為最短距離.

4.（2021?全國高三專題練習(xí)）天河區(qū)某校開展學(xué)農(nóng)活動時進(jìn)行勞動技能比賽，通過初選，選出甲、

乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行決賽,決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說“很

遺憾，你和乙都未拿到冠軍對乙說‘你當(dāng)然不是最差的“，試從這個回答中分析這5人的名次排列

順序可能出現(xiàn)的種類有（）

A.54種B.60種C.72種D.96種

【答案】A

【詳解】由題意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3種情況，再

排甲，也有3種情況，余下3人有用=3x2x1=6種情況，利用分步相乘i-數(shù)原理知有3x3x6=54

種情況，故選：A.

5.（2021?湖北黃石市黃石二中高二期末）過三棱柱中任意兩個頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連

線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為（）

A.18B.30C.36D.54

【答案】C

【詳解】解：如圖，分以下幾類：

棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：3x2=6對；

棱柱側(cè)棱與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：3x2=6對；

底面邊與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：6x2=12對；

底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：3x2=6對；

6乂2

側(cè)面對角線與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：丁二6對；

2

所以共有6+6+12+6+6=36對.故選：C.

6.（多選題）（2021.江蘇蘇州中學(xué)高二月考）現(xiàn)安排富二年級A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁

四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個工），且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確

的是（）

A.所有可能的方法有夕種

B.若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種

C.若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種

D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種

【答案】BCD

【詳解】所有可能的方法有種，A錯誤.對于B,分二種情況：第一種；若有1名同學(xué)去工廠甲,

則去工廠甲的同學(xué)情況為3種，另外兩名同學(xué)的安排方法有3x3=9種，此種情況共有3x9=27種,

第二種：若有兩名同學(xué)去工廠甲，則同學(xué)選派情況有3種，另外一名同學(xué)的排法有3種，此種情況

共有3x3=9種，第三種情況，若三名同學(xué)都去工甲，此種情況唯一，則共有27+9+1=37種女排

方法，B正確.對于C,若A必去甲工廠，則B,C兩名同學(xué)各有4種安排，共有4x4=16種安排，

C正確.對于D,若三名同學(xué)所選工廠各不同，貝IJ共有4x3x2=24種安排，D正確.

二、填空題

7.3科老師都布置了作業(yè)，在同一時刻4名學(xué)生都做作業(yè)的可能情況有種.

【答案】81

【詳解】因?yàn)?科老師都布置了作業(yè)，在同一時刻每個學(xué)生做作業(yè)的情況有3種可能，

所以4名學(xué)生都做作業(yè)的可能情況3x3x3x3=81種.

8.（2021?全國高二課時練）假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)情況如圖所示.該

市有甲、乙、丙三人計(jì)劃在未來六天（4月24日?4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量

為優(yōu)的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三人

出游的不同方法數(shù)為.

未來空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)

明天后天In]II周一周二周三

4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日

優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良

【答案】85

【詳解】若甲選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)N1=5乂5=25；

若甲不選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)7V2=3X4X5=6O.

故這三人出游的不同方法數(shù)N=M+N2=85.

9.（2021?廣東深圳外國語學(xué)校高二期末）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可

順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有

一副有名的回文聯(lián):“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順

讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù),稱之為:“回文數(shù)”.如44,585,2662等，那么用數(shù)字1,2,3,4,

5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為.

【答案】36

【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：

?4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有6種情況，即此時有6個4位“回文數(shù)”；

②4位“回文數(shù)”中有2個不同的數(shù)字，有6x5=30種情況，即此時有30個4位“回文數(shù)”；

則一共66+30=36個4位、、回文數(shù)”.

10.(2021?湖北高三期中)5400的正約數(shù)有_____個

【答案】48

【詳解】5400=23X33X52?5400的正約數(shù)一定是由2的基與3的幕和5的哥相乘的結(jié)果，

所以正約數(shù)個數(shù)為(3+l)x(3+l)x(2+1)=48.

三、解答題

11.現(xiàn)某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級13人，高二年級12人，高三年級9

人.

⑴選其中一人為負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？

⑵每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？

⑶選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人，這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？

【詳解】(1)根據(jù)題意，選其中一人為負(fù)責(zé)人，有3種情況，

若選出的是高一學(xué)生，有13種情況，

若選出的是高二學(xué)生，有12種情況，

若選出的是高三學(xué)生，有9種情況，

由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有12+13+9=34種選法.

(2)根據(jù)題意，從高一學(xué)生中選出1人，有13種情況；

從高二學(xué)生中選出1人，有12種情況；

從高三學(xué)生中選山1人，有9種情況；

由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有12x13x9=1404種選法.

(3)根據(jù)題意，分三種情況討論：

若選出的是高一、高二學(xué)生，有12x13=156種情況，

若選出的是高一、高三學(xué)生，有13x9=117種情況，

若選出的是高二、高三學(xué)生，有12x9=108種情況，

由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有156+117+108=381種選法.

12.(2021?四川省眉山高二期末)數(shù)學(xué)上的“四色問題”，是指“任何一張地圖只用四種顏色就能使

具有公共邊界的國家著上不同的顏色。“，現(xiàn)有五種顏色供選擇，涂色我國西部五省，要求每省涂一

色，相鄰各省不同色，有多少種涂色方法.

【詳解】對于新疆有5種涂色的方法，

對于青海有4種涂色方法，

對于西藏有3種涂色方法，

對于四川：若與新疆顏色相同，則有1種涂色方法，此時甘肅有3種涂色方法；

若四川與新疆顏色不相同，則四川只有2種涂色方法，此時甘肅有2種涂色方法;

根據(jù)分步、分類計(jì)數(shù)原理，則共有5x4x3x（2x2+1x3）=420種方法.

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（2）-

B提高練

一、選擇題

1.如圖所示,連接正八邊形的三個頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有（）個.

【答案】A

【詳解】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：

第一類，有一?條公共邊的三角形共有8x4=32（個）；

第二類，有兩條公共邊的三角形共有8（個）.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32+8=40（個）.

2.（2021?山東荷澤高二期末）高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個工/

可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）

A.16種B.18種C.37種D.48種

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有4x4x4=64種情況,

其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有

3x3x3=27種方案；則符合條件的有64-27=37種.

3.甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是O、O、2、1S,為遵守當(dāng)?shù)啬吃?F1至9日，

共5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），

五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用

車方案種數(shù)為（）

A.5B.24C.32D.64

【答案】D

【詳解】5日至9日，分別為5,6,7,89,有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，

第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23=8種，

第二步安排偶數(shù)日出行分兩類，第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其它車，有2x2=4種，

第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有2?=4種，共計(jì)4+4=8,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)共有8x8=64.故選D.

4.（2021?張家口市宣化第一中學(xué)高三月考）用紅，黃，藍(lán)，綠，黑這5種顏色隨機(jī)給如圖所示的四

【答案】A

【詳解】5種顏色隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色方法數(shù)為爐，有公共邊的三角形為同色，

先考慮中間一塊涂色有5種方法，其他三個三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法為5x43,所

33

以所求概率為尸==5X-4=二4.

5.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、

蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學(xué)依次選一個作

為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)每個吉祥物都喜歡，如果三位同學(xué)對

選取的禮物都滿意，則選法有（）

A.50種B.60種

c.90種D.180種

【答案】A

【詳解】①若甲同學(xué)選擇牛，則乙同學(xué)有2種選擇，丙同學(xué)有10種選擇，選法種數(shù)為2x10=20,

②若甲同學(xué)選擇馬，則乙同學(xué)有3種選擇，丙同學(xué)有10種選擇，選法種數(shù)為3x10=30,

綜上，共有選法為20+30=50種.

6.（2021?山東荷澤高二期末）己知△ABC三邊。，b,c的長都是整數(shù)，a<b<c,如果力=25,

則符合條件的三角形的個數(shù)是（）

A.124B.225C.300D.325

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，。可取的值為1、2、3、…25,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有25<cv25+a,

當(dāng)a=l時，有25WCV26,則。=25,有I種情況，

當(dāng)。=2時，有25WCV27,則c=25、26,有2種情況，

當(dāng)。=3時，有25WCV28,則。=25、26、27,有3種情況，

當(dāng)。=4時，有25WCV29,則。=25、26、27、28,有4種情況,

當(dāng)a=25時，有有25&CV50,則。=25、26、27、28...49,有25種情況，

則符合條件的三角形共有1+2+3+4+…+25=利+25）=325.

2

二、填空題

7.（2021?三亞華僑學(xué)校高二開學(xué)考試）某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，

學(xué)校利用星期六組織學(xué)生到某廠進(jìn)行社會實(shí)踐活動.選2個班參加社會實(shí)踐，要求這2個班不同年

級，有種不同的選法.

【答案】146

【詳解】選2個班參加社會實(shí)踐，這2個班不同年級，

2個班為高一和高二各一個班有6x7=42,

2個班為高二和高三各一個班有7x8=56,

2個班為高三和高一各一個班有8x6=48,

所以不同的選法共有42+56+48=146.

8.現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中

至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是______種.

【答案】1535

【詳解】除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一

張和取二張3種情況，再減去這"人民幣全不取的1種情況，所以共有29x3-1=1535種.

9.（2021?浙江溫州市浙鰲高級中學(xué)高二期中）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算

經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供6種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂

一種顏色、相鄰顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（）

【答案】1560

【詳解】解：分4步進(jìn)行分析：

①，對于區(qū)域A,有6種顏色可選；

②，對于區(qū)域8,與A區(qū)域相鄰，有5種顏色可選；

③，對于區(qū)域C,與A、8區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；

④，對于區(qū)域E,若。與B顏色相同，E區(qū)域有4種顏色可選，

若。與8顏色不相同，D區(qū)域有3種顏色可選，E區(qū)域有3種顏色可選：

則區(qū)域E有4+3x3=13種選擇，

則不同的涂色方案有6x5x4x13=1560種.

10.（2021?山東前澤高二期末）從集合｛1,2,3,4,???,15｝中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組

成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有個

【答案】98

【詳解】當(dāng)公差為1時，數(shù)列可以是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13種情況.

當(dāng)公差為2時,數(shù)列可以是：1,3,5,2,4,6,3,5,7..........11,13,15,共公種情況.

當(dāng)公差為3時,數(shù)列可以是：1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9種情況.

當(dāng)公差為4時，數(shù)列可以是：1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7種情況.

當(dāng)公差為5時，數(shù)列可以是：1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5種情況.

當(dāng)公差為6時，數(shù)列可以是：1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3種情況.

當(dāng)公差為7時，數(shù)列可以是：1,8,15,共1種情況.

總的情況是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因?yàn)槿齻€數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數(shù)處共有98個.

三、解答題

11.（2021?全國高三專題練）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行:，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)

量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表：

乘坐站數(shù)0V爛33VH66<JT<9

票價（元）234

現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各

自在每個站下地鐵的可能性是相同的.

（1）若小華、小李兩人共付費(fèi)5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？

（2）若小華、小李兩人共付費(fèi)6元，求小華比小李先下地鐵的概率.

【詳解】

（1）小華、小李兩人共付費(fèi)5元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)3元，付費(fèi)2元的乘坐站

數(shù)有1,2,3三種選擇，付費(fèi)3元的乘坐站數(shù)有4,5,6三種選擇，所以小華、小李下地鐵的方案

共有2x3x3=18種;

（2）小華、小李兩人共付費(fèi)6元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人句費(fèi)4元或兩人都付費(fèi)3元,

付費(fèi)4元的乘坐站數(shù)也有7,8,9三種選擇，因此小華、小李下地鐵的方案共有2x3x3+3x3=27

種；其中小華比小李先下地鐵的方案共有3x3+3=12種；因此小華比小李先下地鐵的概率為

12_4

27~9

12.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字，完成下面兩個小題.

（1）若數(shù)字不允許重復(fù)，可以組成多少個能被5整除的且百位數(shù)字不是3的不同的五位數(shù)；

（2）若直線方程依+0），=。中的。泊可以從已知的六個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字，則直線方程表

示的不同直線共有多少條？

【詳解】（1）當(dāng)末位數(shù)字是0時，百位數(shù)字不是3,第一步，放百位有4種方法,

第二步，放剩余的:?個位置有4x3x2=24種，則共有4x24=96個；

當(dāng)末位數(shù)字是5,首位數(shù)字是3時，共有1x4x3x2x1=24個；

當(dāng)水位數(shù)字是5時，首位數(shù)字是1或2或4時，共有3x3x3x2x1=54個;

故共有96+24+54=174個.

（2）a/中有一個取0時，有2條；〃都不取0時，有5x4=20條：

a=l,b=2與a=2,b=4重復(fù)；a=2,Z?=1,與。=4,6=2重復(fù).

故共有2+20—2=20條.

6.2排列與組合

6.2.1-6.2.2排列與排列數(shù)

A基礎(chǔ)練

一、選擇題

1.下列問題中屬于排列問題的是（）.

A.從10個人中選出2人去勞動

B.從10個人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽

C.從班級內(nèi)30名男生中選出5人組成一個籃球隊(duì)

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個不同的數(shù)做log”6中的底數(shù)與直數(shù)

【答案】D

【詳解】A.從10個人中選出2人去勞動，與順序無關(guān)，故錯誤；

B.從10個人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽，與順序無關(guān)，故錯誤；

C.從班級內(nèi)30名男生中選出5人組成一個籃球隊(duì)，與順序無關(guān)，故錯誤；

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個不同的數(shù)做log’b中的底數(shù)與真數(shù)，底數(shù)與真數(shù)位置不同，即與

順序有關(guān)，故正確；故選：D

2.（2021?江蘇宿遷市宿遷中學(xué)高二月考）89x90x91x……xlOO可表示為（）

A.喘B.%C.碣D.戒

【答案】C

【詳解】A聯(lián)二100x99xLx(100-12+l)=100x99xLx89.

3.已知用x=100A；,則工=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【詳解】At=100A；=>2x-(2x-l)(2x-2)=100x(x-l),則

2x(2x-l)-2(x-l)=100x(x-l),

約分得：2x-1=25,解得：x=13,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

4.(2021.全國高二課時練)某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》

和另外確定的兩首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)

酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六

場開場詩詞的排法有()

A.72種B.48種C.36種D.24種

【答案】C

【詳解】首先可將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列，

共有8=6種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個空里(最后一個空不排)，

共有6=6種排法，則后六場開場詩詞的排法有6x6=36種，故選：C.

5.(多選題)(2021?山東泰安一中高二期末)5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不

同的排法種數(shù)可以是()

A.B.60C.72D.3用

【答案】AC

【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共A；=3x2x"6種不同的排法，再將甲、乙兩人

從產(chǎn)生的4個空中選2個插入共用=12種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人

不相鄰，那么不同的排