人教版(新教材)高中物理選擇性必修1學(xué)案3：2 5 實(shí)驗(yàn)：用單擺測(cè)量重力加速度

人教版（新教材）高中物理選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE22.5實(shí)驗(yàn)：用單擺測(cè)量重力加速度〖實(shí)驗(yàn)探究〗一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?．明確用單擺測(cè)量重力加速度的原理和方法。2．學(xué)會(huì)用單擺測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?．知道如何選擇實(shí)驗(yàn)器材，能熟練地使用秒表。4．會(huì)用平均值法、圖像法求解重力加速度。二、實(shí)驗(yàn)原理單擺在偏角很小(小于5°)時(shí)的擺動(dòng)，可以看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其周期為T(mén)＝2πeq\r(\f(l,g))，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2)。據(jù)此，只要測(cè)出擺長(zhǎng)l和周期T，即可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎?。三、?shí)驗(yàn)器材鐵架臺(tái)及鐵夾、金屬小球(帶有一個(gè)通過(guò)球心的小孔)、秒表、細(xì)線(長(zhǎng)1m左右)、刻度尺(最小刻度為mm)、游標(biāo)卡尺。四、實(shí)驗(yàn)步驟1．做單擺：將線的一端穿過(guò)小球的小孔，并打一比孔大的結(jié)。然后把線的上端用鐵夾固定于鐵架臺(tái)上，在平衡位置處做上標(biāo)記。2．測(cè)擺長(zhǎng)：用毫米刻度尺測(cè)出擺線長(zhǎng)度l線，用游標(biāo)卡尺測(cè)量出擺球的直徑d，則單擺的擺長(zhǎng)l＝l線＋eq\f(d,2)。3．測(cè)周期：將單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)小于5°的角，然后釋放擺球，當(dāng)單擺振動(dòng)穩(wěn)定后，過(guò)最低位置時(shí)開(kāi)始用秒表計(jì)時(shí)，測(cè)量N次(一般取30～50次)全振動(dòng)的時(shí)間t，則周期T＝eq\f(t,N)。4．變擺長(zhǎng)：將單擺的擺長(zhǎng)變短(或變長(zhǎng))，重復(fù)實(shí)驗(yàn)三次，測(cè)出相應(yīng)的擺長(zhǎng)l和周期T。五、數(shù)據(jù)處理1．平均值法：每改變一次擺長(zhǎng)，將相應(yīng)的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。設(shè)計(jì)如下所示實(shí)驗(yàn)表格實(shí)驗(yàn)次數(shù)擺長(zhǎng)l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)232．圖像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，作出T2l圖像，即以T2為縱軸，以l為橫軸。其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。六、誤差分析1．單擺的振動(dòng)不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的要求引起的系統(tǒng)誤差(1)單擺不在同一豎直平面內(nèi)振動(dòng)，成為圓錐擺。(2)振幅過(guò)大，擺線偏離豎直方向的角度超過(guò)5°。2．測(cè)定擺長(zhǎng)l時(shí)引起的誤差(1)在未懸掛擺球前測(cè)定擺長(zhǎng)或漏加擺球半徑。(2)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)擺線拉得過(guò)緊或以擺球的直徑與擺線長(zhǎng)之和作為擺長(zhǎng)。(3)懸點(diǎn)未固定好，擺球擺動(dòng)時(shí)出現(xiàn)松動(dòng)，使實(shí)際的擺長(zhǎng)不斷變長(zhǎng)。3．測(cè)定周期時(shí)引起的誤差(1)開(kāi)始計(jì)時(shí)和停止計(jì)時(shí)，秒表過(guò)早或過(guò)遲按下。(2)測(cè)定N次全振動(dòng)的時(shí)間為t，次數(shù)N數(shù)錯(cuò)。(3)計(jì)算單擺的全振動(dòng)次數(shù)時(shí)，未從擺球通過(guò)最低點(diǎn)位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。七、注意事項(xiàng)1．?dāng)[線要選1m左右，不要過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短，太長(zhǎng)測(cè)量不方便，太短擺動(dòng)太快，不易計(jì)數(shù)。2．測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)要先懸掛好擺球后再測(cè)量，不要先測(cè)擺長(zhǎng)再系小球，因?yàn)閼覓鞌[球后細(xì)線會(huì)發(fā)生形變。3．?dāng)[球要選體積小、密度大的，不要選體積大、密度小的，這樣可以減小空氣阻力的影響。4．?dāng)[角要小于5°，不要過(guò)大，因?yàn)閿[角過(guò)大，單擺的振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，公式T＝2πeq\r(\f(l,g))不適用。5．單擺要保證在同一個(gè)豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，不要使之成為圓錐擺。6．計(jì)時(shí)要從擺球經(jīng)過(guò)平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，不要從擺球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。要準(zhǔn)確記好擺動(dòng)次數(shù)，不要多記或少記?！嫉淅觥嚼?一位同學(xué)用單擺做測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)，他將擺球掛起后，進(jìn)行了如下步驟(1)測(cè)擺長(zhǎng)l：用米尺量出擺線的長(zhǎng)度。(2)測(cè)周期T：將擺球拉起，然后放開(kāi)，在擺球某次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，按下秒表開(kāi)始計(jì)時(shí)，同時(shí)將此次通過(guò)最低點(diǎn)作為第一次，接著一直數(shù)到擺球第60次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，按秒表停止計(jì)時(shí)，讀出這段時(shí)間t，算出單擺的周期T＝t/60。(3)將所測(cè)得的l和T代入單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))中，算出g，將它作為為實(shí)驗(yàn)的最后結(jié)果寫(xiě)入報(bào)告中去。上面一個(gè)步驟中，若有遺漏或錯(cuò)誤的地方，請(qǐng)?jiān)谙旅娴臋M線做相應(yīng)的改正，若沒(méi)有，就不用填寫(xiě)(不要求進(jìn)行誤差計(jì)算)(1)______________________________(2)______________________________(3)______________________________例2某同學(xué)利用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?1)實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)提供的器材有：鐵架臺(tái)、夾子、秒表、游標(biāo)卡尺。除此之外，還需要的器材有__________。A．長(zhǎng)度約為1m的細(xì)線 B．長(zhǎng)度約為30cm的細(xì)線C．直徑約為2cm的鋼球 D．直徑約為2cm的木球E．最小刻度為1cm的直尺 F．最小刻度為1mm的直尺(2)該同學(xué)在測(cè)量單擺的周期時(shí)，他用秒表記下了單擺做50次全振動(dòng)的時(shí)間，如圖甲所示，秒表的讀數(shù)為_(kāi)_______s。(3)下表是該同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理。組次123擺長(zhǎng)l/cm80.0090.00100.0050次全振動(dòng)時(shí)間t/s90.095.5100.5振動(dòng)周期T/s1.801.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73請(qǐng)計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T＝______s，g＝______m/s2。(4)該同學(xué)經(jīng)測(cè)量得到多組擺長(zhǎng)l和對(duì)應(yīng)的周期T，畫(huà)出，lT2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)如圖乙所示。則當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊谋磉_(dá)式g＝________。例3伽利略曾經(jīng)提出和解決了這樣一個(gè)問(wèn)題：一根細(xì)繩懸掛在黑暗的城堡中，人們看不到它的上端，只能摸到它的下端。為了測(cè)出細(xì)繩的長(zhǎng)度，在細(xì)繩的下端系一個(gè)金屬球，使之在豎直平面內(nèi)做小角度的擺動(dòng)。主要實(shí)驗(yàn)步驟如下：①將一小球系于細(xì)繩的下端制成單擺，讓單擺在豎直平面內(nèi)做小角度擺動(dòng)；②當(dāng)小球通過(guò)平衡位置時(shí)啟動(dòng)秒表(記為第1次)，在小球第n1次通過(guò)平衡位置時(shí)止動(dòng)秒表，讀出秒表時(shí)間為t1；③將細(xì)繩截去一段，重復(fù)實(shí)驗(yàn)步驟①②，測(cè)出小球n2次通過(guò)平衡位置的時(shí)間為t2?；卮鹣铝袉?wèn)題：(1)要達(dá)到測(cè)出細(xì)繩長(zhǎng)度的目的，首先要測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。測(cè)量重力加速度還需要測(cè)量的物理量是______(填序號(hào)字母)。A．小球的質(zhì)量m B．細(xì)繩擺動(dòng)的角度θC．截去的細(xì)繩長(zhǎng)度Δl D．小球的直徑d(2)測(cè)得的當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝__________。(3)細(xì)繩截去一段前，細(xì)繩的長(zhǎng)度L＝____________(當(dāng)?shù)刂亓铀俣扔胓表示，小球的直徑用d表示)。〖隨堂演練〗1．在利用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)測(cè)出了多組擺長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)周期，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，作出T2l的關(guān)系圖像如圖所示。(1)為了減小測(cè)量誤差，如下措施中正確的是________；(填字母)A．單擺的擺角應(yīng)盡量大些B．?dāng)[線應(yīng)盡量短些C．選體積較小、質(zhì)量較大的擺球D．測(cè)量周期時(shí)，應(yīng)取擺球在最高點(diǎn)時(shí)做為計(jì)時(shí)的起、終點(diǎn)位置(2)圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，原因可能是________；(3)雖然實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了疏漏，但根據(jù)圖像仍可算出重力加速度，其值為_(kāi)_______m/s2(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)。2．某同學(xué)利用單擺測(cè)量重力加速度。(1)為了使測(cè)量誤差盡量小，下列說(shuō)法正確的是________。A．組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球 B．組裝單擺須選用輕且不易伸長(zhǎng)的細(xì)線C．實(shí)驗(yàn)時(shí)須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動(dòng) D．?dāng)[長(zhǎng)一定的情況下，擺的振幅盡量大(2)如圖所示，在物理支架的豎直立柱上固定有擺長(zhǎng)約為1m的單擺。實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于僅有量程為20cm、精度為1mm的鋼板刻度尺，于是他先使擺球自然下垂，在豎直立柱上與擺球最下端處于同一水平面的位置做一標(biāo)記點(diǎn)，測(cè)出單擺的周期T1；然后保持懸點(diǎn)位置不變，設(shè)法將擺長(zhǎng)縮短一些，再次使擺球自然下垂，用同樣方法在豎直立柱上做另一標(biāo)記點(diǎn)，并測(cè)出單擺的周期T2；最后用鋼板刻度尺量出豎直立柱上兩標(biāo)記點(diǎn)之間的距離ΔL。用上述測(cè)量結(jié)果，寫(xiě)出重力加速度的表達(dá)式g＝________。3．(1)物理課外小組探究“用單擺測(cè)定重力加速度”實(shí)驗(yàn)，他們依照教材實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量單擺擺線長(zhǎng)l0、擺球直徑d和單擺完成n次全振動(dòng)的時(shí)間t，則該單擺的擺長(zhǎng)為_(kāi)_______，振動(dòng)周期為_(kāi)_______。(2)他們測(cè)出不同的擺長(zhǎng)l所對(duì)應(yīng)的周期T，在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)：①甲同學(xué)以擺長(zhǎng)l為橫坐標(biāo)，周期T的平方為縱坐標(biāo)作出了T2l圖像，若他測(cè)得的圖像的斜率為k，則測(cè)得的重力加速度g＝________。若甲同學(xué)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，忘記測(cè)擺球的半徑，則他用圖像法求得的重力加速度________(選填“偏小”“偏大”或“準(zhǔn)確”)。②乙同學(xué)根據(jù)單擺振動(dòng)的周期公式計(jì)算重力加速度，若乙同學(xué)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，也忘記了測(cè)擺球的半徑，則他測(cè)得的重力加速度________(選填“偏小”“偏大”或“準(zhǔn)確”)。(3)某小組測(cè)量5種不同擺長(zhǎng)下單擺的振動(dòng)周期，以擺長(zhǎng)l為橫坐標(biāo)、周期T的平方為縱坐標(biāo)，作出T2l圖像如圖所示，利用此圖像求出的重力加速度為_(kāi)_______m/s2(保留三位有效數(shù)字)。4．甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組分別利用單擺測(cè)量重力加速度的大小。(1)甲組同學(xué)采用圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置。A．由于沒(méi)有游標(biāo)卡尺，無(wú)法測(cè)小球的直徑d，實(shí)驗(yàn)中將懸點(diǎn)到小球最低點(diǎn)的距離作為擺長(zhǎng)l，測(cè)得多組周期T和l的數(shù)據(jù)，作出lT2圖像，如圖乙所示。①實(shí)驗(yàn)得到的lT2圖像是________；②小球的直徑是________cm；B．在測(cè)量擺長(zhǎng)后，測(cè)量周期時(shí)，擺球振動(dòng)過(guò)程中懸點(diǎn)O處擺線的固定出現(xiàn)松動(dòng)，擺長(zhǎng)略微變長(zhǎng)，這將會(huì)導(dǎo)致所測(cè)重力加速度的數(shù)值______。(填“偏大”“偏小”或“不變”)(2)乙組同學(xué)在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)速度傳感器，如圖丙所示，將擺球拉開(kāi)一小角度使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，速度傳感器記錄了擺球振動(dòng)過(guò)程中速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，如圖丁所示的vt圖線。A．由圖丁可知，該單擺的周期T＝________s；B．更換擺線長(zhǎng)度l后，多次測(cè)量，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)作出T2l圖線(l為擺線長(zhǎng))，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝4.04l＋0.024。由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝________m/s2。(取π2＝9.86，結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁例1〖解析〗(1)擺長(zhǎng)不等于擺線的長(zhǎng)度，所以要用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球直徑d，擺長(zhǎng)l等于擺線長(zhǎng)與小球半徑之和；(2)一個(gè)周期內(nèi)兩次通過(guò)最低點(diǎn)，按秒表開(kāi)始計(jì)時(shí)，并記數(shù)為1，直到擺球第60次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，所以共有29.5次全振動(dòng)，所以T＝eq\f(t,29.5)；(3)不能通過(guò)單獨(dú)一次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為最終結(jié)果，g應(yīng)多測(cè)幾次，然后取平均值作為實(shí)驗(yàn)最后結(jié)果?！即鸢浮?1)要用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球直徑d，擺長(zhǎng)l等于擺線長(zhǎng)與擺球半徑之和(2)T＝eq\f(t,29.5)(3)g應(yīng)測(cè)量多次，然后取平均值做實(shí)驗(yàn)結(jié)果例2〖解析〗(1)細(xì)線長(zhǎng)度要遠(yuǎn)大于小球直徑；小球需要體積小、質(zhì)量大，所以選鋼球；為了提高測(cè)量的精確度，選擇毫米刻度尺。故選A、C、F。(2)秒表的讀數(shù)為95.1s。(3)周期為T(mén)＝eq\f(t,n)＝eq\f(100.5,50)s＝2.01s，根據(jù)周期公式得g＝eq\f(4π2l,T2)，代入數(shù)據(jù)得g＝9.76m/s2。(4)根據(jù)周期公式得l＝eq\f(gT2,4π2)，所以圖像的斜率為eq\f(lB－lA,TB2－TA2)＝eq\f(g,4π2)，解得g＝4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)?！即鸢浮?1)ACF(2)95.1(3)2.019.76(4)4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)例3〖解析〗(2)根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，當(dāng)小球通過(guò)平衡位置時(shí)啟動(dòng)秒表(記為第1次)，在小球第n1次通過(guò)平衡位置時(shí)停止秒表，讀出秒表時(shí)間為t1，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，將細(xì)繩截去一段，重復(fù)實(shí)驗(yàn)步驟①②，測(cè)出小球n2次通過(guò)平衡位置的時(shí)間為t2，有eq\f(t2,\f(n2－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2)－Δl,g))聯(lián)立兩式得g＝eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)。(1)由此式可知，需要測(cè)量的物理量有Δl，故選C。(3)根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，細(xì)繩截去一段前，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，細(xì)繩的長(zhǎng)度L＝eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)。〖答案〗(1)C(2)eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)(3)eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)〖隨堂演練〗1.〖解析〗(1)單擺在擺角小于5°時(shí)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，所以單擺的擺角不能太大，故A錯(cuò)誤；為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，擺線應(yīng)適當(dāng)長(zhǎng)些，故B錯(cuò)誤；為了減小空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，擺線的長(zhǎng)度應(yīng)遠(yuǎn)大于擺球的直徑，所以應(yīng)選擇質(zhì)量大，體積小的實(shí)心小球作為擺球，故C正確；為了減小測(cè)量周期的誤差，測(cè)量周期時(shí)，應(yīng)取擺球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)為計(jì)時(shí)的起、終點(diǎn)位置，故D錯(cuò)誤。故選C。(2)圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，將圖像向右平移1cm就會(huì)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故相同的周期下，擺長(zhǎng)偏小1cm，故可能是測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，僅測(cè)了擺線長(zhǎng)度而漏測(cè)了小球半徑。(3)由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，圖像斜率k＝eq\f(4π2,g)，結(jié)合圖像數(shù)據(jù)得到eq\f(4π2,g)＝eq\f(4,1)＝4，則求得g≈9.86m/s2。〖答案〗(1)C(2)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，僅測(cè)了擺線長(zhǎng)度漏測(cè)了小球半徑(3)9.862.〖解析〗(1)組裝單擺時(shí)，懸線應(yīng)選用不易伸長(zhǎng)的細(xì)線；擺球選擇體積小、密度大的擺球；單擺擺動(dòng)時(shí)在同一豎直面內(nèi)擺動(dòng)；擺的振幅盡量小一些。選項(xiàng)B、C正確。(2)設(shè)單擺的周期為T(mén)1時(shí)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)1，周期為T(mén)2時(shí)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)2則T1＝2πeq\r(\f(L1,g))①T2＝2πeq\r(\f(L2,g))②且L1－L2＝ΔL③聯(lián)立①②③式得g＝eq\f(4π2ΔL,T12－T22)?！即鸢浮?1)BC(2)eq\f(4π2ΔL,T12－T22)3.〖解析〗(1)單擺長(zhǎng)等于擺線長(zhǎng)加上擺球的半徑，故擺長(zhǎng)為l0＋eq\f(d,2)單擺完成n次全振動(dòng)，即完成了n個(gè)周期，所以周期T＝eq\f(t,n)。(2)由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得g＝eq\f(4π2l,T2)①對(duì)于甲同學(xué)：由于T2l圖像的斜率為k＝eq\f(4π2,g)，得g＝eq\f(4π2,k)又由于g＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l1＋\f(d,2))),T12)＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l2＋\f(d,2))),T22)＝eq\f(4π2Δl,T22－T12)＝eq\f(4π2,k)所以可知單擺擺長(zhǎng)偏大還是偏小不影響圖像的斜率k，因此擺長(zhǎng)偏小不影響重力加速度的測(cè)量值，所以甲同學(xué)用圖像法求得的重力加速度準(zhǔn)確；②對(duì)于乙同學(xué)：根據(jù)單擺振動(dòng)的周期公式計(jì)算重力加速度g＝eq\f(4π2l,T2)，若乙同學(xué)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，也忘記了測(cè)擺球的半徑，使得擺長(zhǎng)偏小，則他測(cè)得的重力加速度偏小。(3)計(jì)算出圖像的斜率大約為k＝4.0，依據(jù)圖像求出重力加速度為g＝9.86m/s2?！即鸢浮?1)l0＋eq\f(d,2)eq\f(t,n)(2)①eq\f(4π2,k)準(zhǔn)確②偏小(3)9.864.〖解析〗(1)①由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l－\f(d,2),g))得l＝eq\f(g,4π2)T2＋eq\f(d,2)，由數(shù)學(xué)關(guān)系得斜率k＝eq\f(g,4π2)，縱截距b＝eq\f(d,2)，因lT2圖像的縱截距為正，則圖像應(yīng)為c。②由圖像c的縱截距可得d＝2b＝2×0.6cm＝1.2cm，繩子松動(dòng)導(dǎo)致擺長(zhǎng)變長(zhǎng)，但測(cè)量值偏小，由T＝2πeq\r(\f(l－\f(d,2),g))得g＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l－\f(d,2))),T2)，則重力加速度的測(cè)量值偏小。(2)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線知，單擺的周期T＝2.0s，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l＋\f(d,2),g))得T2＝eq\f(4π2,g)l＋eq\f(2π2d,g)，則k＝eq\f(4π2,g)＝4.04，解得g＝9.76m/s2?！即鸢浮?1)c1.2偏小(2)2.09.762.5實(shí)驗(yàn)：用單擺測(cè)量重力加速度〖實(shí)驗(yàn)探究〗一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?．明確用單擺測(cè)量重力加速度的原理和方法。2．學(xué)會(huì)用單擺測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?．知道如何選擇實(shí)驗(yàn)器材，能熟練地使用秒表。4．會(huì)用平均值法、圖像法求解重力加速度。二、實(shí)驗(yàn)原理單擺在偏角很小(小于5°)時(shí)的擺動(dòng)，可以看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其周期為T(mén)＝2πeq\r(\f(l,g))，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2)。據(jù)此，只要測(cè)出擺長(zhǎng)l和周期T，即可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎怠Ｈ?、?shí)驗(yàn)器材鐵架臺(tái)及鐵夾、金屬小球(帶有一個(gè)通過(guò)球心的小孔)、秒表、細(xì)線(長(zhǎng)1m左右)、刻度尺(最小刻度為mm)、游標(biāo)卡尺。四、實(shí)驗(yàn)步驟1．做單擺：將線的一端穿過(guò)小球的小孔，并打一比孔大的結(jié)。然后把線的上端用鐵夾固定于鐵架臺(tái)上，在平衡位置處做上標(biāo)記。2．測(cè)擺長(zhǎng)：用毫米刻度尺測(cè)出擺線長(zhǎng)度l線，用游標(biāo)卡尺測(cè)量出擺球的直徑d，則單擺的擺長(zhǎng)l＝l線＋eq\f(d,2)。3．測(cè)周期：將單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)小于5°的角，然后釋放擺球，當(dāng)單擺振動(dòng)穩(wěn)定后，過(guò)最低位置時(shí)開(kāi)始用秒表計(jì)時(shí)，測(cè)量N次(一般取30～50次)全振動(dòng)的時(shí)間t，則周期T＝eq\f(t,N)。4．變擺長(zhǎng)：將單擺的擺長(zhǎng)變短(或變長(zhǎng))，重復(fù)實(shí)驗(yàn)三次，測(cè)出相應(yīng)的擺長(zhǎng)l和周期T。五、數(shù)據(jù)處理1．平均值法：每改變一次擺長(zhǎng)，將相應(yīng)的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。設(shè)計(jì)如下所示實(shí)驗(yàn)表格實(shí)驗(yàn)次數(shù)擺長(zhǎng)l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)232．圖像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，作出T2l圖像，即以T2為縱軸，以l為橫軸。其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。六、誤差分析1．單擺的振動(dòng)不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的要求引起的系統(tǒng)誤差(1)單擺不在同一豎直平面內(nèi)振動(dòng)，成為圓錐擺。(2)振幅過(guò)大，擺線偏離豎直方向的角度超過(guò)5°。2．測(cè)定擺長(zhǎng)l時(shí)引起的誤差(1)在未懸掛擺球前測(cè)定擺長(zhǎng)或漏加擺球半徑。(2)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)擺線拉得過(guò)緊或以擺球的直徑與擺線長(zhǎng)之和作為擺長(zhǎng)。(3)懸點(diǎn)未固定好，擺球擺動(dòng)時(shí)出現(xiàn)松動(dòng)，使實(shí)際的擺長(zhǎng)不斷變長(zhǎng)。3．測(cè)定周期時(shí)引起的誤差(1)開(kāi)始計(jì)時(shí)和停止計(jì)時(shí)，秒表過(guò)早或過(guò)遲按下。(2)測(cè)定N次全振動(dòng)的時(shí)間為t，次數(shù)N數(shù)錯(cuò)。(3)計(jì)算單擺的全振動(dòng)次數(shù)時(shí)，未從擺球通過(guò)最低點(diǎn)位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。七、注意事項(xiàng)1．?dāng)[線要選1m左右，不要過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短，太長(zhǎng)測(cè)量不方便，太短擺動(dòng)太快，不易計(jì)數(shù)。2．測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)要先懸掛好擺球后再測(cè)量，不要先測(cè)擺長(zhǎng)再系小球，因?yàn)閼覓鞌[球后細(xì)線會(huì)發(fā)生形變。3．?dāng)[球要選體積小、密度大的，不要選體積大、密度小的，這樣可以減小空氣阻力的影響。4．?dāng)[角要小于5°，不要過(guò)大，因?yàn)閿[角過(guò)大，單擺的振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，公式T＝2πeq\r(\f(l,g))不適用。5．單擺要保證在同一個(gè)豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，不要使之成為圓錐擺。6．計(jì)時(shí)要從擺球經(jīng)過(guò)平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，不要從擺球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。要準(zhǔn)確記好擺動(dòng)次數(shù)，不要多記或少記。〖典例精析〗例1一位同學(xué)用單擺做測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)，他將擺球掛起后，進(jìn)行了如下步驟(1)測(cè)擺長(zhǎng)l：用米尺量出擺線的長(zhǎng)度。(2)測(cè)周期T：將擺球拉起，然后放開(kāi)，在擺球某次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，按下秒表開(kāi)始計(jì)時(shí)，同時(shí)將此次通過(guò)最低點(diǎn)作為第一次，接著一直數(shù)到擺球第60次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，按秒表停止計(jì)時(shí)，讀出這段時(shí)間t，算出單擺的周期T＝t/60。(3)將所測(cè)得的l和T代入單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))中，算出g，將它作為為實(shí)驗(yàn)的最后結(jié)果寫(xiě)入報(bào)告中去。上面一個(gè)步驟中，若有遺漏或錯(cuò)誤的地方，請(qǐng)?jiān)谙旅娴臋M線做相應(yīng)的改正，若沒(méi)有，就不用填寫(xiě)(不要求進(jìn)行誤差計(jì)算)(1)______________________________(2)______________________________(3)______________________________例2某同學(xué)利用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?1)實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)提供的器材有：鐵架臺(tái)、夾子、秒表、游標(biāo)卡尺。除此之外，還需要的器材有__________。A．長(zhǎng)度約為1m的細(xì)線 B．長(zhǎng)度約為30cm的細(xì)線C．直徑約為2cm的鋼球 D．直徑約為2cm的木球E．最小刻度為1cm的直尺 F．最小刻度為1mm的直尺(2)該同學(xué)在測(cè)量單擺的周期時(shí)，他用秒表記下了單擺做50次全振動(dòng)的時(shí)間，如圖甲所示，秒表的讀數(shù)為_(kāi)_______s。(3)下表是該同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理。組次123擺長(zhǎng)l/cm80.0090.00100.0050次全振動(dòng)時(shí)間t/s90.095.5100.5振動(dòng)周期T/s1.801.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73請(qǐng)計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T＝______s，g＝______m/s2。(4)該同學(xué)經(jīng)測(cè)量得到多組擺長(zhǎng)l和對(duì)應(yīng)的周期T，畫(huà)出，lT2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)如圖乙所示。則當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊谋磉_(dá)式g＝________。例3伽利略曾經(jīng)提出和解決了這樣一個(gè)問(wèn)題：一根細(xì)繩懸掛在黑暗的城堡中，人們看不到它的上端，只能摸到它的下端。為了測(cè)出細(xì)繩的長(zhǎng)度，在細(xì)繩的下端系一個(gè)金屬球，使之在豎直平面內(nèi)做小角度的擺動(dòng)。主要實(shí)驗(yàn)步驟如下：①將一小球系于細(xì)繩的下端制成單擺，讓單擺在豎直平面內(nèi)做小角度擺動(dòng)；②當(dāng)小球通過(guò)平衡位置時(shí)啟動(dòng)秒表(記為第1次)，在小球第n1次通過(guò)平衡位置時(shí)止動(dòng)秒表，讀出秒表時(shí)間為t1；③將細(xì)繩截去一段，重復(fù)實(shí)驗(yàn)步驟①②，測(cè)出小球n2次通過(guò)平衡位置的時(shí)間為t2?；卮鹣铝袉?wèn)題：(1)要達(dá)到測(cè)出細(xì)繩長(zhǎng)度的目的，首先要測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取y(cè)量重力加速度還需要測(cè)量的物理量是______(填序號(hào)字母)。A．小球的質(zhì)量m B．細(xì)繩擺動(dòng)的角度θC．截去的細(xì)繩長(zhǎng)度Δl D．小球的直徑d(2)測(cè)得的當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝__________。(3)細(xì)繩截去一段前，細(xì)繩的長(zhǎng)度L＝____________(當(dāng)?shù)刂亓铀俣扔胓表示，小球的直徑用d表示)?！茧S堂演練〗1．在利用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)測(cè)出了多組擺長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)周期，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，作出T2l的關(guān)系圖像如圖所示。(1)為了減小測(cè)量誤差，如下措施中正確的是________；(填字母)A．單擺的擺角應(yīng)盡量大些B．?dāng)[線應(yīng)盡量短些C．選體積較小、質(zhì)量較大的擺球D．測(cè)量周期時(shí)，應(yīng)取擺球在最高點(diǎn)時(shí)做為計(jì)時(shí)的起、終點(diǎn)位置(2)圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，原因可能是________；(3)雖然實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了疏漏，但根據(jù)圖像仍可算出重力加速度，其值為_(kāi)_______m/s2(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)。2．某同學(xué)利用單擺測(cè)量重力加速度。(1)為了使測(cè)量誤差盡量小，下列說(shuō)法正確的是________。A．組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球 B．組裝單擺須選用輕且不易伸長(zhǎng)的細(xì)線C．實(shí)驗(yàn)時(shí)須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動(dòng) D．?dāng)[長(zhǎng)一定的情況下，擺的振幅盡量大(2)如圖所示，在物理支架的豎直立柱上固定有擺長(zhǎng)約為1m的單擺。實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于僅有量程為20cm、精度為1mm的鋼板刻度尺，于是他先使擺球自然下垂，在豎直立柱上與擺球最下端處于同一水平面的位置做一標(biāo)記點(diǎn)，測(cè)出單擺的周期T1；然后保持懸點(diǎn)位置不變，設(shè)法將擺長(zhǎng)縮短一些，再次使擺球自然下垂，用同樣方法在豎直立柱上做另一標(biāo)記點(diǎn)，并測(cè)出單擺的周期T2；最后用鋼板刻度尺量出豎直立柱上兩標(biāo)記點(diǎn)之間的距離ΔL。用上述測(cè)量結(jié)果，寫(xiě)出重力加速度的表達(dá)式g＝________。3．(1)物理課外小組探究“用單擺測(cè)定重力加速度”實(shí)驗(yàn)，他們依照教材實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量單擺擺線長(zhǎng)l0、擺球直徑d和單擺完成n次全振動(dòng)的時(shí)間t，則該單擺的擺長(zhǎng)為_(kāi)_______，振動(dòng)周期為_(kāi)_______。(2)他們測(cè)出不同的擺長(zhǎng)l所對(duì)應(yīng)的周期T，在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)：①甲同學(xué)以擺長(zhǎng)l為橫坐標(biāo)，周期T的平方為縱坐標(biāo)作出了T2l圖像，若他測(cè)得的圖像的斜率為k，則測(cè)得的重力加速度g＝________。若甲同學(xué)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，忘記測(cè)擺球的半徑，則他用圖像法求得的重力加速度________(選填“偏小”“偏大”或“準(zhǔn)確”)。②乙同學(xué)根據(jù)單擺振動(dòng)的周期公式計(jì)算重力加速度，若乙同學(xué)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，也忘記了測(cè)擺球的半徑，則他測(cè)得的重力加速度________(選填“偏小”“偏大”或“準(zhǔn)確”)。(3)某小組測(cè)量5種不同擺長(zhǎng)下單擺的振動(dòng)周期，以擺長(zhǎng)l為橫坐標(biāo)、周期T的平方為縱坐標(biāo)，作出T2l圖像如圖所示，利用此圖像求出的重力加速度為_(kāi)_______m/s2(保留三位有效數(shù)字)。4．甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組分別利用單擺測(cè)量重力加速度的大小。(1)甲組同學(xué)采用圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置。A．由于沒(méi)有游標(biāo)卡尺，無(wú)法測(cè)小球的直徑d，實(shí)驗(yàn)中將懸點(diǎn)到小球最低點(diǎn)的距離作為擺長(zhǎng)l，測(cè)得多組周期T和l的數(shù)據(jù)，作出lT2圖像，如圖乙所示。①實(shí)驗(yàn)得到的lT2圖像是________；②小球的直徑是________cm；B．在測(cè)量擺長(zhǎng)后，測(cè)量周期時(shí)，擺球振動(dòng)過(guò)程中懸點(diǎn)O處擺線的固定出現(xiàn)松動(dòng)，擺長(zhǎng)略微變長(zhǎng)，這將會(huì)導(dǎo)致所測(cè)重力加速度的數(shù)值______。(填“偏大”“偏小”或“不變”)(2)乙組同學(xué)在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)速度傳感器，如圖丙所示，將擺球拉開(kāi)一小角度使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，速度傳感器記錄了擺球振動(dòng)過(guò)程中速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，如圖丁所示的vt圖線。A．由圖丁可知，該單擺的周期T＝________s；B．更換擺線長(zhǎng)度l后，多次測(cè)量，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)作出T2l圖線(l為擺線長(zhǎng))，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝4.04l＋0.024。由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝________m/s2。(取π2＝9.86，結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁例1〖解析〗(1)擺長(zhǎng)不等于擺線的長(zhǎng)度，所以要用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球直徑d，擺長(zhǎng)l等于擺線長(zhǎng)與小球半徑之和；(2)一個(gè)周期內(nèi)兩次通過(guò)最低點(diǎn)，按秒表開(kāi)始計(jì)時(shí)，并記數(shù)為1，直到擺球第60次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，所以共有29.5次全振動(dòng)，所以T＝eq\f(t,29.5)；(3)不能通過(guò)單獨(dú)一次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為最終結(jié)果，g應(yīng)多測(cè)幾次，然后取平均值作為實(shí)驗(yàn)最后結(jié)果?！即鸢浮?1)要用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球直徑d，擺長(zhǎng)l等于擺線長(zhǎng)與擺球半徑之和(2)T＝eq\f(t,29.5)(3)g應(yīng)測(cè)量多次，然后取平均值做實(shí)驗(yàn)結(jié)果例2〖解析〗(1)細(xì)線長(zhǎng)度要遠(yuǎn)大于小球直徑；小球需要體積小、質(zhì)量大，所以選鋼球；為了提高測(cè)量的精確度，選擇毫米刻度尺。故選A、C、F。(2)秒表的讀數(shù)為95.1s。(3)周期為T(mén)＝eq\f(t,n)＝eq\f(100.5,50)s＝2.01s，根據(jù)周期公式得g＝eq\f(4π2l,T2)，代入數(shù)據(jù)得g＝9.76m/s2。(4)根據(jù)周期公式得l＝eq\f(gT2,4π2)，所以圖像的斜率為eq\f(lB－lA,TB2－TA2)＝eq\f(g,4π2)，解得g＝4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)。〖答案〗(1)ACF(2)95.1(3)2.019.76(4)4π2eq\f(lB－lA,TB2－TA2)例3〖解析〗(2)根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，當(dāng)小球通過(guò)平衡位置時(shí)啟動(dòng)秒表(記為第1次)，在小球第n1次通過(guò)平衡位置時(shí)停止秒表，讀出秒表時(shí)間為t1，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，將細(xì)繩截去一段，重復(fù)實(shí)驗(yàn)步驟①②，測(cè)出小球n2次通過(guò)平衡位置的時(shí)間為t2，有eq\f(t2,\f(n2－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2)－Δl,g))聯(lián)立兩式得g＝eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)。(1)由此式可知，需要測(cè)量的物理量有Δl，故選C。(3)根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，細(xì)繩截去一段前，有eq\f(t1,\f(n1－1,2))＝2πeq\r(\f(L＋\f(d,2),g))，細(xì)繩的長(zhǎng)度L＝eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)?！即鸢浮?1)C(2)eq\f(π2Δl,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,n1－1)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,n2－1)))2)(3)eq\f(gt12,π2(n1－1)2)－eq\f(d,2)〖隨堂演練〗1.〖解析〗(1)單擺在擺角小于5°時(shí)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，所以單擺的擺角不能太大，故A錯(cuò)誤；為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，擺線應(yīng)適當(dāng)長(zhǎng)些，故B錯(cuò)誤；為了減小空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，擺線的長(zhǎng)度應(yīng)遠(yuǎn)大于擺球的直徑，所以應(yīng)選擇質(zhì)量大，體積小的實(shí)心小球作為擺球，故C正確；為了減小測(cè)量周期的誤差，測(cè)量周期時(shí)，應(yīng)取擺球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)為計(jì)時(shí)的起、終點(diǎn)位置，故D錯(cuò)誤。故選C。(2)圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，將圖像向右平移1cm就會(huì)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故相同的周期下，擺長(zhǎng)偏小1cm，故可能是測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)，僅測(cè)了擺線長(zhǎng)度而漏測(cè)了小球半徑。(3)由單