第15講 線段的大小的比較（九大題型）（原卷版）

第15講線段的大小的比較（九大題型）1．理解直線、射線、線段的概念，掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2.利用直線、線段的性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問題；知識(shí)點(diǎn)一、直線1．概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個(gè)不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細(xì)線”、“一張紙的折痕”等實(shí)際事物進(jìn)行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．（2）也可以用一個(gè)小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線．3.基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線．簡單說成：兩點(diǎn)確定一條直線．要點(diǎn)：直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸．（2）直線沒有粗細(xì)．（3）兩點(diǎn)確定一條直線．（4）兩條直線相交有唯一一個(gè)交點(diǎn)．4.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在直線上，如圖3所示，點(diǎn)A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點(diǎn)A．（2）點(diǎn)在直線外，如圖4，點(diǎn)B在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點(diǎn)B．知識(shí)點(diǎn)二、線段1.概念：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個(gè)小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a．3.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段．4.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短．如圖6所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的．圖6圖6要點(diǎn)：（1）線段是直的，它有兩個(gè)端點(diǎn)，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短．（2）連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離．（3）線段的比較：①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．②疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．知識(shí)點(diǎn)三、射線1.概念：直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線，這個(gè)點(diǎn)叫射線的端點(diǎn)．如圖8所示，直線l上點(diǎn)O和它一旁的部分是一條射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)．圖8圖82.特征：是直的，有一個(gè)端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長短，無限長．3.表示方法：（1）可以用兩個(gè)大寫英文字母表示，其中一個(gè)是射線的端點(diǎn)，另一個(gè)是射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫在前面，如圖8所示，可記為射線OA．（2）也可以用一個(gè)小寫英文字母表示，如圖8所示，射線OA可記為射線l．要點(diǎn)：(1)端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖9中射線OA，射線OB是不同的射線．圖9圖9(2)端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖10中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．圖10圖10知識(shí)點(diǎn)四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系．在直線上任取一點(diǎn)，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點(diǎn)，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區(qū)別如下表要點(diǎn)：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：（2）在表示直線、射線與線段時(shí)，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．題型1：直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別題型2：尺規(guī)作圖題型3：尺規(guī)作圖的語句辨析題型4：點(diǎn)與線的位置關(guān)系辨析題型5：兩點(diǎn)確定一條直線、兩點(diǎn)之間線段最短題型6：兩點(diǎn)之間的距離題型7：最短路線問題題型8：直線、射線、線段的數(shù)量問題題型9：直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題題型1：直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別【典例1】．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．線段的長度表示A、B兩點(diǎn)之間的距離B．直線、射線、線段中直線最長C．射線和射線表示不同射線D．過一點(diǎn)能作無數(shù)條直線【典例2】．如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．線段與線段表示同一條線段 B．射線與射線表示同一條射線C．直線與直線表示同一條直線 D．射線與射線表示同一條射線【典例3】．如圖，下列說法正確的是(

)

A．延長直線B．直線與直線是同一條直線C．射線和射線是同一條射線D．延長線段和延長線段的含義是相同的題型2：尺規(guī)作圖【典例4】．如圖，已知三點(diǎn)A、B、C．(1)畫直線；(2)畫射線；(3)連接．【典例5】．如圖，已知四點(diǎn)．(1)作射線；(2)作直線與直線，相交于點(diǎn)；(3)連接，并在線段的延長線上取一點(diǎn)，使得．題型3：尺規(guī)作圖的語句辨析【典例6】．下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（）A．延長射線到DB．延長線段至C，使C．作直線D．以點(diǎn)D為圓心，任意長為半徑畫弧【典例7】．下列關(guān)于作圖的語句中，正確的是（

）A．畫射線 B．畫直線C．畫線段，在線段上任取一點(diǎn) D．以點(diǎn)為端點(diǎn)畫射線【典例8】．下列語句準(zhǔn)確規(guī)范的是（

）A．直線相交于一點(diǎn)B．延長直線C．延長線段到，使D．反向延長射線（是端點(diǎn)）題型4：點(diǎn)與線的位置關(guān)系辨析【典例9】．平面上有A，B，C三點(diǎn)，如果，，，那么下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)C在線段上 B．點(diǎn)C在線段的延長線上C．點(diǎn)C在直線外 D．點(diǎn)C的位置無法確定【典例10】．如圖，直線m和直線n相交于點(diǎn)O，對(duì)于圖形，說法正確的語句有（）①點(diǎn)O在直線m上．②點(diǎn)O在直線n上．③點(diǎn)O在直線m上．也在直線n上．

④直線m經(jīng)過點(diǎn)O．A．1個(gè)． B．2個(gè)． C．3個(gè)． D．4個(gè)．【典例11】．下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述不相符的是（

）A．如圖甲所示，直線不經(jīng)過點(diǎn)PB．如圖乙所示，直線a與直線b交于點(diǎn)OC．如圖丙所示，點(diǎn)C在線段上D．如圖丁所示，線段與射線一定相交題型5：兩點(diǎn)確定一條直線、兩點(diǎn)之間線段最短【典例12】．下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．連接兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離D．線段和線段是同一條線段【典例13】．在墻壁上固定一根橫放的木條，則至少需要兩枚釘子，這是因?yàn)椋镜淅?4】．用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，如圖，則剩下的樹葉周長小于原樹葉的周長，能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)道理是．【典例15】．如圖，地到地有三條路線，由上至下依次記為路線，則從到地的最短路線是，其依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)之間，直線最短 D．直線比曲線短題型6：兩點(diǎn)之間的距離【典例16】．兩點(diǎn)之間，線段．即連接兩點(diǎn)間的所有連線中，是最短的．這條線段的叫做這兩點(diǎn)間的距離．【典例17】．已知：A、B、C三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，若線段，，則線段．【典例18】．已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，且，，則．題型7：最短路線問題【典例19】．如圖，從地到地的最短路線是(

)

A． B．C． D．【典例20】．小穎的爸爸要在某條街道l上修建一個(gè)奶站P，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使點(diǎn)P到A，B的距離之和最短，則下列作法正確的是（

）A． B． C．D．題型8：直線、射線、線段的數(shù)量問題【典例21】．如圖，直線上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D分別代表四個(gè)小區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距50m，B小區(qū)和C小區(qū)相距200m，C小區(qū)和D小區(qū)相距50m，某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，D小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計(jì)劃在A，B，C，D四個(gè)小區(qū)中選一個(gè)作為班車?？奎c(diǎn)，為使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程總和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（

）A．A小區(qū) B．B小區(qū) C．C小區(qū) D．D小區(qū)【典例22】．如圖，一根長的木棒，棒上有三個(gè)刻度，把它作為尺子，量一次要量出一個(gè)長度，能量出的長度有（

）

A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【典例23】．已知站與站之間有個(gè)車站，那么往返于站與站之間的客車，應(yīng)安排（

）種車票．A．10 B．6 C．12 D．8【典例24】．甲、乙、丙、丁、戊與小明同學(xué)參加乒乓球比賽，每兩人都要比賽一場(chǎng)，到現(xiàn)在為止，甲、乙、丙、丁、戊分別比賽了5、4、3、2、1場(chǎng)，則小明已賽（

）．A．1場(chǎng) B．2場(chǎng) C．3場(chǎng) D．4場(chǎng)【典例25】．如圖，棋盤上有黑、白兩色棋子若干，找出所有“三顆顏色相同的棋子在同一直線上”的直線，這樣的直線共有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條題型9：直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題【典例26】．已知a、b、c、d是平面上的任意四條直線，它們的交點(diǎn)不可能有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【典例27】．平面內(nèi)四條直線兩兩相交，交點(diǎn)有（

）A．1個(gè)或4個(gè) B．3個(gè)或4個(gè)C．1個(gè)、4個(gè)或6個(gè) D．1個(gè)、3個(gè)、4個(gè)或6個(gè)【典例28】．有10條不同的直線，（，2，3，4，5，6，7，8，9，10），其中，，則這10條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是（

）A．38 B．39 C．40 D．41一、單選題1．下列三種現(xiàn)象中，可用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（）（1）用一個(gè)釘子把一根細(xì)木條釘在木板上，用手撥木條，木條能轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）過馬路時(shí)，行人選擇橫穿馬路而不走人行天橋；（3）工人砌磚前需要固定兩點(diǎn)，牽上線，才開始砌磚．A．（1） B．（2） C．（2）（3） D．都不可以2．下列語句正確的是（

）A．畫直線AB＝5cm B．過任意三點(diǎn)A、B、C畫直線ABC．兩點(diǎn)之間，直線最短 D．畫線段AB＝3cm3．為了讓一隊(duì)學(xué)生站成一條直線，先讓兩名學(xué)生站好不動(dòng)，其他學(xué)生依次往后站，要求目視前方只能看到各自前面的那名學(xué)生，這種做法運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．射線只有一個(gè)端點(diǎn) D．過一點(diǎn)有無數(shù)條直線4．如圖，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在線段上 B．點(diǎn)是直線的一個(gè)端點(diǎn)C．射線和射線是同一條射線 D．圖中共有3條線段5．圖中，AB、AC是射線，圖中共有（

）條線段．A．7 B．8 C．9 D．116．已知線段長，現(xiàn)延長到點(diǎn)C，使．取線段的中點(diǎn)D，線段的長為（

）A． B． C． D．7．點(diǎn)在直線上，若，則為（

）A．或 B． C． D．無法確定8．如圖所示圖形中，共有（）條線段．

A．10 B．12 C．15 D．309．平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為m個(gè)，最多為n個(gè)，則等于（

）A．12 B．16 C．20 D．2210．若平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了（

）個(gè)部分．A．或 B． C．或 D．二、填空題11．如圖，點(diǎn)P在直線AB；點(diǎn)Q在直線AB，也在射線AB，但在線段AB的上．12．圖中有直線條，射線條，線段條．13．從甲村到乙村共有三條路（如圖所示），小明要盡快到達(dá)乙村應(yīng)選擇第條路，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為．14．如圖所示，用刻度尺測(cè)量的方法比較圖中三條線段的大小，有<<．15．如圖，能用圖中字母表示的射線有條．16．如圖，若，則AD，AC，AE，CD．17．如圖，一根長的木棒，木棒上有兩個(gè)刻度，把它作為尺子，量一次要量出一個(gè)長度，則利用這把尺子能量出個(gè)長度．18．如圖，在同一平面內(nèi)有A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)畫直線最多可以畫條．三、解答題19．按下列語句畫出圖形：（1）直線經(jīng)過點(diǎn)C；

（2）點(diǎn)A在直線l外；（3）經(jīng)過點(diǎn)O的三條線段a，b，c；

（4）線段相交于點(diǎn)B．20．按要求畫圖：（1）畫線段；（2）在AB上取點(diǎn)C，使；（3）反向延長AB到F，使；（4）延長AB到E，使；（5）過E作直線EG，以F為端點(diǎn)作一射線FG，并與直線EG相交于G．21．判斷下列說法是否正確：（1）線段和射線都是直線的一部分（2）直線和直線是同一條直線；（3）射線和射線是同一條射線；（4）把線段向一個(gè)方向無限延伸可得到射線，向兩個(gè)方向無限延伸可得到直線．22．如圖，B，C兩點(diǎn)在射線上，，在射線上作一點(diǎn)D使得．

(1)請(qǐng)用圓規(guī)作出點(diǎn)D的位置；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)若，求線段的長．23．如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，根據(jù)下列語句畫圖：

(1)畫直線；(2)作射線；(3)連接；(4)在直線上找一點(diǎn)，使得最短．24．若直線上有兩個(gè)點(diǎn)，則以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)可以確定一條線段．請(qǐng)仔細(xì)觀察圖形，解決下列問題：(1)如圖1，直線l上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，則可以確定條線段；(2)如圖2，直線l上有4個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則可以確定條線段；(3)若直線上有n個(gè)點(diǎn)，一共可以確定多少條線段？請(qǐng)寫出解題過程．25．如圖是某風(fēng)景區(qū)的旅游線示意圖，其中B、C、D為風(fēng)景點(diǎn)，E為兩條路的交叉點(diǎn)，圖中數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點(diǎn)間的路程(單位∶km)，一學(xué)生從A處出發(fā)，以2km/h的速度步行游覽，每個(gè)景點(diǎn)的逗留