《探索因式分解奧秘》課件

探索因式分解奧秘歡迎進(jìn)入數(shù)學(xué)的奇妙世界！在這場(chǎng)探索之旅中，我們將揭開因式分解的神秘面紗，解鎖代數(shù)計(jì)算的強(qiáng)大工具。因式分解不僅是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)技能，更是培養(yǎng)邏輯思維和解決問(wèn)題能力的重要途徑。通過(guò)這堂課，你將學(xué)會(huì)多種因式分解的方法，理解這些技巧背后的原理，并掌握它們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們一起踏上這段數(shù)學(xué)思維之旅吧！什么是因式分解？簡(jiǎn)化計(jì)算通過(guò)因式分解簡(jiǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算解決方程是解方程的關(guān)鍵步驟代數(shù)基礎(chǔ)多項(xiàng)式變?yōu)閹讉€(gè)整式的積因式分解是代數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)基本技能，指的是將一個(gè)多項(xiàng)式表示成幾個(gè)整式的積的形式。這個(gè)過(guò)程與我們將整數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的過(guò)程非常相似。例如，將多項(xiàng)式x2+5x+6分解為(x+2)(x+3)的過(guò)程就是因式分解。掌握因式分解不僅能幫助我們簡(jiǎn)化復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式，還是解決方程、不等式等數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵工具。通過(guò)這項(xiàng)技能，我們能更深入地理解多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。因式分解的基本概念因式因式是指多項(xiàng)式分解后得到的每一個(gè)整式。例如，在x2-4=(x+2)(x-2)中，(x+2)和(x-2)都是原多項(xiàng)式的因式。公因式公因式是指多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的因式。例如，在ax+ay中，a就是公因式，可以寫成a(x+y)。完全分解完全分解是指將多項(xiàng)式分解為不可再分解的因式的乘積形式。這些不可再分解的因式通常是一次式或不可再分解的二次式。理解這些基本概念對(duì)于掌握因式分解至關(guān)重要。在進(jìn)行因式分解時(shí)，我們的目標(biāo)是找出能夠乘積得到原多項(xiàng)式的所有因式。這些因式可能是單項(xiàng)式（如變量或常數(shù)），也可能是由多個(gè)項(xiàng)組成的多項(xiàng)式。因式分解與整式乘法的關(guān)系整式乘法將多個(gè)因式相乘得到一個(gè)多項(xiàng)式互逆過(guò)程乘法和分解互為逆運(yùn)算因式分解將多項(xiàng)式分解為多個(gè)因式的積因式分解和整式乘法是互逆的數(shù)學(xué)過(guò)程。整式乘法是將多個(gè)因式相乘得到一個(gè)多項(xiàng)式，而因式分解則是將多項(xiàng)式還原為多個(gè)因式的積。這種互逆關(guān)系使我們可以通過(guò)乘法來(lái)驗(yàn)證因式分解的結(jié)果是否正確。例如，如果我們將(x+3)(x-2)通過(guò)整式乘法展開，會(huì)得到x2+x-6。反過(guò)來(lái)，如果我們對(duì)x2+x-6進(jìn)行因式分解，應(yīng)該得到(x+3)(x-2)。通過(guò)將分解后的因式重新相乘，我們可以檢驗(yàn)分解結(jié)果是否正確。因式分解的重要性因式分解在數(shù)學(xué)中占據(jù)著極其重要的地位，它是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵工具。首先，在解方程時(shí)，通過(guò)因式分解可以將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式，使求解過(guò)程變得更加直觀和簡(jiǎn)便。其次，因式分解能夠幫助我們簡(jiǎn)化復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式，特別是在處理分式、無(wú)理數(shù)等復(fù)雜表達(dá)式時(shí)，因式分解常常是簡(jiǎn)化計(jì)算的第一步。最后，在數(shù)學(xué)建模中，因式分解可以幫助我們更好地理解模型的結(jié)構(gòu)和特性，從而找到最優(yōu)解或更有效的解決方案。無(wú)論是在純數(shù)學(xué)研究還是在工程、物理等應(yīng)用領(lǐng)域，因式分解都扮演著不可替代的角色。提取公因式法確定公因式找出多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公共因子，這可能是數(shù)字、字母或表達(dá)式。提取公因式將公因式提取出來(lái)，剩余部分放在括號(hào)內(nèi)。檢驗(yàn)結(jié)果通過(guò)乘法展開驗(yàn)證分解結(jié)果是否正確。提取公因式法是因式分解中最基本的方法，也是進(jìn)行其他復(fù)雜分解前的必要步驟。這種方法的關(guān)鍵是找出多項(xiàng)式中所有項(xiàng)的公共因子，然后將其提取出來(lái)。例如，對(duì)于多項(xiàng)式ax+ay，我們可以發(fā)現(xiàn)a是兩項(xiàng)的公共因子，因此可以寫成a(x+y)。再比如，對(duì)于3x2+6x，公因式是3x，因此可以寫成3x(x+2)。掌握這種方法后，我們就能處理許多簡(jiǎn)單的因式分解問(wèn)題了。提取公因式法-練習(xí)題目解析答案2x+4y尋找公因式：2是兩項(xiàng)的公因式2(x+2y)3a2-6ab尋找公因式：3a是兩項(xiàng)的公因式3a(a-2b)5x3+10x2尋找公因式：5x2是兩項(xiàng)的公因式5x2(x+2)在這些練習(xí)中，我們需要仔細(xì)觀察每個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)，找出它們共有的因子。對(duì)于第一題2x+4y，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字2是兩項(xiàng)的公因式，提取后得到2(x+2y)。對(duì)于第二題3a2-6ab，公因式是3a，提取后得到3a(a-2b)。對(duì)于第三題5x3+10x2，公因式包含了變量的冪，是5x2，所以結(jié)果是5x2(x+2)。通過(guò)這些練習(xí)，我們可以加深對(duì)提取公因式法的理解和應(yīng)用能力。注意，提取公因式時(shí)應(yīng)盡可能多地提取，確保括號(hào)內(nèi)的式子不再有公因式。公式法-平方差公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)識(shí)別方法觀察多項(xiàng)式是否為兩個(gè)完全平方式之差典型例子x2-4=x2-22=(x+2)(x-2)平方差公式是因式分解中最常用的公式之一，它告訴我們兩個(gè)數(shù)的平方之差可以分解為兩個(gè)因式的乘積。這個(gè)公式非常實(shí)用，因?yàn)樵诖鷶?shù)表達(dá)式中，平方差的形式經(jīng)常出現(xiàn)。使用這個(gè)公式時(shí)，首先需要確認(rèn)多項(xiàng)式是否為兩個(gè)完全平方式之差。例如，對(duì)于x2-4，我們可以將其視為x2與22的差，然后應(yīng)用公式得到(x+2)(x-2)。同樣，對(duì)于9a2-25b2，可以視為(3a)2與(5b)2的差，應(yīng)用公式得到(3a+5b)(3a-5b)。平方差公式-練習(xí)9-y2這是32與y2的差，可以應(yīng)用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)。其中a=3，b=y，因此分解為(3+y)(3-y)。4x2-25這是(2x)2與52的差，應(yīng)用平方差公式，其中a=2x，b=5，得到分解結(jié)果(2x+5)(2x-5)。16a2-1這是(4a)2與12的差，應(yīng)用平方差公式，其中a=4a，b=1，得到分解結(jié)果(4a+1)(4a-1)。通過(guò)這些練習(xí)，我們可以看到平方差公式的靈活應(yīng)用。關(guān)鍵是識(shí)別出多項(xiàng)式中的完全平方項(xiàng)，并正確應(yīng)用公式。需要注意的是，有時(shí)可能需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃尾拍茏R(shí)別出平方差的形式。公式法-完全平方公式完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2這兩個(gè)公式分別對(duì)應(yīng)于兩個(gè)數(shù)之和的平方和兩個(gè)數(shù)之差的平方。完全平方公式有明確的幾何意義，例如(a+b)2可以表示為邊長(zhǎng)為a+b的正方形的面積，等于邊長(zhǎng)為a的正方形面積、邊長(zhǎng)為b的正方形面積和兩個(gè)a×b的長(zhǎng)方形面積之和。完全平方公式是因式分解中另一個(gè)常用的公式，它用于識(shí)別那些可以表示為某個(gè)二項(xiàng)式的平方的三項(xiàng)式。使用這些公式時(shí)，關(guān)鍵是識(shí)別中間項(xiàng)2ab或-2ab，然后確定a和b的值。例如，對(duì)于x2+6x+9，我們可以將其中的6x視為2·x·3，即2ab中的a=x，b=3，并且第三項(xiàng)9正好是b2=32。因此，這個(gè)三項(xiàng)式可以分解為(x+3)2。同樣，對(duì)于x2-10x+25，可以分解為(x-5)2。完全平方公式-練習(xí)1x2-4x+4分解為(x-2)22a2+8a+16分解為(a+4)234x2+4x+1分解為(2x+1)2在練習(xí)1中，x2-4x+4滿足完全平方公式a2-2ab+b2的形式，其中a=x，b=2，因此可以分解為(x-2)2。對(duì)于練習(xí)2，a2+8a+16滿足a2+2ab+b2的形式，其中a=a，b=4，所以分解為(a+4)2。練習(xí)3稍復(fù)雜，需要觀察4x2+4x+1是否符合完全平方公式。這里可以將4x2視為(2x)2，4x視為2·2x·1，1視為12，符合(2x+1)2的形式。通過(guò)這些練習(xí)，我們可以熟練掌握完全平方公式的應(yīng)用，為解決更復(fù)雜的因式分解問(wèn)題打下基礎(chǔ)。十字相乘法識(shí)別形式確認(rèn)多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式：ax2+bx+c尋找兩數(shù)找到兩個(gè)數(shù)m和n，使得m·n=c且m+n=b轉(zhuǎn)換中間項(xiàng)將bx改寫為mx+nx分組分解利用分組法完成因式分解十字相乘法是分解二次三項(xiàng)式的有效方法，特別適用于不能直接應(yīng)用完全平方公式的情況。這種方法的核心是找到兩個(gè)數(shù)，它們的乘積等于常數(shù)項(xiàng)c，和等于一次項(xiàng)系數(shù)b。例如，對(duì)于x2+5x+6，我們需要找到兩個(gè)數(shù)，它們的積為6，和為5。這兩個(gè)數(shù)是2和3，因?yàn)?×3=6且2+3=5。因此，可以將中間項(xiàng)5x改寫為2x+3x，然后應(yīng)用分組法：x2+5x+6=x2+2x+3x+6=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)。十字相乘法-例題詳解識(shí)別多項(xiàng)式x2-x-2是一個(gè)二次三項(xiàng)式分析系數(shù)首項(xiàng)系數(shù)a=1，一次項(xiàng)系數(shù)b=-1，常數(shù)項(xiàng)c=-2尋找滿足條件的數(shù)找到兩個(gè)數(shù)m和n，使得m·n=-2且m+n=-1對(duì)于x2-x-2，我們需要找到兩個(gè)數(shù)，它們的積為-2，和為-1。由于積為負(fù)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)必須一正一負(fù)。經(jīng)過(guò)嘗試，我們發(fā)現(xiàn)1和-2滿足條件，因?yàn)?×(-2)=-2且1+(-2)=-1。因此，可以將中間項(xiàng)-x改寫為1x+(-2)x，然后應(yīng)用分組法：x2-x-2=x2+1x-2x-2=x(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x-2)。這樣，我們就完成了對(duì)x2-x-2的因式分解。在處理符號(hào)時(shí)，需要特別注意正負(fù)號(hào)，確保最終結(jié)果的正確性。十字相乘法-練習(xí)1x2+3x+2找到兩個(gè)數(shù)m和n，使得m·n=2且m+n=3。這兩個(gè)數(shù)是1和2。分解過(guò)程：x2+3x+2=x2+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)2x2-5x+6找到兩個(gè)數(shù)m和n，使得m·n=6且m+n=-5。這兩個(gè)數(shù)是-2和-3。分解過(guò)程：x2-5x+6=x2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)3x2+x-12找到兩個(gè)數(shù)m和n，使得m·n=-12且m+n=1。這兩個(gè)數(shù)是4和-3。分解過(guò)程：x2+x-12=x2+4x-3x-12=x(x+4)-3(x+4)=(x+4)(x-3)通過(guò)這些練習(xí)，我們可以進(jìn)一步熟練掌握十字相乘法的應(yīng)用。在實(shí)際操作中，關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出滿足積和和條件的兩個(gè)數(shù)，然后正確應(yīng)用分組分解法。這種方法在處理各種復(fù)雜的二次三項(xiàng)式時(shí)都非常有效。分組分解法分組將多項(xiàng)式的項(xiàng)分成若干組，每組有公因式提取對(duì)每組提取公因式找公因式找出提取后各組的公因式完成分解進(jìn)一步提取公因式完成分解分組分解法是處理四項(xiàng)式或更復(fù)雜多項(xiàng)式的有效方法。這種方法的關(guān)鍵是將多項(xiàng)式的各項(xiàng)適當(dāng)?shù)胤纸M，使每組都有一個(gè)公因式，然后提取出這些公因式，再次找出公因式完成分解。例如，對(duì)于ax+ay+bx+by，可以將其分為兩組：(ax+ay)+(bx+by)。第一組的公因式是a，第二組的公因式是b，提取后得到a(x+y)+b(x+y)。此時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)(x+y)是兩組的公因式，進(jìn)一步提取得到(a+b)(x+y)。這就是分組分解法的基本思路。分組分解法-練習(xí)第一題am+an+bm+bn，可以分組為(am+an)+(bm+bn)，提取公因式得a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。第二題2ax-2ay+bx-by，分組為(2ax-2ay)+(bx-by)，提取公因式得2a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(2a+b)。第三題x2+xy+xz+yz稍復(fù)雜，需要特別注意分組方式?？梢苑譃?x2+xy)+(xz+yz)，提取公因式得x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z)。也可以分為(x2+xz)+(xy+yz)，提取公因式得x(x+z)+y(x+z)=(x+z)(x+y)。兩種方法得到的結(jié)果相同，都是(x+y)(x+z)。綜合運(yùn)用各種方法提取公因式首先嘗試提取公因式，簡(jiǎn)化多項(xiàng)式判斷公式適用性判斷是否可以應(yīng)用平方差、完全平方等公式嘗試十字相乘對(duì)二次三項(xiàng)式嘗試十字相乘法使用分組分解對(duì)較復(fù)雜的多項(xiàng)式嘗試分組分解在實(shí)際解題中，我們常常需要綜合運(yùn)用多種因式分解方法。一般來(lái)說(shuō)，首先應(yīng)嘗試提取公因式，這樣可以簡(jiǎn)化多項(xiàng)式的形式。例如，對(duì)于2x3+8x2+8x，首先提取公因式2x得到2x(x2+4x+4)，然后發(fā)現(xiàn)括號(hào)內(nèi)是一個(gè)完全平方式，可以進(jìn)一步分解為2x(x+2)2。這種綜合運(yùn)用的策略能夠幫助我們處理更加復(fù)雜的因式分解問(wèn)題。在實(shí)踐中，需要根據(jù)多項(xiàng)式的具體形式靈活選擇合適的方法，有時(shí)可能需要多次嘗試才能找到正確的分解途徑。綜合運(yùn)用-練習(xí)3x3-12x首先提取公因式3x：3x(x2-4)，然后對(duì)括號(hào)內(nèi)的式子應(yīng)用平方差公式：3x(x+2)(x-2)2a2b+4ab2+2b3首先提取公因式2b：2b(a2+2ab+b2)，然后發(fā)現(xiàn)括號(hào)內(nèi)是完全平方式：2b(a+b)2x?-16應(yīng)用平方差公式兩次：x?-16=(x2)2-42=(x2+4)(x2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2)這些練習(xí)展示了綜合運(yùn)用各種因式分解方法的強(qiáng)大威力。在第一題中，先提取公因式，再應(yīng)用平方差公式；第二題則是先提取公因式，再應(yīng)用完全平方公式；第三題則需要連續(xù)應(yīng)用兩次平方差公式，展現(xiàn)了因式分解的層層遞進(jìn)過(guò)程。因式分解在解方程中的應(yīng)用方程的因式分解將方程左邊多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解零因子法則若a·b=0，則a=0或b=0解方程分別解每個(gè)因式等于零的方程因式分解是解高次方程的強(qiáng)大工具。根據(jù)零因子法則，如果兩個(gè)數(shù)的乘積為零，那么至少有一個(gè)數(shù)等于零。利用這一原理，我們可以將方程轉(zhuǎn)化為若干個(gè)一次方程，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程。例如，對(duì)于方程x2-4=0，可以通過(guò)因式分解得到(x+2)(x-2)=0。根據(jù)零因子法則，要么x+2=0，要么x-2=0，解得x=-2或x=2。這種方法特別適用于高次方程，通過(guò)因式分解可以將復(fù)雜的高次方程轉(zhuǎn)化為多個(gè)簡(jiǎn)單方程的組合。解方程-練習(xí)x2-9=0因式分解：(x+3)(x-3)=0根據(jù)零因子法則：x+3=0或x-3=0解得：x=-3或x=3x2+5x+6=0因式分解：(x+2)(x+3)=0根據(jù)零因子法則：x+2=0或x+3=0解得：x=-2或x=-32x2-8x=0提取公因式：2x(x-4)=0根據(jù)零因子法則：2x=0或x-4=0解得：x=0或x=4這些練習(xí)展示了因式分解在解方程中的應(yīng)用。通過(guò)將方程左邊的多項(xiàng)式因式分解，然后應(yīng)用零因子法則，我們可以輕松求解這些二次方程。在第三題中，注意到2x也是一個(gè)因式，這意味著x=0也是方程的一個(gè)解。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于，即使面對(duì)更高次的方程，只要能成功進(jìn)行因式分解，都可以用同樣的思路求解。這充分展示了因式分解作為數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)大威力。因式分解在簡(jiǎn)化計(jì)算中的應(yīng)用簡(jiǎn)化分式通過(guò)因式分解約分分子分母的公因式有理化利用平方差公式處理根式復(fù)雜表達(dá)式將復(fù)雜表達(dá)式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單形式因式分解在簡(jiǎn)化計(jì)算中有廣泛應(yīng)用，尤其是在處理分式和無(wú)理數(shù)時(shí)。例如，對(duì)于分式(x2-1)/(x+1)，通過(guò)因式分解分子x2-1=(x+1)(x-1)，可以約去分子分母的公因式(x+1)，得到簡(jiǎn)化結(jié)果x-1（當(dāng)x≠-1時(shí)）。在處理根式時(shí)，因式分解也非常有用。例如，化簡(jiǎn)√(a2-b2)時(shí)，可以應(yīng)用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，得到√((a+b)(a-b))，進(jìn)一步簡(jiǎn)化為√(a+b)·√(a-b)。這種技巧在高等數(shù)學(xué)和物理學(xué)的計(jì)算中經(jīng)常使用。簡(jiǎn)化計(jì)算-練習(xí)對(duì)于第一題(a2-4)/(a-2)，可以將分子因式分解為(a+2)(a-2)，然后約去公因式(a-2)，得到a+2（當(dāng)a≠2時(shí)）。第二題(x2+2x+1)/(x+1)中，分子可以因式分解為(x+1)2，然后約去公因式(x+1)，得到x+1（當(dāng)x≠-1時(shí)）。第三題(4x2-9)/(2x+3)，可以將分子因式分解為(2x+3)(2x-3)，然后約去公因式(2x+3)，得到2x-3（當(dāng)2x+3≠0，即x≠-3/2時(shí)）。這些例子展示了因式分解在簡(jiǎn)化分式計(jì)算中的強(qiáng)大作用，通過(guò)找出分子分母的公因式，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。完全立方公式和的立方a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3展開過(guò)程：(a+b)3=(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3差的立方a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3展開過(guò)程：(a-b)3=(a-b)(a-b)2=(a-b)(a2-2ab+b2)=a3-3a2b+3ab2-b3應(yīng)用場(chǎng)景展開或因式分解高次多項(xiàng)式簡(jiǎn)化復(fù)雜代數(shù)表達(dá)式解決幾何和物理問(wèn)題完全立方公式是因式分解中的高級(jí)公式，用于處理更復(fù)雜的多項(xiàng)式。這些公式看起來(lái)可能有些復(fù)雜，但它們本質(zhì)上是完全平方公式的擴(kuò)展。掌握這些公式后，我們可以更高效地處理三次多項(xiàng)式的分解問(wèn)題。例如，如果我們遇到多項(xiàng)式x3+6x2+12x+8，可以通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)它符合完全立方公式a3+3a2b+3ab2+b3的形式，其中a=x，b=2，因此可以直接寫出它的因式分解形式:(x+2)3。同樣，對(duì)于x3-3x2+3x-1，可以分解為(x-1)3。立方和/立方差公式立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)例如：x3+8=x3+23=(x+2)(x2-2x+4)驗(yàn)證：(x+2)(x2-2x+4)=x3-2x2+4x+2x2-4x+8=x3+8立方差公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)例如：x3-27=x3-33=(x-3)(x2+3x+9)驗(yàn)證：(x-3)(x2+3x+9)=x3+3x2+9x-3x2-9x-27=x3-27立方和/立方差公式是處理三次多項(xiàng)式的重要工具，特別是當(dāng)多項(xiàng)式可以表示為兩個(gè)數(shù)的立方之和或差時(shí)。這些公式看起來(lái)可能難以記憶，但通過(guò)理解它們的推導(dǎo)過(guò)程和多做練習(xí)，我們可以熟練掌握它們。需要注意的是，與平方差公式不同，立方和不能分解為兩個(gè)因式的乘積，而是一個(gè)一次因式和一個(gè)二次因式的乘積。同樣，立方差也分解為一個(gè)一次因式和一個(gè)二次因式的乘積。在實(shí)際應(yīng)用中，這些公式可以幫助我們解決更復(fù)雜的因式分解問(wèn)題。更復(fù)雜的十字相乘法系數(shù)不為1的情況當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a≠1時(shí)，需要先將多項(xiàng)式調(diào)整為ax2+bx+c的形式，然后尋找兩個(gè)數(shù)p和q，使得p·q=a·c且p+q=b。變形技巧有時(shí)需要將多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)變形，使其更容易應(yīng)用十字相乘法。例如，提取公因式、調(diào)整系數(shù)等。實(shí)例分析以2x2+5x-3為例，需要找到兩個(gè)數(shù)p和q，使得p·q=2·(-3)=-6且p+q=5。這兩個(gè)數(shù)是6和-1。當(dāng)處理系數(shù)較為復(fù)雜的二次三項(xiàng)式時(shí)，我們需要對(duì)基本的十字相乘法進(jìn)行擴(kuò)展。對(duì)于ax2+bx+c（a≠1）的情況，可以采用以下步驟：首先，找到兩個(gè)數(shù)p和q，使得p·q=a·c且p+q=b；然后，將中間項(xiàng)bx改寫為px+qx；最后，利用分組法完成因式分解。拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分析多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)觀察多項(xiàng)式是否接近某種可分解的形式，如完全平方式、平方差等。選擇適當(dāng)策略決定是拆分某一項(xiàng)還是添加并減去某些項(xiàng)，使多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為易于分解的形式。執(zhí)行變形進(jìn)行具體的代數(shù)變形，保持等式兩邊值不變。應(yīng)用合適方法對(duì)變形后的多項(xiàng)式應(yīng)用適當(dāng)?shù)囊蚴椒纸夥椒?。拆?xiàng)、添項(xiàng)法是一種靈活的因式分解技巧，特別適用于不能直接應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)公式的情況。這種方法的核心思想是通過(guò)代數(shù)變形，將復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為容易因式分解的形式。例如，對(duì)于多項(xiàng)式x2+6x+5，如果我們想將其寫成完全平方式，可以添加并減去9：x2+6x+5=x2+6x+9-9+5=(x+3)2-4。這樣就將原多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為平方差的形式，可以進(jìn)一步分解為(x+3+2)(x+3-2)=(x+5)(x+1)。這種方法需要一定的洞察力和嘗試，是因式分解中的高級(jí)技巧。換元法換元法是處理復(fù)雜多項(xiàng)式的強(qiáng)大工具，特別是當(dāng)多項(xiàng)式中出現(xiàn)特定模式或結(jié)構(gòu)時(shí)。這種方法的核心思想是用一個(gè)新變量代替原多項(xiàng)式中的某部分，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。例如，對(duì)于多項(xiàng)式x?+2x2+1，可以令u=x2，則原多項(xiàng)式變?yōu)閡2+2u+1=(u+1)2。再代回x2，得到(x2+1)2。這樣就完成了對(duì)原多項(xiàng)式的因式分解。換元法在處理高次多項(xiàng)式、含有特殊函數(shù)或組合的多項(xiàng)式時(shí)尤其有效。它要求我們具有良好的代數(shù)洞察力，能夠識(shí)別出多項(xiàng)式中的特定模式或結(jié)構(gòu)。待定系數(shù)法1假設(shè)因式形式根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，假設(shè)其因式分解的形式。展開假設(shè)形式將假設(shè)的因式形式展開成多項(xiàng)式。比較系數(shù)將展開式與原多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行比較，建立方程組。解方程確定系數(shù)解方程組，確定未知系數(shù)的值。待定系數(shù)法是一種系統(tǒng)性的因式分解方法，特別適用于難以直接觀察出因式形式的情況。這種方法的核心思想是先假設(shè)因式分解的形式，然后通過(guò)比較系數(shù)確定未知量。例如，對(duì)于多項(xiàng)式ax2+bx+c，我們可以假設(shè)其因式分解形式為(px+q)(rx+s)，其中p、q、r、s是待定系數(shù)。展開得到prx2+(ps+qr)x+qs。通過(guò)比較系數(shù)，可以建立方程組：pr=a，ps+qr=b，qs=c。解這個(gè)方程組，就能確定p、q、r、s的值，從而得到因式分解的結(jié)果。這種方法雖然計(jì)算量較大，但能夠系統(tǒng)地處理各種復(fù)雜情況。多元多項(xiàng)式的因式分解提取公因式在多元多項(xiàng)式中，可能存在關(guān)于不同變量的公因式，需要仔細(xì)辨別并提取。例如：xy+xz可以提取公因式x，得到x(y+z)。分組分解多元多項(xiàng)式常常需要通過(guò)合理分組來(lái)進(jìn)行因式分解。例如：xy+xz+ay+az可以分組為x(y+z)+a(y+z)=(x+a)(y+z)。公式應(yīng)用在多元多項(xiàng)式中也可以應(yīng)用平方差、完全平方等公式。例如：x2-y2可以應(yīng)用平方差公式分解為(x+y)(x-y)。多元多項(xiàng)式的因式分解比單變量多項(xiàng)式更加復(fù)雜，但基本原理和方法是相同的。在多元多項(xiàng)式中，我們需要更加仔細(xì)地辨識(shí)各種模式和結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用各種因式分解技巧。例如，對(duì)于多項(xiàng)式x2y-xy2+x2-y2，可以先按照x的不同冪次分組：x2(y+1)-y2(x+1)，進(jìn)一步提取可得(y+1)(x2-y)，這里需要觀察到x2-y可以寫成x2-y·1，再次分組為x(x-y)+y(x-y)=(x+y)(x-y)，最終得到(y+1)(x+y)(x-y)。這個(gè)例子展示了多元多項(xiàng)式因式分解的復(fù)雜性和技巧性。因式分解的應(yīng)用-數(shù)學(xué)建模建立模型用多項(xiàng)式表示實(shí)際問(wèn)題因式分解分解多項(xiàng)式，揭示結(jié)構(gòu)2分析特性研究因式的特性3求解問(wèn)題解決原始實(shí)際問(wèn)題因式分解在數(shù)學(xué)建模中有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)我們用多項(xiàng)式模型描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)因式分解可以揭示模型的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，從而更深入地理解問(wèn)題本質(zhì)。例如，在優(yōu)化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)常常是一個(gè)多項(xiàng)式。通過(guò)因式分解，我們可以找到函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，為求解最優(yōu)解提供便利。在資源分配問(wèn)題中，成本函數(shù)或收益函數(shù)的因式分解可以幫助我們更好地理解不同因素之間的關(guān)系，從而做出更合理的決策。因式分解已經(jīng)成為數(shù)學(xué)建模中不可或缺的分析工具。例題：幾何問(wèn)題問(wèn)題描述一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為x2-9平方米，如果它的長(zhǎng)比寬大2米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。解題過(guò)程設(shè)長(zhǎng)方形的寬為y米，則長(zhǎng)為y+2米。根據(jù)題意，y(y+2)=x2-9展開左邊：y2+2y=x2-9當(dāng)x=4時(shí)，y2+2y=16-9=7應(yīng)用十字相乘法分解：y2+2y-7=0(y+7/2)(y-2)=0由于長(zhǎng)方形的寬必須為正數(shù)，所以y=2因此，長(zhǎng)方形的寬為2米，長(zhǎng)為4米。這個(gè)例題展示了因式分解在解決幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。通過(guò)建立代數(shù)方程，然后利用因式分解求解，我們可以得到幾何圖形的具體尺寸。這種方法在處理面積、體積等幾何問(wèn)題時(shí)非常有效。例題：物理問(wèn)題0s初始時(shí)間物體開始自由下落20m下落高度需計(jì)算何時(shí)達(dá)到4.9重力常數(shù)米/秒2問(wèn)題：一個(gè)物體從高處自由下落，其下落的距離s(米)與時(shí)間t(秒)的關(guān)系是s=4.9t2。如果物體下落了20米，求物體下落的時(shí)間。解析：根據(jù)題意，有4.9t2=20。將等式變形為4.9t2-20=0。提取公因式4.9，得到4.9(t2-4.08)=0。因?yàn)?.9≠0，所以t2-4.08=0，即t2=4.08。所以t=±2.02。由于時(shí)間不可能為負(fù)，所以t=2.02秒。這個(gè)例子展示了因式分解在物理問(wèn)題中的應(yīng)用，通過(guò)代數(shù)方法我們可以精確計(jì)算物理量。例題：工程問(wèn)題橋梁設(shè)計(jì)計(jì)算橋梁承重的最佳支撐位置需要解決一個(gè)關(guān)于支撐位置x的二次方程建筑結(jié)構(gòu)分析建筑物受力情況時(shí)需要解決高次方程確定關(guān)鍵參數(shù)電路設(shè)計(jì)在電路設(shè)計(jì)中，確定電阻值常需要因式分解來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算工程問(wèn)題中經(jīng)常涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，而因式分解則是解決這些問(wèn)題的有力工具。例如，在設(shè)計(jì)一座橋梁時(shí)，工程師需要確定最佳的支撐位置，使橋梁能夠承受最大的荷載。這可以通過(guò)建立一個(gè)關(guān)于支撐位置x的方程來(lái)解決。假設(shè)橋梁的受力方程為F(x)=-0.5x2+4x-7，其中x是支撐位置（以米為單位）。為了找到最大受力點(diǎn)，需要求解方程F'(x)=0，即-x+4=0，得到x=4。通過(guò)因式分解，我們可以更高效地解決這類工程優(yōu)化問(wèn)題，提高設(shè)計(jì)的精確性和效率。高次方程的解法高次方程的求解是代數(shù)學(xué)中的重要課題，而因式分解則是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵工具之一。對(duì)于高次方程，如果能夠?qū)⑵渥筮叺亩囗?xiàng)式因式分解，就可以應(yīng)用零因子法則求解。例如，對(duì)于四次方程x?-16=0，可以通過(guò)因式分解將其轉(zhuǎn)化為(x2+4)(x2-4)=0，進(jìn)一步分解為(x2+4)(x+2)(x-2)=0。根據(jù)零因子法則，方程的解為x=±2或x=±2i（i為虛數(shù)單位）。從這個(gè)例子可以看出，因式分解不僅可以幫助我們求解高次方程的實(shí)數(shù)解，還能找出復(fù)數(shù)解。對(duì)于五次及以上的方程，一般沒(méi)有求根公式，但在特殊情況下，通過(guò)因式分解仍可能找到所有解。不等式的解法因式分解將不等式左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解找臨界點(diǎn)確定使各因式等于零的值區(qū)間劃分用臨界點(diǎn)將數(shù)軸分成若干區(qū)間檢驗(yàn)求解檢驗(yàn)每個(gè)區(qū)間內(nèi)不等式的符號(hào)因式分解在解決不等式問(wèn)題中有著重要應(yīng)用。解多項(xiàng)式不等式的基本思路是：先將不等式左邊的多項(xiàng)式因式分解，然后找出使各因式等于零的點(diǎn)（臨界點(diǎn)），這些點(diǎn)將數(shù)軸分成若干區(qū)間。在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，多項(xiàng)式的符號(hào)保持不變，通過(guò)選取試點(diǎn)可以確定整個(gè)區(qū)間內(nèi)不等式是否成立。例如，解不等式x2-x-6>0。首先因式分解得(x-3)(x+2)>0。臨界點(diǎn)為x=3和x=-2，它們將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間：(-∞,-2)、(-2,3)和(3,+∞)。通過(guò)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)選取試點(diǎn)，可以判斷出不等式的解集為{x|x<-2或x>3}。這種方法適用于各種多項(xiàng)式不等式，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。整數(shù)解問(wèn)題因式分解在尋找方程的整數(shù)解方面有著重要應(yīng)用。對(duì)于形如ax2+bx+c=0的二次方程，若要求整數(shù)解，可以通過(guò)因式分解寫成(px+q)(rx+s)=0的形式。如果p、q、r、s都是整數(shù)，那么方程的整數(shù)解必須滿足px+q=0或rx+s=0，即x=-q/p或x=-s/r。整數(shù)解要求這些分?jǐn)?shù)值為整數(shù)。例如，方程x2-5x+6=0可以因式分解為(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3，都是整數(shù)解。而對(duì)于方程2x2-5x+2=0，因式分解為(2x-1)(x-2)=0，解得x=1/2或x=2，其中只有x=2是整數(shù)解。這種方法在數(shù)論、離散數(shù)學(xué)和整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用。證明題代數(shù)恒等式證明通過(guò)因式分解可以證明許多代數(shù)恒等式，如(a+b)3-(a3+b3)=3ab(a+b)。左邊展開并整理后得到3a2b+3ab2，提取公因式3ab后得到3ab(a+b)，證明成立。不等式證明因式分解在證明不等式時(shí)也非常有用。例如，證明當(dāng)x>0時(shí)，x+1/x≥2?？梢詫⒆筮厹p去2，得到x+1/x-2，通分得到(x2-2x+1)/x，即(x-1)2/x。由于x>0且平方始終非負(fù)，所以(x-1)2/x≥0，即x+1/x≥2。幾何問(wèn)題證明在證明幾何性質(zhì)時(shí)，因式分解也是重要工具。例如，證明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以通過(guò)建立代數(shù)方程并因式分解來(lái)完成。因式分解是數(shù)學(xué)證明中的強(qiáng)大工具，通過(guò)將復(fù)雜表達(dá)式分解為簡(jiǎn)單因式的乘積，可以揭示表達(dá)式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，從而完成證明。無(wú)論是代數(shù)恒等式、不等式還是幾何問(wèn)題，因式分解都能發(fā)揮重要作用。因式分解與數(shù)論素?cái)?shù)分解將整數(shù)分解為素?cái)?shù)的乘積2最大公約數(shù)通過(guò)素因數(shù)分解求最大公因子3最小公倍數(shù)利用素因數(shù)分解計(jì)算最小公倍數(shù)因式分解在數(shù)論中有著深遠(yuǎn)的應(yīng)用，尤其是在素?cái)?shù)分解、最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的計(jì)算中。素?cái)?shù)分解是將一個(gè)合數(shù)表示為若干素?cái)?shù)的乘積，這與代數(shù)中的因式分解有著相似的思想。例如，60=22×3×5，這是60的素因數(shù)分解。利用素因數(shù)分解，可以方便地計(jì)算最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。例如，要求36和48的最大公約數(shù)，可以將它們分解為36=22×32和48=2?×3，取各素因數(shù)的較小冪次的乘積，得到22×3=12。同理，最小公倍數(shù)是取各素因數(shù)的較大冪次的乘積，得到2?×32=144。這種方法在數(shù)論研究中非?；A(chǔ)和重要。因式分解與密碼學(xué)RSA算法基于大整數(shù)因式分解困難性的加密算法公鑰密碼利用因式分解單向性實(shí)現(xiàn)加密通信數(shù)據(jù)安全因式分解在數(shù)據(jù)加密中的廣泛應(yīng)用因式分解在現(xiàn)代密碼學(xué)中扮演著關(guān)鍵角色，尤其是在RSA加密算法中。RSA算法的安全性基于一個(gè)簡(jiǎn)單但深刻的數(shù)學(xué)事實(shí)：將兩個(gè)大素?cái)?shù)相乘很容易，但要從乘積中恢復(fù)這兩個(gè)素?cái)?shù)（即進(jìn)行因式分解）卻非常困難，尤其當(dāng)素?cái)?shù)非常大時(shí)。在RSA算法中，加密密鑰是公開的，由兩個(gè)大素?cái)?shù)的乘積及一些輔助數(shù)構(gòu)成。而解密密鑰則依賴于這兩個(gè)素?cái)?shù)本身。只有知道這兩個(gè)素?cái)?shù)的人才能輕松解密，而破解者則需要對(duì)一個(gè)大整數(shù)進(jìn)行因式分解，這在計(jì)算上是極其困難的。這種基于因式分解難度的密碼學(xué)原理，是現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)安全、電子商務(wù)和數(shù)字簽名等技術(shù)的基礎(chǔ)。計(jì)算機(jī)與因式分解1因式分解算法研發(fā)高效的因式分解算法是計(jì)算機(jī)代數(shù)的重要課題符號(hào)計(jì)算現(xiàn)代計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)能夠處理復(fù)雜的符號(hào)計(jì)算，包括因式分解3量子計(jì)算量子算法可能在未來(lái)大幅提高因式分解的速度，對(duì)密碼學(xué)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響計(jì)算機(jī)科學(xué)與因式分解有著密切的聯(lián)系，一方面，計(jì)算機(jī)被用來(lái)開發(fā)和實(shí)現(xiàn)各種因式分解算法；另一方面，因式分解問(wèn)題也推動(dòng)了計(jì)算機(jī)算法的創(chuàng)新。對(duì)于代數(shù)表達(dá)式的因式分解，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)（如Mathematica、Maple等）能夠高效處理各種復(fù)雜情況。對(duì)于整數(shù)因式分解，特別是大整數(shù)的素因數(shù)分解，計(jì)算機(jī)科學(xué)家開發(fā)了各種算法，如試除法、Pollard'srho算法、橢圓曲線方法等。其中最著名的是量子計(jì)算領(lǐng)域的Shor算法，它理論上能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)分解大整數(shù)，這對(duì)現(xiàn)代密碼學(xué)構(gòu)成潛在威脅。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展不斷推動(dòng)著因式分解理論和實(shí)踐的進(jìn)步。常見(jiàn)錯(cuò)誤與陷阱錯(cuò)誤類型具體表現(xiàn)正確做法提取公因式不徹底只提取部分公因式，導(dǎo)致后續(xù)分解困難確保提取所有可能的公因式公式使用錯(cuò)誤混淆平方差與完全平方公式仔細(xì)辨別多項(xiàng)式的形式，選擇合適的公式符號(hào)錯(cuò)誤在分解過(guò)程中出現(xiàn)正負(fù)號(hào)混淆特別注意正負(fù)號(hào)，尤其是十字相乘法中驗(yàn)證不足不驗(yàn)證分解結(jié)果是否正確通過(guò)乘法展開驗(yàn)證最終結(jié)果在因式分解過(guò)程中，常見(jiàn)的錯(cuò)誤包括提取公因式不徹底、公式使用錯(cuò)誤、符號(hào)錯(cuò)誤和驗(yàn)證不足等。例如，對(duì)于多項(xiàng)式2x2-8，很多人可能只提取公因式2，得到2(x2-4)，而沒(méi)有進(jìn)一步分解為2(x+2)(x-2)。另一個(gè)常見(jiàn)錯(cuò)誤是混淆平方差公式與完全平方公式，如錯(cuò)將x2-6x+9當(dāng)作平方差來(lái)處理。符號(hào)錯(cuò)誤在十字相乘法中尤為常見(jiàn)，如弄錯(cuò)了中間項(xiàng)的符號(hào)。為避免這些錯(cuò)誤，關(guān)鍵是理解各種方法的原理，并養(yǎng)成驗(yàn)證結(jié)果的習(xí)慣，通過(guò)乘法展開檢查分解是否正確。解題技巧總結(jié)觀察多項(xiàng)式特點(diǎn)識(shí)別可能的分解方法選擇合適方法根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)選擇最適合的分解策略循序漸進(jìn)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步分解驗(yàn)證結(jié)果通過(guò)乘法展開驗(yàn)證分解的正確性成功的因式分解需要一系列技巧和策略。首先，要仔細(xì)觀察多項(xiàng)式的特點(diǎn)，判斷可能適用的分解方法。例如，如果多項(xiàng)式是兩個(gè)完全平方式之差，那么可以應(yīng)用平方差公式；如果是二次三項(xiàng)式，可以考慮十字相乘法等。選擇合適的方法后，應(yīng)當(dāng)循序漸進(jìn)地進(jìn)行分解，一般先提取公因式，再考慮其他方法。最后，務(wù)必通過(guò)乘法展開驗(yàn)證分解結(jié)果的正確性。掌握這些技巧，加上大量的練習(xí)，將有助于提高因式分解的能力和速度。提高因式分解能力的建議多做練習(xí)因式分解是一項(xiàng)需要大量練習(xí)的技能。通過(guò)解決各種類型的問(wèn)題，可以熟悉不同的分解方法和技巧。建議從簡(jiǎn)單問(wèn)題開始，逐漸過(guò)渡到復(fù)雜問(wèn)題，讓學(xué)習(xí)過(guò)程循序漸進(jìn)。練習(xí)中應(yīng)該包括各種類型的多項(xiàng)式，如二次三項(xiàng)式、含有立方項(xiàng)的多項(xiàng)式、多元多項(xiàng)式等，這樣可以全面提高分解能力?？偨Y(jié)經(jīng)驗(yàn)在解題過(guò)程中，重要的是總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律?？梢越⒆约旱腻e(cuò)題集，記錄解題思路和技巧，定期回顧和反思。也可以嘗試自己歸納一些常見(jiàn)多項(xiàng)式的分解模式，形成自己的"公式庫(kù)"，這將大大提高解題效率。同時(shí)，理解每種方法背后的原理，而不僅僅是機(jī)械地記憶公式。提高因式分解能力需要積極思考和靈活運(yùn)用。在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)，不要急于套用公式，而是應(yīng)該分析多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，找出最合適的分解路徑。有時(shí)，一個(gè)問(wèn)題可能有多種分解方法，嘗試不同的方法可以加深理解。因式分解的發(fā)展歷史古代數(shù)學(xué)古巴比倫和古埃及數(shù)學(xué)家已經(jīng)能夠解決簡(jiǎn)單的二次方程，這是因式分解的早期應(yīng)用。古希臘時(shí)期歐幾里得在《幾何原本》中系統(tǒng)地研究了多項(xiàng)式的性質(zhì)，為因式分解奠定了基礎(chǔ)。中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)阿爾-花剌子密提出了系統(tǒng)解二次方程的方法，雖然沒(méi)有直接使用因式分解，但為后世的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。4近現(xiàn)代數(shù)學(xué)伽羅瓦、阿貝爾等數(shù)學(xué)家的工作揭示了高次方程的復(fù)雜性，促進(jìn)了代數(shù)結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展。因式分解的歷史可以追溯到古代數(shù)學(xué)。在數(shù)千年的發(fā)展過(guò)程中，它從簡(jiǎn)單的二次方程求解技巧，逐漸發(fā)展成為代數(shù)學(xué)中的重要理論和工具。古代巴比倫和埃及的數(shù)學(xué)家已經(jīng)能夠解決一些特殊形式的二次方程，這可以看作是因式分解的雛形。因式分解的未來(lái)新的分解方法隨著數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，新的因式分解方法不斷涌現(xiàn)。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的進(jìn)步使得復(fù)雜多項(xiàng)式的分解變得更加高效，同時(shí)也推動(dòng)了理論研究的深入。量子計(jì)算的影響量子計(jì)算對(duì)因式分解，特別是對(duì)大整數(shù)的因式分解可能帶來(lái)革命性的變化。Shor算法理論上能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)分解大整數(shù)，這將對(duì)基于因式分解難度的密碼系統(tǒng)構(gòu)成挑戰(zhàn)。人工智能的應(yīng)用人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)在因式分