2025版高考數(shù)學一輪復習第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及分布列第6講幾何概型教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE8第6講幾何概型基礎學問整合1．幾何概型(1)幾何概型的定義假如每個事務發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務區(qū)域的eq\o(□,\s\up5(01))長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．(2)幾何概型的兩個基本特點2．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up5(04))eq\f(構(gòu)成事務A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本領件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)．(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本領件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題．(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．1．(2024·大連模擬)在長為6m的木棒上任取一點P，使點P到木棒兩端點的距離都大于2m的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析將木棒三等分，當P位于中間一段時，到兩端A，B的距離都大于2m，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．(2024·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,4)答案B解析不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B.3．(2024·衡水中學調(diào)研)已知正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球O內(nèi)的概率是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)答案C解析設正方體棱長為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))3＝eq\f(1,6)πa3，故M在球O內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,6)πa3,a3)＝eq\f(π,6).4．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是________．答案eq\f(3,5)解析本題可以看成向區(qū)間[0,5]內(nèi)勻稱投點，設A＝{某乘客候車時間不超過3分鐘}，則P(A)＝eq\f(區(qū)間[2，5]的長度,區(qū)間[0，5]的長度)＝eq\f(3,5).5．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.答案3解析由題意知m>0，當0<m<2時，－m≤x≤m，此時所求概率為eq\f(m－－m,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝eq\f(5,2)(舍去)；當2≤m<4時，所求概率為eq\f(m－－2,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝3；當m≥4時，概率為1，不符合題意，故m＝3.6．(2024·保定調(diào)研)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)隨機取兩個實數(shù)x，y，則滿意y≥x－1的概率是________．答案eq\f(7,8)解析點(x，y)分布在如圖所示的正方形區(qū)域內(nèi)，畫出x－y－1≤0表示的區(qū)域(圖中陰影部分)，可知所求的概率為1－eq\f(\f(1,2),\a\vs4\al(4))＝eq\f(7,8).核心考向突破考向一與長度有關(guān)的幾何概型例1(1)(2024·上海模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，則直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個交點的概率為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)答案D解析圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，圓心到直線y＝k(x－2)的距離為eq\f(|2k|,\r(k2＋1)).要使直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個交點，則需eq\f(|2k|,\r(k2＋1))<1，解得－eq\f(\r(3),3)<k<eq\f(\r(3),3)，所以在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，使直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個交點的概率P＝eq\f(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3))),1－－1)＝eq\f(\r(3),3).故選D.(2)(2024·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________．答案eq\f(5,9)解析由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長度為9，定義域D的長度為5，∴P＝eq\f(5,9).觸類旁通求解與長度有關(guān)的幾何概型應留意的問題(1)求解幾何概型問題，解題的突破口為弄清是長度之比、面積之比還是體積之比．2求與長度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后求解，應特殊留意精確表示所確定的線段的長度.即時訓練1.(2024·河南濮陽模擬)在[－6,9]內(nèi)任取一個實數(shù)m，設f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率等于()A.eq\f(2,15)B.eq\f(7,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(11,15)答案D解析∵f(x)＝－x2＋mx＋m的圖象與x軸有公共點，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]內(nèi)取一個實數(shù)m，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率P＝eq\f([－4－－6]＋9－0,9－－6)＝eq\f(11,15).故選D.2．(2024·湖北武漢調(diào)研)在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)答案A解析設MP＝xcm,0<x<16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選A.考向二與面積有關(guān)的幾何概型角度1與平面圖形面積有關(guān)的問題例2(2024·全國卷Ⅰ)右圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3答案A解析不妨取AB＝AC＝2，則BC＝2eq\r(2)，所以區(qū)域Ⅰ的面積為S△ABC＝2；區(qū)域Ⅲ的面積為π－2；區(qū)域Ⅱ的面積為π－(π－2)＝2，所以依據(jù)幾何概型的概率公式，易得p1＝p2.故選A.角度2與線性規(guī)劃交匯的問題例3(2024·湖北聯(lián)考)在區(qū)間[0,4]上隨機取兩個實數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,16)C.eq\f(6,19)D.eq\f(3,4)答案D解析如圖所示，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4))表示的平面區(qū)域為正方形OBCD及其內(nèi)部，x＋2y≤8(x，y∈[0,4])表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，所以所求概率P＝eq\f(4×4－\f(1,2)×4×2,4×4)＝eq\f(3,4).故選D.角度3與定積分交匯的問題例4(2024·甘肅武威階段考試)如圖所示的陰影區(qū)域由x軸、直線x＝1及曲線y＝ex－1圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在非陰影區(qū)域的概率是()A.eq\f(1,e) B.eq\f(1,e－1)C．1－eq\f(1,e) D．1－eq\f(1,e－1)答案B解析由題意，陰影部分的面積為eq\i\in(0,1,)(ex－1)dx＝(ex－x)|eq\o\al(1,0)＝e－2，∵矩形區(qū)域OABC的面積為e－1，∴該點落在陰影區(qū)域的概率是eq\f(e－2,e－1)，故該點落在非陰影區(qū)域的概率為eq\f(1,e－1).觸類旁通求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事務對應的面積，必要時可依據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．即時訓練3.(2024·四川成都模擬)《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：已知直角三角形的兩直角邊長分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步．現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A.eq\f(3π,10)B.eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10)D．1－eq\f(3π,20)答案D解析直角三角形的斜邊長為eq\r(82＋152)＝17，設內(nèi)切圓的半徑為r，則8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴內(nèi)切圓的面積為πr2＝9π，∴豆子落在內(nèi)切圓外的概率P＝1－eq\f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq\f(3π,20).4．(2024·四川宜賓模擬)向如圖所示的邊長為2的正方形區(qū)域內(nèi)任投一點，則該點落入陰影部分的概率為________．答案eq\f(1,8)解析由題意可知陰影部分的面積為2eq\i\in(0,1,)x3dx＝2×eq\f(1,4)x4eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,2)，所以所求概率為P＝eq\f(\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,8).5．(2024·福建三明模擬)在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1表示離心率小于eq\r(5)的雙曲線的概率為________．答案eq\f(7,8)解析∵雙曲線的離心率小于eq\r(5)，∴1<e<eq\r(5)，∴1<eq\f(c,a)<eq\r(5)，∴1<1＋eq\f(b2,a2)<5，∴0<eq\f(b2,a2)<4，得b<2a(a>0，b>0)．它對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，依據(jù)幾何概型概率公式，得所求概率為P＝eq\f(\f(1,2)×3＋4×2,4×2)＝eq\f(7,8).考向三與體積有關(guān)的幾何概型例5(1)(2024·廈門模擬)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,12)B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D．1－eq\f(π,6)答案B解析正方體的體積為2×2×2＝8，以O為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，則點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).故選B.(2)有一個底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機抽取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________．答案eq\f(2,3)解析圓柱的體積V柱＝πR2h＝2π，半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2π,3).∴圓柱內(nèi)一點P到點O的距離小于等于1的概率為eq\f(1,3).∴點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).觸類旁通與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事務的體積(事務空間)，對于某些較困難的也可利用其對立事務去求．即時訓練6.已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，則在正三棱錐內(nèi)任取一點P，則點P滿意V三棱錐P－ABC<eq\f(1,2)V三棱錐S－ABC的概率是________．答案eq\f(7,8)解析設三棱錐P－ABC的高為h.由V三棱錐P－ABC<eq\f(1,2)V三棱錐S－ABC，得eq\f(1,3)S△ABC·h<eq\f(1,2)·eq\f(1,3)S△ABC·3，解得h<eq\f(3,2)，即點P在三棱錐的中截面以下的空間．∴點P滿意V三棱錐P－ABC<eq\f(1,2)V三棱錐S－ABC的概率是P＝1－eq\f(\f(1,3)·\f(1,4)S△ABC·\f(3,2),\f(1,3)S△ABC·3)＝eq\f(7,8).考向四與角度有關(guān)的幾何概型例6(1)如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案D解析依題意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活動區(qū)域為與OA，O