2025版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法第1課時一元二次不等式及其解法一學(xué)案含解析新人教B版必修5

PAGEPAGE10第1課時一元二次不等式及其解法(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系．2.駕馭圖象法解一元二次不等式．3.能從實際問題中抽象出一元二次不等式并解決．學(xué)問點一一元二次不等式的概念1．一般地，含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般表達(dá)形式為ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均為常數(shù)．3．能使不等式成立的未知數(shù)x的一個值稱為不等式的一個解．4．不等式全部解的集合稱為解集．學(xué)問點二“三個二次”的關(guān)系一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，如下表．Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??學(xué)問點三一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：(1)化為基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)計算Δ＝b2－4ac，以確定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)依據(jù)圖象寫出不等式的解集．1．x2＞1的一個解是x＝－2．解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(√)2．方程x2－1＝0相當(dāng)于函數(shù)y＝x2－1中y＝0．(√)3．假如關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0無解，則不等式ax2＋bx＋c>0也無解．(×)4．x2－1>0與1－x2<0的解集相等．(√)題型一一元二次不等式的解法命題角度1二次項系數(shù)大于0例1求不等式4x2－4x＋1>0的解集．解因為Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝eq\f(1,2)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2))))).反思感悟在求解一元二次不等式的過程中，要親密結(jié)合一元二次方程的根的狀況以及二次函數(shù)的圖象．跟蹤訓(xùn)練1求不等式2x2－3x－2≥0的解集．解∵2x2－3x－2＝0的兩解為x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，且a＝2>0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或x≥2)))).命題角度2二次項系數(shù)小于0例2解不等式－x2＋2x－3>0.解不等式可化為x2－2x＋3<0.因為Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x2－2x＋3＝0無實數(shù)解，而y＝x2－2x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集是?.反思感悟?qū)⒍雾椣禂?shù)小于0的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化過程中要留意不等號的改變，化歸為二次項系數(shù)大于0的不等式，是為了削減記憶負(fù)擔(dān)．跟蹤訓(xùn)練2求不等式－3x2＋6x>2的解集．解不等式可化為3x2－6x＋2<0，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x1＝1－eq\f(\r(3),3)，x2＝1＋eq\f(\r(3),3)，∴不等式－3x2＋6x>2的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),3)<x<1＋\f(\r(3),3))))).題型二“三個二次”間對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用例3已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|1<x<2}，試求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．解由根與系數(shù)的關(guān)系，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2，))∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.解得x<eq\f(1,2)或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)或x＞1)))).反思感悟給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|1<x<2}，求a，b的值．解方法一由題設(shè)條件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的兩實根．由根與系數(shù)的關(guān)系，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝\f(b,a)，,1×2＝\f(2,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))方法二把x＝1,2分別代入方程ax2－bx＋2＝0中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋2＝0，,4a－2b＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))數(shù)形結(jié)合解不等式典例函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿意－1≤f(x－2)≤1的實數(shù)x的取值范圍是()A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]答案D解析依據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)可畫出f(x)圖象示意圖：不等式－1≤f(x)≤1的幾何意義為當(dāng)函數(shù)f(x)的縱坐標(biāo)介于[－1,1]之間時，求橫坐標(biāo)x的取值2≤1，即1≤x≤3，故選D．[素養(yǎng)評析]直觀想象素養(yǎng)的主要表現(xiàn)為：能建立形與數(shù)(如本例－1≤f(x)≤1與f(x)圖象)的聯(lián)系；利用幾何圖形描述問題(f(x)的圖象介于y＝－1，y＝1兩直線之間)；借助幾何直觀理解問題(滿意條件的圖象部分的橫坐標(biāo)集合即所求解集).1．不等式2x2－x－1>0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<1)))) B．{x|x＞1}C．{x|x<1或x＞2} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x＞1))))答案D－eq\f(1,2)，∴不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x＞1))))．2．不等式－x2－x＋2>0的解集為_____________．答案{x|－2<x<1}解析由原式得x2＋x－2<0，得－2<x<1，故其解集為{x|－2<x<1}．3．若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則a的值為______．答案eq\f(1±\r(5),2)解析若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則x2－2ax＋a＝－1有兩個相等的實根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝eq\f(1±\r(5),2)．4．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么實數(shù)a的值是________．答案3．5．某商品在最近30天內(nèi)的價格f(t)與時間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，則使這種商品日銷售金額不小于500元的t的范圍為________．答案{t|10≤t≤15，t∈N}解析日銷售金額＝(t＋10)(－t＋35)，依題意有(t＋10)(－t＋35)≥500，解得解集為{t|10≤t≤15，t∈N}．1．解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；③由圖象得出不等式的解集．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解．當(dāng)m<n時，若(x－m)(x－n)>0，則可得{x|x>n或x<m}；若(x－m)(x－n)<0，則可得{x|m<x<n}．有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間．2．實際問題要留意變量的實際含義對變量范圍的影響，如長度應(yīng)當(dāng)大于0，人數(shù)應(yīng)當(dāng)為自然數(shù)等．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開口及與x軸的交點坐標(biāo)．一、選擇題1．不等式6x2＋x－2≤0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)))))答案A解析因為6x2＋x－2≤0?(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))))).2．(2024·全國Ⅰ)設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))答案D解析由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2)))))，得A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x<3))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，故選D.3．若0<t<1，則關(guān)于x的不等式(t－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))>0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,t)或x<t))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)或x>t)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t)))))答案D解析∵0<t<1，∴eq\f(1,t)>1，∴eq\f(1,t)>t.∴(t－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))>0?(x－t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0?t<x<eq\f(1,t).4．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(7－6x－x2))的定義域為()A．[－7,1] B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)答案B解析由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故選B.5．不等式eq\f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集為()A．{x|x≠－2} B．RC．? D．{x|x<－2或x>2}答案A解析∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集為{x|x≠－2}．6．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))則不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)答案A解析f(1)＝12－4×1＋6＝3，當(dāng)x≥0時，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；當(dāng)x<0時，x＋6>3，解得－3<x<0.所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．7．已知一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))，則f(10x)>0的解集為()A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}答案D解析由題知，一元二次不等式f(x)>0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，即－1<10x<eq\f(1,2)，解得x<－lg2.8．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的兩根，則α，β，a，b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<α<β<b B．a(chǎn)<α<b<βC．α<a<b<β D．α<a<β<b答案A解析設(shè)g(x)＝(x－a)(x－b)，則g(x)向上平移2個單位長度得到f(x)的圖象，由圖易知a<α<β<b.二、填空題9．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是_____________________．答案{x|－3≤x<－2或0<x≤1}解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3≤0，,x2＋2x>0，))∴－3≤x<－2或0<x≤1.10．不等式x2－3|x|＋2≤0的解集為__________．答案{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}解析原不等式等價于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.當(dāng)x≥0時，1≤x≤2；當(dāng)x<0時，－2≤x≤－1.所以原不等式的解集為{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．11．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，則k的取值范圍是______________．答案(－∞，2]∪[4，＋∞)解析x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.三、解答題12．已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，求?UA．解依題意，?UA中的元素應(yīng)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2>1，,x2－4x＋3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>1，,x≤1或x≥3，))解得?UA＝{x|x<－1或x≥3}．13．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))，求關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．解由ax2＋bx＋c≥0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))，知a<0，且關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根分別為－eq\f(1,3)，2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋2＝－\f(b,a)，,－\f(1,3)×2＝\f(c,a)，))∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式cx2－bx＋a<0可變形為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0．又