2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章算法初步統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例2024考綱考題考情1．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)。(2)負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)。(3)線性相關(guān)關(guān)系、回來直線假如散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回來直線。2．回來方程(1)最小二乘法使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回來直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法。(2)回來方程方程＝x＋是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回來方程，其中，是待定參數(shù)。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up10(^))＝\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))(xi－\x\to(x))2)＝\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up10(—))\o(y,\s\up10(—)),\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)。,\o(a,\s\up10(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up10(^))\x\to(x)。))3．回來分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。(2)樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點(diǎn)的中心。(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)。r的肯定值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)。r的肯定值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性。4．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量。(2)列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表。假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量。(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2來推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)。1．求解回來方程的關(guān)鍵是確定回來系數(shù)，，應(yīng)充分利用回來直線過樣本中心點(diǎn)(，)。2．依據(jù)K2的值可以推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大。3．依據(jù)回來方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值。一、走進(jìn)教材1．(必修3P90例題改編)某探討機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和推斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)據(jù)如表：x681012y2356則y對x的線性回來直線方程為()A．＝2.3x－0.7 B.＝2.3x＋0.7C．＝0.7x－2.3 D.＝0.7x＋2.3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(相關(guān)公式：\o(b,\s\up10(^))＝\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\x\to(x)·\x\to(y),\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，\o(a,\s\up10(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up10(^))\x\to(x)))解析因?yàn)閑q\i\su(i＝1,4,x)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4。所以＝eq\f(158－4×9×4,36＋64＋100＋144－4×81)＝0.7，＝4－0.7×9＝－2.3。故線性回來直線方程為＝0.7x－2.3。故選C。答案C2．(選修1－2P16習(xí)題1.2T2改編)為了推斷中學(xué)三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025。依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝eq\f(50×(13×20－10×7)2,23×27×20×30)≈4.844。則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為________。解析K2的觀測值k≈4.844>3.841，這表明小概率事務(wù)發(fā)生。依據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)當(dāng)斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種推斷出錯(cuò)的可能性約為5%。答案5%二、走近高考3．(2024·山東高考)為了探討某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來直線方程為＝x＋。已知eq\i\su(i＝1,10,x)i＝225，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝1600，＝4。該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為()A．160 B．163C．166 D．170解析易知＝eq\f(225,10)＝22.5，＝eq\f(1600,10)＝160。因?yàn)椋?，所以160＝4×22.5＋，解得＝70，所以回來直線方程為＝4x＋70，當(dāng)x＝24時(shí)，＝96＋70＝166。故選C。答案C三、走出誤區(qū)微提示：①混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系；②不知道回來直線必過樣本點(diǎn)中心；③對獨(dú)立性檢驗(yàn)K2值的意義不清晰。4．兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．①②③ B．②③①C．②①③ D．①③②解析第一個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；其次個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)當(dāng)是①③②。答案D5．某醫(yī)療機(jī)構(gòu)通過抽樣調(diào)查(樣本容量n＝1000)，利用2×2列聯(lián)表和K2統(tǒng)計(jì)量探討患肺病是否與吸煙有關(guān)。計(jì)算得K2＝4.453，經(jīng)查閱臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，現(xiàn)給出四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．在100個(gè)吸煙的人中約有95個(gè)人患肺病B．若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”D．只有5%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”解析由已知數(shù)據(jù)可得，有1－0.05＝95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”。故選C。答案C6．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)。依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回來方程為＝0.67x＋54.9。零件數(shù)x/個(gè)1020304050加工時(shí)間y/min62758189現(xiàn)發(fā)覺表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，則該數(shù)據(jù)為________。解析設(shè)表中那個(gè)模糊看不清的數(shù)據(jù)為m。由表中數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝30，eq\x\to(y)＝eq\f(m＋307,5)，所以樣本點(diǎn)的中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30，\f(m＋307,5)))，因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回來直線上，所以eq\f(m＋307,5)＝0.67×30＋54.9，解得m＝68。答案68考點(diǎn)一變量相關(guān)關(guān)系的推斷【例1】(1)下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是()(2)為探討語文成果和英語成果之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)某班學(xué)生的兩科成果得到如圖所示的散點(diǎn)圖(x軸、y軸的單位長度相同)，用回來直線方程＝x＋近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，依據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，的值為1.25B．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，的值為0.83C．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，的值為－0.87D．線性相關(guān)關(guān)系較弱，無探討價(jià)值解析(1)視察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系。故選D。(2)由散點(diǎn)圖可以看出兩個(gè)變量所構(gòu)成的點(diǎn)在一條直線旁邊，所以線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，且應(yīng)為正相關(guān)，所以回來直線方程的斜率應(yīng)為正數(shù)，且從散點(diǎn)圖視察，回來直線方程的斜率應(yīng)當(dāng)比y＝x的斜率要小一些，綜上可知應(yīng)選B。答案(1)D(2)B相關(guān)關(guān)系的直觀推斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個(gè)變量有肯定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具有相關(guān)性?！咀兪接?xùn)練】(1)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若全部樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C．－eq\f(1,2) D．1(2)已知變量x和y滿意關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)。下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析(1)完全的線性關(guān)系，且為負(fù)相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為－1。故選A。(2)由y＝－0.1x＋1，知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān)，故選C。答案(1)A(2)C考點(diǎn)二線性回來分析【例2】改革開放40年來，全國居民人均可支配收入由171元增加到2.6萬元，中等收入群體持續(xù)擴(kuò)大。我國貧困人口累計(jì)削減7.4億人，貧困發(fā)生率下降94.4個(gè)百分點(diǎn)，譜寫了人類反貧困史上的輝煌篇章。某地級市共有200000名中學(xué)生，其中有7%的學(xué)生在2024年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特殊困難，且人數(shù)之比為5∶3∶2，為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項(xiàng)教化基金”，對這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助1000元、1500元、2000元。經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)覺，當(dāng)?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加n%，一般困難的學(xué)生中有3n%會(huì)脫貧，脫貧后將不再享受“精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%轉(zhuǎn)為一般困難學(xué)生，特殊困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難學(xué)生?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級市2013年到2024年共5年的人均可支配年收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值，其中年份x取13時(shí)代表2013年，x取14時(shí)代表2014年，…依此類推，且x與y(單位：萬元)近似滿意關(guān)系式＝x＋，(2013年至2024年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)eq\i\su(i＝1,5,)(yi－)2eq\i\su(i＝1,5,)(xi－)(yi－)0.83.11(1)估計(jì)該市2024年人均可支配年收入為多少萬元？(2)試問該市2024年的“專項(xiàng)教化基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少萬元？附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－。解(1)因?yàn)椋絜q\f(1,5)(13＋14＋15＋16＋17)＝15，所以eq\i\su(i＝1,5,)(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10，所以＝＝0.1，＝－＝0.8－0.1×15＝－0.7，所以＝0.1x－0.7。當(dāng)x＝18時(shí)，2024年人均可支配年收入y＝0.1×18－0.7＝1.1(萬元)。(2)由題意知2024年時(shí)該市享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生共200000×7%＝14000人。一般困難、很困難、特殊困難的中學(xué)生依次有7000人、4200人、2800人，2024年人均可支配年收入比2024年增長eq\f((0.1×18－0.7)－(0.1×17－0.7),0.1×17－0.7)＝0.1＝10%。故2024年該市特殊困難的中學(xué)生有2800×(1－10%)＝2520人，很困難的學(xué)生有4200×(1－20%)＋2800×10%＝3640人，一般困難的學(xué)生有7000×(1－30%)＋4200×20%＝5740人。所以2024年的“專項(xiàng)教化基金”的財(cái)政預(yù)算大約為5740×0.1＋3640×0.15＋2520×0.2＝1624(萬元)。1．對變量值的預(yù)料主要是由給出的變量的值預(yù)料與其有相關(guān)關(guān)系的變量的值，一般方法是：若已知回來直線方程，則干脆將數(shù)值代入求得預(yù)料值。2．回來模型的擬合效果主要有兩種途徑推斷(1)利用數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，視察數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)與回來直線的位置關(guān)系進(jìn)行分析；(2)利用殘差進(jìn)行分析，最簡潔的作法是選擇數(shù)據(jù)中的具有代表性的點(diǎn)進(jìn)行預(yù)報(bào)，比較預(yù)報(bào)值與真實(shí)值的差距進(jìn)行分析?！咀兪接?xùn)練】(2024·全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖。為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回來模型。依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t。(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由。解(1)利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)。利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)。(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠。理由如下：a．從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢。2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠。b．從計(jì)算結(jié)果看，相對于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠。以上2種理由，答出其中一種或其他合理理由均可?？键c(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3】(2024·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式。為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式。依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式其次種生產(chǎn)方式(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高。理由如下：①由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘。因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高。②由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘。因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高。③由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高。④由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布。又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用其次種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高。以上4種理由，答出其中一種或其他合理理由均可。(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80。列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155其次種生產(chǎn)方式515(3)由于K2＝eq\f(40(15×15－5×5)2,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異。1．在2×2列聯(lián)表中，假如兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿意ad－bc≈0。|ad－bc|越小，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng)。2．解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，肯定要依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論。獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)依據(jù)公式K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d))計(jì)算K2的觀測值k；(3)比較觀測值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷?！咀兪接?xùn)練】某省會(huì)城市地鐵將于2024年6月起先運(yùn)營，為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與看法如下：月收入(單位：百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]贊成定價(jià)者人數(shù)123534認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)4812521(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參加調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差異是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對地鐵定價(jià)的看法有差異”。月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者贊成定價(jià)者總計(jì)附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))。P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為x1＝eq\f(20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4,1＋2＋3＋5＋3＋4)≈50.56?！罢J(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為x2＝eq\f(20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1,4＋8＋12＋5＋2＋1)＝38.75，所以“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)。(2)依據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下：月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者32932贊成定價(jià)者71118總計(jì)104050K2＝eq\f(50×(3×11－7×29)2,10×40×18×32)≈6.272<6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對地鐵定價(jià)的看法有差異”。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例2運(yùn)用)如圖是某企業(yè)2012年至2024年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖。注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2012～2024。(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y和t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程，預(yù)料2024年該企業(yè)的污水凈化量；(3)請用數(shù)據(jù)說明回來方程預(yù)報(bào)的效果。參考數(shù)據(jù)：＝54，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－)(yi－)＝21，eq\r(14)≈3.74，eq\i\su(i＝1,7,)(yi－i)2＝eq\f(9,4)。參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，線性回來方程＝＋t，＝，＝－。反映回來效果的公式為：R2＝1－，其中R2越接近于1，表示回來的效果越好。解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得，＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－)2＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(yi－)2＝18，所以r＝eq\f(21,\r(28×18))≈0.935。因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.935，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，所以可以用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系。(2)因?yàn)椋?4，＝＝eq\f(21,28)＝eq\f(3,4)，所以＝－＝54－eq\f(3,4)×4＝51，所以y關(guān)于t的線性回來方程為＝t＋＝eq\f(3,4)t＋51。將2024年對應(yīng)的t＝8代入得＝eq\f(3,4)×8＋51＝57，所以預(yù)料2024年該企業(yè)污水凈化量約為57噸。(3)因?yàn)镽2＝1－＝1－eq\f(9,4)×eq\f(1,18)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)＝0.875，所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，這說明回來方程預(yù)報(bào)的效果是良好