數(shù)學(xué)分析-第十六章-偏導(dǎo)數(shù)與全微分省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第十六章偏導(dǎo)數(shù)與全微分再一元微分學(xué)中：有導(dǎo)數(shù)（微商）連續(xù)微分復(fù)習(xí)：改變率線性主要部分第1頁(yè)

§1偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念比如：固定y=y0,則f(x,y0)就是x一元函數(shù)，它在x0時(shí)對(duì)x

導(dǎo)數(shù)，稱為f(x,y0)在(x,y0)對(duì)x

偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)在二元函數(shù)f(x,y)中將x,y中一個(gè)量固定（看作不變），定義16.1.函數(shù)f

在(x0,y0)關(guān)于x偏改變量.若以下極限存在則稱該極限為函數(shù)f(x,y)關(guān)于x

偏導(dǎo)數(shù).第2頁(yè)記號(hào)：

和一元函數(shù)情形相仿：則這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也是二元函數(shù)，它是在G內(nèi)對(duì)x或y偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù),記為或或：：若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都存在對(duì)x或?qū)偏導(dǎo)數(shù)，第3頁(yè)

偏導(dǎo)數(shù)幾何意義：先復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)幾何意義空間曲線

看p181圖曲面平面第4頁(yè)例１―――例３例３表明：偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)原因：只有兩個(gè)方向與一元函數(shù)本質(zhì)區(qū)分第5頁(yè)２全微分回想一下一元函數(shù)微分：兩大特點(diǎn)１；２.推廣到二元函數(shù)定義１６.２（可微與全微分）記號(hào)：二元函數(shù)微分仍有兩大特點(diǎn)１；２.先回想一下一元函數(shù)情形：切線存在且迫近曲線二元：切平面存在且迫近曲面二元函數(shù)在幾何意義第6頁(yè)定理16.1３．全微分與偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系：設(shè)可微，在表示式中分別令和得第7頁(yè)從而：在全微分可寫(xiě)成類似可定義n

元函數(shù)u=f()全微分注：函在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不可能推出在該點(diǎn)可微定理１６.2

在某區(qū)域內(nèi)點(diǎn)全微分為第8頁(yè)總結(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)第9頁(yè)4、高階偏導(dǎo)數(shù)和高階微分先考慮二元函數(shù)前面說(shuō)過(guò)偏導(dǎo)數(shù)則稱關(guān)于x,y偏導(dǎo)數(shù)為二階偏導(dǎo)數(shù)，共有四個(gè)類似可定義三階偏導(dǎo)數(shù)：共個(gè)第10頁(yè)例7.求全部二階偏導(dǎo)數(shù)：兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)：是否總相等例8.設(shè)證實(shí):在什么條件下才能確保二者相等呢？第11頁(yè)定理16.4這個(gè)定理能夠推廣到n含有直到n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求偏導(dǎo)數(shù)與變量次序

n

階偏導(dǎo)數(shù)可簡(jiǎn)單得表示為：階偏導(dǎo)數(shù)情形：即若函數(shù)f高階全微分復(fù)習(xí)高階微分二階全微分：設(shè)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，記號(hào)無(wú)關(guān).從而二元函數(shù)第12頁(yè)§2復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)先復(fù)習(xí)一元函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t多元類似Th16.5復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t證實(shí)：思緒1、2、可微：偏導(dǎo)注：條件“可微”不可少。要求第13頁(yè)總結(jié)用圖表示鏈?zhǔn)椒▌t第14頁(yè)幾個(gè)特殊情形和推廣：1）則復(fù)合函數(shù)為一元函數(shù)設(shè)注意符號(hào)有時(shí)稱全導(dǎo)數(shù)第15頁(yè)2）設(shè)

則推廣n

個(gè)P196復(fù)合三次uxyzst第16頁(yè)3)設(shè)

1、兩符號(hào)意義本質(zhì)區(qū)分2、特例uxytst第17頁(yè)下面求復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)：例3強(qiáng)調(diào)，仍是x,y

函數(shù)，從而x,y又是s,t函數(shù)xyst同理第18頁(yè)例4.設(shè)書(shū)上記號(hào)易混求解:

引入中間變量：記號(hào)鏈?zhǔn)椒▌t應(yīng)用偏微分方程變換求解目標(biāo)第19頁(yè)2）復(fù)合函數(shù)全微設(shè)深入，若

則有又：和一元函數(shù)一樣，二階全微分不再含有形式不變性。這一性質(zhì)稱為一階全微分形式不變性應(yīng)用：隱含數(shù)微分法第20頁(yè)3）隱函數(shù)（組）求導(dǎo)法（1）一個(gè)方程情形：上冊(cè)Ch4.§3=0情形：在一定條件下，由能夠確定隱含數(shù)y=f(x)且是可導(dǎo),求

前面求法：只有對(duì)詳細(xì)問(wèn)體：現(xiàn)在利用偏導(dǎo)數(shù)和鏈?zhǔn)椒▌t，有（例，求）不能給出普通表示式，，若則第21頁(yè)推廣：由方程=0，確定隱含數(shù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，求

同理可得：

例7設(shè)解：由要求結(jié)果知確定隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在第22頁(yè)例8設(shè)

解法二（利用全微分公式）解法一：（2）方程組情形：設(shè)確定兩個(gè)隱含數(shù)求推導(dǎo)見(jiàn)：P205。求（假設(shè)存在）第23頁(yè)小結(jié)偏導(dǎo)與全微分概念復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分第24頁(yè)習(xí)題

1、求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處偏導(dǎo)數(shù).第25頁(yè)2、設(shè)證:3、求偏導(dǎo)數(shù).(P14例4)解:求證第26頁(yè)4、計(jì)算近似值.

解:

設(shè),則取則第27頁(yè)5、解:第28頁(yè)1、利用公式求計(jì)算面積時(shí)絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：故絕對(duì)誤差約為又所以S相對(duì)誤差約為計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得附加題第29頁(yè)2、在直流電路中,

測(cè)得電壓U=24伏,解:由歐姆定律可知(歐)所以R

相對(duì)誤差約為0.3+0.5

R

絕對(duì)誤差約為0.8

0.3;定律計(jì)算電阻R

時(shí)產(chǎn)生相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.相對(duì)誤差為測(cè)得電流I=6安,相對(duì)誤差為0.5,=0.032(歐)=0.8

求用歐姆第30頁(yè)3.設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,可得注意:x,y,z

含有輪換對(duì)稱性

第31頁(yè)4、設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解問(wèn)題中經(jīng)常碰到,第3