高中數(shù)學(xué)第一章不等關(guān)系與基本不等式1.2.1絕對(duì)值不等式

第一章不等關(guān)系與基本不等式§2含有絕對(duì)值不等式2．1絕對(duì)值不等式第1頁(yè)學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.了解定理|a＋b|≤|a|＋|b|代數(shù)證實(shí)和幾何證實(shí)．2．了解定理|a＋b|≤|a|＋|b|及不等式|a－b|≤|a－c|＋|c－b|取等號(hào)條件及幾何意義.1.重點(diǎn)是掌握絕對(duì)值不等式定理．2．難點(diǎn)是利用絕對(duì)值不等式定理證實(shí)絕對(duì)值不等式.第2頁(yè)第3頁(yè)閱讀教材P6～P7“絕對(duì)值不等式”相關(guān)內(nèi)容，完成以下問(wèn)題：1．絕對(duì)值幾何意義設(shè)a是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上：(1)|a|表示________________________________距離；(2)|x－a|表示__________________________________距離；(3)|x＋a|表示____________________________________距離．實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)O之間實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間第4頁(yè)在數(shù)軸上把a(bǔ)，b，a＋b表示出來(lái)(分ab＞0，ab＜0兩種情況)．解：(1)當(dāng)ab＞0時(shí)(如圖所表示)；第5頁(yè)(2)當(dāng)ab＜0時(shí)(如圖所表示)．第6頁(yè)2．絕對(duì)值不等式定理對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有|a＋b|≤___________，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．|a|＋|b|第7頁(yè)1．|a－b|與|a|－|b|及|a|＋|b|分別含有怎樣大小關(guān)系？提醒：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.第8頁(yè)3．絕對(duì)值不等式慣用結(jié)論(1)設(shè)a，b是任意實(shí)數(shù)，有||a|－|b||≤|a＋b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)，等號(hào)成立．(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－c)(c－b)≥0時(shí)，等號(hào)成立．第9頁(yè)2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立條件分別是什么？提醒：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)等號(hào)成立條件是ab≥0，左側(cè)等號(hào)成立條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)等號(hào)成立條件是ab≤0，左側(cè)等號(hào)成立條件是ab≥0且|a|≥|b|.第10頁(yè)第11頁(yè)絕對(duì)值不等式證實(shí)

證實(shí)：依題意，得m≥|a|，m≥|b|，m≥1.∵|x|＞m，∴|x|＞|a|，|x|＞|b|，|x|＞1.∴|x|2＞|b|.第12頁(yè)【點(diǎn)評(píng)】含絕對(duì)值不等式證實(shí)，往往可經(jīng)過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常見不等式證實(shí)題，或利用絕對(duì)值不等式定理||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|證實(shí)不等式，常要對(duì)絕對(duì)值內(nèi)式子進(jìn)行分析組合、添項(xiàng)、減項(xiàng)，使待證式與已知之間聯(lián)絡(luò)起來(lái)，最終經(jīng)過(guò)絕對(duì)值運(yùn)算完成證實(shí)．第13頁(yè)第14頁(yè)利用絕對(duì)值不等式定理求含絕對(duì)值函數(shù)最值 求函數(shù)y＝|x－3|－|x＋1|最大值和最小值．解：法一∵||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.第15頁(yè)第16頁(yè)【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|最值，其主要方法以下：(1)借助絕對(duì)值定義，即零點(diǎn)分段．(2)利用絕對(duì)值幾何意義．(3)利用絕對(duì)值不等式定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|直接求解．第17頁(yè)2．求函數(shù)y＝|x－3|＋|x＋1|最小值．解：法一|x－3|＋|x＋1|＝|3－x|＋|x＋1|≥|(3－x)＋(x＋1)|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)(3－x)(x＋1)≥0時(shí)，等號(hào)成立．由(3－x)(x＋1)≥0，得(x－3)(x＋1)≤0.∴－1≤x≤3.故當(dāng)－1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y＝|x－3|＋|x＋1|取得最小值4.第18頁(yè)第19頁(yè)

若關(guān)于x不等式a＜|x－4|＋|x＋3|恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________.解析：∵|x－4|＋|x＋3|≥|(x－4)－(x＋3)|＝7，∴a<7.故實(shí)數(shù)a取值范圍是(－∞，7)．答案：(－∞，7)絕對(duì)值不等式定理應(yīng)用

第20頁(yè)[互動(dòng)探究]若本例條件變?yōu)椤叭絷P(guān)于x不等式a＞|x－4|－|x＋3|恒成立”，怎樣求實(shí)數(shù)a取值范圍？解析：∵|x－4|－|x＋3|≤|(x－4)－(x＋3)|＝7，∴a＞7.故實(shí)數(shù)a取值范圍為(7，＋∞)．答案：(7，＋∞)【點(diǎn)評(píng)】利用絕對(duì)值不等式定理處理恒成立問(wèn)題時(shí)，通常利用|a±b|到達(dá)消去變量目標(biāo)，從而得到|a|＋|b|最小值或|a|－|b|最大值．第21頁(yè)3．(1)若關(guān)于x不等式|x－2|＋|x＋3|＜a解集為空集，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________.(2)若關(guān)于x不等式|2x＋1|－|2x－1|＜a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________.第22頁(yè)解析：(1)關(guān)于x不等式|x－2|＋|x＋3|＜a解集為空集，即關(guān)于x不等式|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，則a≤5.故實(shí)數(shù)a取值范圍是(－∞，5]．(2)∵|2x＋1|－|2x－1|≤|(2x＋1)－(2x－1)|＝2，∴a>2.故實(shí)數(shù)a取值范圍是(2，＋∞)．答案：(1)(－∞，5](2)(2，＋∞)第23頁(yè)1．證實(shí)絕對(duì)值不等式三種主要方法(1)利用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證實(shí)．(2)利用絕對(duì)值不等式定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進(jìn)行證實(shí)．(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證實(shí)．第24頁(yè)2．研究含有絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題時(shí)，依據(jù)絕對(duì)