第6章 實數(shù)（學(xué)生版）3

2023-2024學(xué)年滬科新版數(shù)學(xué)七年級下冊章節(jié)培優(yōu)復(fù)習(xí)知識講練第6章實數(shù)（思維導(dǎo)圖+知識梳理+十一大重點考向舉一反三講練）1.了解無理數(shù)和實數(shù)的意義；2.了解有理數(shù)的概念、運(yùn)算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用.知識點01：有理數(shù)與無理數(shù)【高頻考點精講】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).【易錯點剖析】（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.知識點02：實數(shù)【高頻考點精講】有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).知識點03：實數(shù)大小的比較【高頻考點精講】對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.正實數(shù)大于0，負(fù)實數(shù)小于0，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.知識點04：實數(shù)的運(yùn)算【高頻考點精講】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個實數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實數(shù)的運(yùn)算時，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.重點考向01：平方根重點考向02：算術(shù)平方根重點考向03：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根重點考向04：立方根重點考向05：無理數(shù)重點考向06：實數(shù)重點考向07：實數(shù)的性質(zhì)重點考向08：實數(shù)與數(shù)軸重點考向09：實數(shù)大小比較重點考向10：估算無理數(shù)的大小重點考向11：實數(shù)的運(yùn)算重點考向01：平方根【典例精講】（2022秋?濱海縣期末）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是3a+2和a+14，則這個正數(shù)是．【變式訓(xùn)練1-1】（2023春?東至縣期末）已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，則的平方根是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1-2】（2023春?巴彥淖爾期末）已知正數(shù)x的兩個不同的平方根是m+3和2m﹣15，則x＝．重點考向02：算術(shù)平方根【典例精講】（2023春?惠東縣期中）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，則＝．【變式訓(xùn)練2-1】（2023春?鹿泉區(qū)校級期中）下列說法：①25的平方根是±5；②（﹣7）2的算術(shù)平方根是7；③若a的平方根是±9，則a＝81．其中正確的說法是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【變式訓(xùn)練2-2】（2022秋?渭濱區(qū)期末）我們知道，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，但對于三個互不相等的負(fù)整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“完美組合數(shù)”．例如：﹣9，﹣4，﹣1這三個數(shù)，，，，其結(jié)果6，3，2都是整數(shù)，所以﹣1，﹣4，﹣9這三個數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．（1）﹣18，﹣8，﹣2這三個數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請說明理由．（2）若三個數(shù)﹣3，m，﹣12是“完美組合數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12，求m的值．重點考向03：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根【典例精講】（2022秋?讓胡路區(qū)校級期末）若|a﹣7|++（c﹣25）2＝0，則以a、b、c為三邊的三角形的形狀是．【變式訓(xùn)練3-1】（2023春?端州區(qū)校級期中）若，則（a+b）2023的值為．【變式訓(xùn)練3-2】2023春?遵義期末）已知．（1）求x，y的值；（2）求的值．重點考向04：立方根【典例精講】（2023秋?陳倉區(qū)期末）已知x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3．（1）求x，y的值；（2）求x2+y2的平方根．【變式訓(xùn)練4-1】（2023秋?岳陽期末）已知正數(shù)x的兩個平方根分別是3a﹣1和a+5，負(fù)數(shù)y的立方根與它本身相同．（1）求a，x，y的值；（2）求x﹣9y的算術(shù)平方根．【變式訓(xùn)練4-2】（2023春?咸安區(qū)校級期中）觀察求算術(shù)平方根的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下列問題：＝0.01，＝0.1，＝1，＝10，＝100，…（1）歸納：已知數(shù)a的小數(shù)點的移動與它的算術(shù)平方根的小數(shù)點移動間有何規(guī)律？（2）①已知≈1.414，≈4.47，則＝；②已知≈1.918，≈191.8，則a＝；（3）根據(jù)上述探究方法，嘗試解決問題：已知≈20.23，≈2023，用含n的代數(shù)式表示m．重點考向05：無理數(shù)【典例精講】（2023?巴中）下列各數(shù)為無理數(shù)的是（）A．0.618 B． C． D．【變式訓(xùn)練5-1】（2022春?贛州期末）在﹣，0.42，3.14，，，π，0.1717717771…，1.99中，無理數(shù)的個數(shù)（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式訓(xùn)練5-2】（2023春?路北區(qū)期中）如圖，是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示．（1）當(dāng)輸入的x值為16時，求輸出的y值；（2）是否存在輸入的x值后，始終輸不出y值？如果存在，請直接寫出所有滿足要求的x值；如果不存在，請說明理由．（3）輸入一個兩位數(shù)x，恰好經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根才能輸出無理數(shù)，則x＝．重點考向06：實數(shù)【典例精講】（2023春?徐匯區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．無限小數(shù)是無理數(shù) B．1的任何次方根都是1 C．任何數(shù)都有平方根 D．實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)【變式訓(xùn)練6-1】（2022春?連平縣校級期末）我們規(guī)定：相等的實數(shù)看作同一個實數(shù)．有下列六種說法：①數(shù)軸上有無數(shù)多個表示無理數(shù)的點；②帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)；③每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點來表示；④數(shù)軸上每一個點都表示唯一一個實數(shù)；⑤沒有最大的負(fù)實數(shù)，但有最小的正實數(shù)；⑥沒有最大的正整數(shù)，但有最小的正整數(shù)．其中說法錯誤的有（注：填寫出所有錯誤說法的編號）【變式訓(xùn)練6-2】（2018春?新羅區(qū)校級期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合：﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣（1）有理數(shù)集合{}；（2）無理數(shù)集合{}；（3）整數(shù)集合{}；（4）負(fù)實數(shù)集合{}．重點考向07：實數(shù)的性質(zhì)【典例精講】（2023春?阜南縣校級期末）﹣的相反數(shù)（）A．±23 B． C．23 D．【變式訓(xùn)練7-1】（2023春?大石橋市期末）81的平方根是，的絕對值是．【變式訓(xùn)練7-2】（2023春?端州區(qū)校級期中）已知3a+4的平方根是±2，2a+b的立方根是3，﹣2的相反數(shù)是c．（1）分別求出a，b，c的值；（2）求a+b+c的平方根．重點考向08：實數(shù)與數(shù)軸【典例精講】（2023春?龍江縣期末）為了證明數(shù)軸上的點可以表示無理數(shù)，老師給學(xué)生設(shè)計了如下材料：如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上一點由原點（記為點0）到達(dá)點A，點A對應(yīng)的數(shù)是（）A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14【變式訓(xùn)練8-1】（2023春?余干縣期末）如圖，有一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達(dá)點B，若點A表示數(shù)，設(shè)點B所表示的數(shù)為m．實數(shù)m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣3|的值．【變式訓(xùn)練8-2】（2022秋?通川區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點M，N對應(yīng)的實數(shù)分別為﹣6和8，數(shù)軸上一條線段AB從點M出發(fā)（剛開始點A與點M重合），以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸在M，N之間往返運(yùn)動（點B到達(dá)點N立刻返回），線段AB＝2，設(shè)線段AB的運(yùn)動時間為t秒．（1）如圖1，當(dāng)t＝2時，求出點A對應(yīng)的有理數(shù)和點B與點N之間的距離；（2）如圖2，當(dāng)線段AB從點M出發(fā)時，在數(shù)軸上的線段CD從點N出發(fā)（D在C點的右側(cè)，剛開始點D與點N重合），以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸在N，M之間往返運(yùn)動（點C到達(dá)點M立刻返回），CD＝4，點P為線段AB的中點，點Q為線段CD的中點．①當(dāng)P點第一次到達(dá)原點O之前，若點P、點Q到數(shù)軸原點的距離恰好相等，求t的值；②我們把數(shù)軸上的整數(shù)對應(yīng)的點稱為“整點”，當(dāng)P，Q兩點第一次在整點處重合時，請求出此時點C對應(yīng)的數(shù)．重點考向09：實數(shù)大小比較【典例精講】（2023秋?嵊州市期末）比較大?。?（填：“＞”或“＜”或“＝”）【變式訓(xùn)練9-1】（2023春?西城區(qū)校級期中）比較大?。海?）4；（2）1．【變式訓(xùn)練9-2】（2023春?東湖區(qū)校級期末）觀察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…（1）表格中x＝，y＝；z＝；（2）從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則b＝；（3）試比較與a的大?。?dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．重點考向10：估算無理數(shù)的大小【典例精講】（2023秋?衡南縣期末）已知a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且a＜＜b，則a+b＝．【變式訓(xùn)練10-1】（（2023春?播州區(qū)期中）我們知道≈1.414，于是我們說：“的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分則為﹣1”．（1）+1的整數(shù)部分為，小數(shù)部分可以表示為；（2）已知+1的小數(shù)部分為a，﹣1的小數(shù)部分為b，求a+b的值．【變式訓(xùn)練10-2】（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期末）閱讀并解答：為了求的整數(shù)部分與小數(shù)部分，聰明的小明這樣思考：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請解答：（1）求的整數(shù)部分與小數(shù)部分各是多少？（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的平方根．重點考向11：實數(shù)的運(yùn)算【典例精講】（2023秋?樂陵市期末）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“※”：a※b＝ab﹣a+b，例如：3※2＝3×2﹣3+×2＝4．（1）若a＝5，b＝﹣4，計算a※b的值．（2）若（﹣2）※x＝1，求x的值．（3）若a﹣b＝2022，求a※b﹣b※a的值．【變式訓(xùn)練11-1】（2023秋?阜寧縣期末）（1）計算：（2）已知（2x