5.3.2 函數(shù)的極值課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

5.3.2函數(shù)的極值

已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并畫出其圖象;(2)函數(shù)f(x)在x=0和x=2處的函數(shù)值與這兩點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，(1)如果在x=x0處的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，即f(x)<f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值.記作:y極大值=f(x0)滿足：f’(x0)=0,左側(cè)單增，右側(cè)單減函數(shù)極值的定義(2)如果在x=x0處的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，即f(x)>f(x0),則稱

f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值.記作:y極小值=f(x0)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,x0叫做函數(shù)的極值點(diǎn)滿足：f’(x0)=0,左側(cè)單減，右側(cè)單增yabx1x2x3x4Ox

觀察上述圖象,試指出該函數(shù)的極值點(diǎn)與極值,并說出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn).（1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值（2）極大值不一定比極小值大，一般情況下極大、極小值相間出現(xiàn)函數(shù)極值的思考(3)極值點(diǎn)不是點(diǎn)；極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值;(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。（6）可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f'(x0)=0，則x0

不一定是極值點(diǎn)，即f'(x0)=0是f(x)在x=

x0

處取到極值的必要不充分條件，函數(shù)y=f'(x)的變號(hào)零點(diǎn)，才是函數(shù)的極值點(diǎn)函數(shù)極值的思考(5)函數(shù)在區(qū)間上有極值，則區(qū)間不單調(diào)例：y=x3極值第二充分條件：

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，(1)如果在x=x0處的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，即f(x)<f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值.記作:y極大值=f(x0)滿足：f’(x0)=0,左側(cè)單增，右側(cè)單減因?yàn)樗岳?求函數(shù)的極值.解:令解得或當(dāng),即,或;當(dāng),即.例1求函數(shù)的極值.當(dāng)x變化時(shí),f(x)的變化情況如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–2時(shí),f(x)有極大值28/3;當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值–4/3.求解函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號(hào)，來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況練習(xí)：求函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)的極值.①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘a－alna↗從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－alna，無極大值.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值.一、利用導(dǎo)數(shù)求極值例1、求下列函數(shù)的極值二、求含參函數(shù)的極值例3

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，求a＋b的值.三、利用極值求參數(shù)值或范圍例3

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，求a＋b的值.解f′(x)＝3x2＋2ax＋b，當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(x)無極值，故舍去.當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，符合題意.∴a＋b＝－7，綜上得，a＋b＝－7.反思感悟已知函數(shù)的極值求參數(shù)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解.(2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定就是極值點(diǎn)，故利用上述方程組解出的解必須驗(yàn)證.四、利用極值解決根的個(gè)數(shù)問題例5、函數(shù)f(x)＝

x3－4x＋4的圖象與直線y＝a恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.變式、函數(shù)f(x)＝

與y=a有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是

.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋