湖北省部分重點中學(xué)2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期五月聯(lián)考試卷含答案

湖北省部分重點中學(xué)2024春季高二數(shù)學(xué)五月聯(lián)考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式、一元一次不等式的解法分別解集合A，B，結(jié)合交集的定義與運算即可求解.【詳解】或，，所以，即.故選：A2.已知，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算求導(dǎo)函數(shù)，由解方程，即可求得的值.【詳解】，因為，所以，解得.故選：B.3.已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求解.【詳解】因隨機變量服從正態(tài)分布，，所以.故選：A.4.隨機變量的分布列如下：12若，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分布列概率之和為1以及期望值列方程組，解方程組求得a、b的值，進而求得方差.詳解】由題意可知，，所以.故選：B5.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為A.42 B.30 C.20 D.12【答案】A【解析】【詳解】原定的5個節(jié)目之間有6個位．當(dāng)插入的這兩個新節(jié)目在一起時，有插法；當(dāng)插入的這兩個新節(jié)目不在一起時，有插法，所以總的不同插法的種數(shù)為種．故選：A．【點睛】關(guān)于排列和組合的題目，常用到捆綁法和插位法．捆綁法是將一些對象看作一個對象進行排列；插位法是將一些對象進行排列后，再對剩下的對象進行排列．6.某學(xué)校有，兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率（）A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求得.詳解】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為0.5.故選：C.7.如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于的位置，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意當(dāng)時，的可能取值為1,3,5，且，根據(jù)二項分布的概率公式計算即可求解.【詳解】依題意，當(dāng)時，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．8.已知函數(shù)，對任意，，且，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造新函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性，求出a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，不妨設(shè)，則．由，所以．所以，即．設(shè)，則在區(qū)間上是減函數(shù)．所以在時恒成立，因為，所以在時恒成立，即在時恒成立，即．而在區(qū)間上是增函數(shù)，所以的最大值為，所以，又，所以．故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則（

）A. B.C.二項式系數(shù)和為256 D.【答案】ACD【解析】【分析】令可判斷A選項；令可判斷B選項；求出二項式系數(shù)和可判斷C選項；由兩邊求導(dǎo)，令得可判斷D選項.【詳解】由，對于A，令得，A選項正確；對于B，令得，所以，B選項錯誤；對于C，二項式系數(shù)和為，C選項正確；對于D，由，兩邊求導(dǎo)得，令得，所以D選項正確.故選：ACD.10.甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.兩兩互斥 B.C.事件B與事件相互獨立 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】對于A，因為每次取一球，所以是兩兩互斥的事件，故A項正確；對于B，因為，，故B項正確；對于C，從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變?yōu)?個，取出黑球概率發(fā)生變化，所以事件B與事件不相互獨立，故C項錯誤.對于D，又，所以，故D項正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和零點，即可判斷A，B；根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求的的切線方程，即可判斷D.【詳解】由得，令得：，令得或；令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有兩個極值點為極大值點，為極小值點，故A正確；又，，而趨向于負無窮大時也趨向于負無窮大；趨向于正無窮大時也趨向于正無窮大；所以僅有1個零點如圖所示，故B錯誤；又，所以，所以關(guān)于對稱，故C正確；對于D，設(shè)切點，在P處的切線為，即，若是其切線，則，則，此時切點為時，切線方程直線，所以D正確.故選：ACD【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點個數(shù)問題，可以利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某種商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：134571520304045根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則當(dāng)時，殘差為__________.（殘差觀測值-預(yù)測值）【答案】【解析】【分析】首先求樣本點中心，并代入回歸方程，求，并代入后，即可求解殘差.【詳解】，因為回歸直線過點，代入，可得，當(dāng)時，，所以殘差為.故答案為：13.如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，記這個數(shù)列前n項和為，則______.【答案】111【解析】【分析】由“楊輝三角”的性質(zhì)，得，前半部分用等差數(shù)列求和，后半部分用組合數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果，再由即可得解.【詳解】由“楊輝三角”的性質(zhì)，得，所以.故答案為：14.已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)在點處的切線方程為________；若對恒成立，則實數(shù)a的最大值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】①運用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得斜率，進而求得切線方程.②將問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，研究其單調(diào)性進而得到，恒成立．運用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.【詳解】①當(dāng)時，，則，∴，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即．②因為，，即，則，恒成立．令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，得，即，恒成立．記，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值是，故，即實數(shù)a的最大值是e．故答案為：①.②e.【點睛】同構(gòu)法的三種基本模式：①乘積型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；②比商型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；③和差型，如，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)f或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知在二項式展開式中，第項為常數(shù)項.（1）求；（2）求的展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和；（3）在的展開式中，求含的項.【答案】（1）；（2）32；（3）.【解析】【分析】（1）寫出展開式的第項，再令的指數(shù)為，即可求出；（2）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）由，寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【小問1詳解】由題意得第項為，則，解得.【小問2詳解】所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為.【小問3詳解】由（1）知，其中展開式的通項為（且），則的展開式中，含的項為，含的項為，所以在的展開式中含的項為.16.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：當(dāng)時，．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的最小值，從而得證.【小問1詳解】由題知，函數(shù)的定義域為，所以求導(dǎo)得，若，由得或，由得，所以函數(shù)在，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，由得或，由得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】當(dāng)時，，由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，.17.某學(xué)校號召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時”活動，為了解學(xué)生參加活動的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在假期每周鍛煉的時間，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加鍛煉的數(shù)據(jù)，整理如下列聯(lián)表：性別不經(jīng)常鍛煉經(jīng)常鍛煉合計男生7女生1630合計21注：將一周參加鍛煉時間不小于3小時的稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．（1）請完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）將一周參加鍛煉為0小時的稱為“極度缺乏鍛煉”．在抽取的60名同學(xué)中有5人“極度缺乏鍛煉”.以樣本頻率估計概率.若在全校抽取20名同學(xué)，設(shè)“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；（3）將一周參加鍛煉6小時以上的同學(xué)稱為“運動愛好者”．在抽取的60名同學(xué)中有10名“運動愛好者”，其中有7名男生，3名女生．為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格見解析，性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系（2），（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意完成列聯(lián)表，代入公式可得，即可得到結(jié)論；（2）依題意可得X近似服從二項分布，先求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率為，從而可得，即可求得和；（3）依題意可得Y的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布公式求得概率，進而即可得到Y(jié)的分布列和期望值．【小問1詳解】根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；性別不經(jīng)常鍛煉經(jīng)常鍛煉合計男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1．【小問2詳解】因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故X近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，即可得，故，．【小問3詳解】易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得18.中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，使我國一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國.某新能源汽車配件企業(yè)積極加大科研力度，生產(chǎn)效益逐步攀升.該企業(yè)在今年1月份至5月份的生產(chǎn)利潤（單位：億元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示：月份12345生產(chǎn)利潤（億元）268910（1）試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則認為兩個變量具有較強的線性相關(guān)性）（2）為擴大生產(chǎn)，該企業(yè)在M大學(xué)啟動了校園招聘，分別招聘A、B兩個工程師崗位，兩個崗位都各設(shè)有3門筆試科目.M大學(xué)的碩士畢業(yè)生張無忌決定參加這次應(yīng)聘，且每門科目考試是否通過相互獨立.若張無忌報考A崗位，每門筆試科目通過的概率依次為，，，其中；若張無忌報考B崗位，每門筆試科目通過的概率均為.且張無忌只能報考A，B兩個崗位中的一個.若以筆試中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，得出張無忌更有希望通過A崗位的筆試，試求的取值范圍.附：參考數(shù)據(jù)：，，.相關(guān)系數(shù).【答案】（1），y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系（2）【解析】【分析】（1）計算相關(guān)系數(shù)r，再進行判斷即可；（2）分別計算通過A，B兩個崗位的科目數(shù)學(xué)期望，再比較大小判斷即可.【小問1詳解】由題意，，故y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.【小問2詳解】由題意，因為每門科目考試是否通過相互獨立，故張無忌通過A崗位的3門筆試門數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，通過B崗位的3門筆試門數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，故若張無忌更有希望通過A崗位的筆試，則，又，解得.即的取值范圍19.五一假期后，高二年級籃球賽進入白熱化階段，甲、乙、丙三支種子隊在進入半決賽之前不會相遇.他們都需要在最后一輪小組賽中戰(zhàn)勝對手從而進入淘汰賽，然后在淘汰賽中勝出才能進入半決賽.已知甲隊在小組賽最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為和；乙隊在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為和；丙隊在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為和，其中.（1）甲、乙、丙三隊中，誰進入半決賽的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三隊中恰有兩隊進入半決賽的概率為，求的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三隊中進入半決賽的隊伍數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】（1）乙進入半決賽的可能性最大（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用相互獨立事件的概率乘法公式，分別求得甲乙丙進入半決賽