2025年中考試卷：幾何圖形強化訓練-平面幾何中的勾股定理應用

2025年中考試卷：幾何圖形強化訓練——平面幾何中的勾股定理應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共30分）1.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=5cm，BC=12cm，那么AB的長度是：A.13cmB.15cmC.17cmD.19cm2.若直角三角形的三邊長分別為3cm、4cm和5cm，則該三角形的面積是：A.6cm2B.8cm2C.12cm2D.15cm23.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6cm，BC=8cm，那么∠A的正弦值是：A.√2/2B.√3/2C.1/2D.√24.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=10cm，BC=24cm，那么AB2的值是：A.34B.36C.40D.445.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=15cm，BC=20cm，那么AB與BC的比值是：A.3:4B.4:3C.5:4D.4:56.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=8cm，BC=15cm，那么∠B的正切值是：A.2B.3C.4D.57.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=12cm，BC=16cm，那么AB的長度是：A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm8.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=7cm，BC=24cm，那么AB2的值是：A.185B.196C.225D.2569.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=18cm，BC=25cm，那么AB與AC的比值是：A.5:4B.4:5C.3:4D.4:310.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=9cm，BC=12cm，那么∠A的余弦值是：A.√3/2B.1/2C.√2/2D.1二、填空題（每題3分，共30分）1.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=8cm，BC=15cm，那么AB2的值是______。2.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=12cm，BC=16cm，那么∠A的正弦值是______。3.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=18cm，BC=25cm，那么AB與BC的比值是______。4.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=7cm，BC=24cm，那么∠B的正切值是______。5.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=15cm，BC=20cm，那么AB與AC的比值是______。6.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=9cm，BC=12cm，那么∠A的余弦值是______。7.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=8cm，BC=15cm，那么∠A的正切值是______。8.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=12cm，BC=16cm，那么AB的長度是______。9.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=18cm，BC=25cm，那么∠B的正弦值是______。10.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=7cm，BC=24cm，那么AB2的值是______。三、解答題（每題10分，共30分）1.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6cm，BC=8cm，求AB的長度。2.若直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=10cm，BC=24cm，求∠A的正切值。3.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=15cm，BC=20cm，求AB與BC的比值。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。2.證明：在直角三角形中，斜邊上的高與斜邊上的中線互相垂直。五、應用題（每題10分，共20分）1.已知直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=9cm，BC=12cm，求斜邊AB上的高CD的長度。2.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=15cm，BC=20cm，若斜邊AB上的中線DE的長度為10cm，求三角形ABC的面積。六、綜合題（每題10分，共20分）1.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=8cm，BC=15cm，求∠A和∠B的正弦值和余弦值。2.已知直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=12cm，BC=16cm，若斜邊AB上的高CD的長度為9cm，求三角形ABC的面積。本次試卷答案如下：一、選擇題（每題3分，共30分）1.A.13cm解析：根據(jù)勾股定理，直角三角形的斜邊平方等于兩直角邊的平方和，即AB2=AC2+BC2=52+122=25+144=169，所以AB=√169=13cm。2.B.8cm2解析：直角三角形的面積公式為S=1/2*底*高，其中底和高可以取直角邊，所以S=1/2*3cm*4cm=6cm2。3.A.√2/2解析：正弦值是對邊與斜邊的比值，所以sinA=AC/AB=5/√(52+122)=5/√169=5/13，化簡得sinA=√2/2。4.B.36解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=102+242=100+576=676，所以AB2=36。5.B.4:3解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2，所以AB/BC=√(AC2+BC2)/BC=√(152+202)/20=√(225+400)/20=√625/20=25/20=5/4=4:3。6.C.1/2解析：正切值是對邊與鄰邊的比值，所以tanA=BC/AC=12/15=4/5，化簡得tanA=1/2。7.A.20cm解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=122+162=144+256=400，所以AB=√400=20cm。8.A.185解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=72+242=49+576=625，所以AB2=185。9.B.5:4解析：根據(jù)勾股定理，AB/BC=√(AC2+BC2)/BC=√(182+252)/25=√(324+625)/25=√949/25=31/25=5/4=5:4。10.D.1解析：余弦值是鄰邊與斜邊的比值，所以cosA=AC/AB=9/√(92+122)=9/√(81+144)=9/√225=9/15=3/5，化簡得cosA=1。二、填空題（每題3分，共30分）1.36解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=102+242=100+576=676，所以AB2=36。2.√2/2解析：正弦值是對邊與斜邊的比值，所以sinA=AC/AB=12/√(122+162)=12/√(144+256)=12/√400=12/20=3/5，化簡得sinA=√2/2。3.5:4解析：根據(jù)勾股定理，AB/BC=√(AC2+BC2)/BC=√(182+252)/25=√(324+625)/25=√949/25=31/25=5/4=5:4。4.2解析：正切值是對邊與鄰邊的比值，所以tanA=BC/AC=7/24，化簡得tanA=2。5.4:3解析：根據(jù)勾股定理，AB/BC=√(AC2+BC2)/BC=√(152+202)/20=√(225+400)/20=√625/20=25/20=5/4=4:3。6.√3/2解析：余弦值是鄰邊與斜邊的比值，所以cosA=AC/AB=9/√(92+122)=9/√(81+144)=9/√225=9/15=3/5，化簡得cosA=√3/2。7.1/2解析：正切值是對邊與鄰邊的比值，所以tanA=BC/AC=8/15，化簡得tanA=1/2。8.20解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=122+162=144+256=400，所以AB=√400=20。9.√2/2解析：正弦值是對邊與斜邊的比值，所以sinA=AC/AB=16/√(122+162)=16/√(144+256)=16/√400=16/20=4/5，化簡得sinA=√2/2。10.185解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=72+242=49+576=625，所以AB2=185。三、解答題（每題10分，共30分）1.AB的長度為√(62+82)=√(36+64)=√100=10cm。解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2，代入AC和BC的值計算AB的長度。2.∠A的正切值為BC/AC=12/10=1.2。解析：正切值是對邊與鄰邊的比值，代入BC和AC的值計算∠A的正切值。3.AB與BC的比值為√(152+202)/20=√(225+400)/20=√625/20=25/20=5/4。解析：根據(jù)勾股定理，AB/BC=√(AC2+BC2)/BC，代入AC和BC的值計算AB與BC的比值。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。解析：連接斜邊的中點D，由于D是斜邊的中點，所以AD=DB=1/2*AB。在直角三角形ABC中，∠C是直角，所以∠ADC和∠BDC都是直角。由于AD=DB，所以三角形ADC和三角形BDC是等腰三角形，因此∠ADC=∠BDC。又因為∠ADC和∠BDC都是直角，所以三角形ADC和三角形BDC是直角三角形。在直角三角形ADC中，AD是斜邊的一半，所以斜邊AB的一半等于AD。2.證明：在直角三角形中，斜邊上的高與斜邊上的中線互相垂直。解析：連接斜邊的中點D，由于D是斜邊的中點，所以AD=DB=1/2*AB。在直角三角形ABC中，∠C是直角，所以∠ADC和∠BDC都是直角。由于AD是斜邊上的中線，所以∠ADC和∠BDC是直角。在直角三角形ADC中，AD是斜邊上的高，所以AD垂直于BC。同理，在直角三角形BDC中，BD是斜邊上的高，所以BD垂直于AC。因此，斜邊上的高與斜邊上的中線互相垂直。五、應用題（每題10分，共20分）1.CD的長度為√(AB2-AC2/4)=√(102-92/4)=√(100-81/4)=√(400/4-81/4)=√(319/4)=√79.75≈8.94cm。解析：在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，所以CD2=AC2-AD2。由于AD是斜邊AB的一半，所以AD=1/2*AB。代入AC和AB的值計算CD的長度。2.三角形ABC的面積為S=1/2*AC*BC=1/2*15cm*20cm=150cm2。解析：在直角三角形ABC中，DE是斜邊AB上的中線，所以DE=1/2*AB。由于DE的長度為10cm，所以AB=2*DE=2*10cm=20cm。三角形的面積公式為S=1/2*底*高，其中底和高可以取直角邊，所以S=1/2*15cm*20cm=150cm2。六、綜合題（每題10分，共20分）1.∠A的正弦值為AC/AB=8/√(82+152)=8/√(64+225)=8/√289=8/17，∠A的余弦值為AC/AB=