內(nèi)蒙古呼和浩特市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1內(nèi)蒙古呼和浩特市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得，所以，，則.故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，.故選：D.4.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則函數(shù)有極值點(diǎn)的概率為（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，依題意，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得，由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，得，所以函數(shù)有極值點(diǎn)的概率為0.4.故選：C5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.命題是偶函數(shù)，命題，則（）A.是的充分不必要條件B.是的必要不充分條件C.是的充要條件D.是的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，即，若是偶函數(shù)，則，解得，顯然不能推出，所以是的必要不充分條件.故選：B6.已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，由，所以，即，設(shè)與夾角為，則，又，所以.故選：C.7.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，得，即，則，因此，解得，所以所求的取值范圍是.故選：C8.已知為雙曲線上的一點(diǎn)，由向兩漸近線作垂線，垂足分別為、，則的值為（）A. B. C. D.不確定【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)在直線、的射影點(diǎn)分別為、，則，，所以，，設(shè)直線的傾斜角為，則為銳角，且，則，所以，，因?yàn)椋?，所以，，由平面向量?shù)量積定義可得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.有選錯(cuò)的得0分.9.2024年4月30日國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）（）（與上月比較無變化），如圖所示.下列說法正確的是（）A.從2023年4月到2024年4月制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）呈下降趨勢(shì)B.從2023年10月到2024年4月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）的極差為C.從2023年10月到2024年4月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）的平均數(shù)為D.從2023年10月到2024年4月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）的分位數(shù)為【答案】BD【解析】對(duì)于A，制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）有升有降，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，從2023年10月到2024年4月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）的極差，B正確；對(duì)于C，從2023年10月到2024年4月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）的平均數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，從2023年10月到2024年4月，這7個(gè)月的制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）,從小到大的順序?yàn)?，由，得?0百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)，為，D正確.故選：BD10.在正方體中，棱長(zhǎng)為1，已知點(diǎn)，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.下列說法正確的有（）A.存在無數(shù)條直線與直線平行B.與不可能垂直C.二面角不可能為定值D.點(diǎn)到任意直線的距離都不可能小于【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，平面，平面，得平面，則過的平面與平面相交，交直線分別于點(diǎn)，必有，因此有無數(shù)條直線與直線平行，A正確；對(duì)于B，在正方體中，，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，因此，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得平面即為平面，平面即為平面，因此二面角即為二面角，而二面角為定值，則二面角為定值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，平面，點(diǎn)到平面的距離為，而平面，因此點(diǎn)到任意直線的距離都不可能小于，D正確.故選：AD11.琴生（Jensen，1859-1925）是丹麥的一位電訊工程師，他利用業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)，其中流傳至今的研究成果是以凹凸函數(shù)為基礎(chǔ)的“琴生不等式”，表述如下：若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在導(dǎo)函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為，如果對(duì)，都有，則稱在是“凸函數(shù)”，滿足；如果對(duì)，都有，則稱在是“凹函數(shù)”，滿足，則下列說法正確的是（）A若，有B.若，有C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，，則在是“凸函數(shù)”，，，A正確；對(duì)于B，，，則在是“凹函數(shù)”，，有，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令函數(shù)，，函數(shù)在是“凹函數(shù)”，，因此，C正確；對(duì)于D，令函數(shù)，，在是“凸函數(shù)”，，，因此，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，斜率為且與圓相切的一條直線方程為__________.【答案】（答案不唯一，）【解析】圓的圓心，半徑，設(shè)切線方程為，即，則，解得或，所以所求切線方程為或.故答案為：（或）13.邊長(zhǎng)為的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可以圍成一個(gè)正四棱錐，若內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)為，則此正四棱錐的體積為__________.【答案】【解析】設(shè)底面的中心為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，，且，所以，，翻折前，則、、三點(diǎn)共線，則，可得，翻折后，在正四棱錐中，如下圖所示：由正四棱錐的幾何性質(zhì)可得平面，因平面，所以，，由勾股定理可得，正方形的面積為，因此，正四棱錐的體積為.故答案為：.14.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的最大值為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以兩式相減得，即，由正弦定理，得，即，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以，則，所以為銳角，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明.15.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）將和的項(xiàng)由小到大進(jìn)行排列組成數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，求.解：（1）在等差數(shù)列中，，解得，而，則數(shù)列的公差，，由，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，.（2）由（1）知，，而數(shù)列都是遞增數(shù)列，則數(shù)列前100項(xiàng)由數(shù)列的前93項(xiàng)和數(shù)列的前7項(xiàng)組成，所以16.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.（2）依題意，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)在上無零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，，在上無零點(diǎn)，，在上有一個(gè)零點(diǎn)，則在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，因此在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)在上無零點(diǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，在上無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，其中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：由，即，得，而，平面，則平面，又平面，于是，由為等邊三角形，且點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，得，又，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：由（1）知平面，而平面，平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，而平面平面，則平面，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，，所以二面角的的正弦值為.18.在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）.（1）求曲線的方程；（2）為曲線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)（與，不重合），直線與交于點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)在定直線上；（ii）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由軸于，為線段的中點(diǎn)，得點(diǎn)，由點(diǎn)在圓上，得，即，所以點(diǎn)的軌跡的方程是.（2）（i）由（1）不妨令，直線不垂直于軸，設(shè)直線，，由，得，由，得或，則，，直線方程為，直線方程為，聯(lián)立消去，得，解得，所以點(diǎn)在直線上.（ii）由，得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則，解得，即，于是直線的方程為，由消去得，而點(diǎn)A橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，所以直線的斜率.19.在某場(chǎng)乒乓球比賽中，甲乙兩人進(jìn)入決勝局，且目前該局比分為，接下來比賽規(guī)則如下：兩人輪流各發(fā)一個(gè)球，誰贏此球就獲得1分，直到有一方得分超過對(duì)方2分時(shí)即可獲得該局的勝利.已知甲先發(fā)球，且甲此球取勝的概率為0.6，若上一球甲獲勝，則甲在下一球比賽中獲勝的概率為0.8，若上一球乙獲勝，則甲在下一球比賽中獲勝的概率為，其中