高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

這種由某類事物部分對象含有一些特征,推出該類事物全部對象都含有這些特征推理,或者由個別事實概栝出普通結(jié)論推理,稱為歸納推理.(簡稱：歸納)歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、試驗和對有限資料分析基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性結(jié)論.需證實一、復(fù)習(xí)：什么是歸納推理？1/31例如已知數(shù)列{an}第1項a1=1且(n=1,2,3…),試歸納出這個數(shù)列通項公式.解：猜測：這個猜測對于前4項是成立，但還不能對以后繼續(xù)項也成立，所以這個猜測要證實。2/31費爾馬(1601.8—1665.1)，法國數(shù)學(xué)家。

(費馬猜測)結(jié)論是錯誤。3/31對于某類事物，由它一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出普通結(jié)論推理方法，叫歸納法。歸納法｛

完全歸納法不完全歸納法由特殊普通

特點:二、歸納法定義：4/31完全歸納法：優(yōu)點：考查全方面，結(jié)論正確。缺點：工作量大，有些對象無法全方面考查。不完全歸法：優(yōu)點：考查對象少，得出結(jié)論快。缺點：觀察片面化，結(jié)論不一定正確。5/31從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三”字。于是他得了一個結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以這類推，…從此，他不再去上學(xué)，家長發(fā)覺問他為何不去上學(xué)，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己名字，“萬百千”寫名字結(jié)果可想而知?！?/p>

"萬百千"笑話萬百千在學(xué)習(xí)上犯了什么錯誤?6/317/318/319/3110/3111/3112/3113/3114/3115/3116/3117/3118/31什么是數(shù)學(xué)歸納法？對于一些與正整數(shù)n相關(guān)命題經(jīng)常采取下面方法來證實它正確性：先證實當(dāng)n取第一個值n0時命題成立；2.然后假設(shè)當(dāng)n=k(k

N*，k≥n0)時命題成立，證實當(dāng)n=k+1時命題也成立。這種證實方法就叫做

。數(shù)學(xué)歸納法19/3120/3121/3122/31歸納小結(jié)①歸納法：由特殊到普通，是數(shù)學(xué)發(fā)覺主要方法；②數(shù)學(xué)歸納法科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；③數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個步驟，一個結(jié)論；

④數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：克服了完全歸納法繁雜、不可行缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠不足，是一個科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到普通、由有限到無窮．⑤、一定要用到歸納假設(shè)；看清從k到k＋1中間改變。23/3124/31數(shù)學(xué)歸納法是一個證實與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題主要方法.主要有兩個步驟一個結(jié)論:【歸納奠基】（1）證實當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確（2）假設(shè)n=k(k≥n0,n∈N*)時結(jié)論正確，證實n=k+1時結(jié)論也正確（3）由（1）、（2）得出結(jié)論【歸納遞推】注意：25/31例1、1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)證實:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1,等式是成立。

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，就是

1+2+22+…+2k-1=2k-1那么，1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2×2k-1=2k+1-1這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立。

所以,依據(jù)(1)和(2)可斷定,等式對于任何n∈N*都成立。26/31書本50頁練習(xí)1：用數(shù)學(xué)歸納法證實1+3+5+…+(2n

1)=n2

證實：1.當(dāng)n=1時左＝1，右＝12＝1∴n=1時，命題成立2.假設(shè)n=k時，命題成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，當(dāng)n=k+1時左＝1+3+5+…+(2k

1)＋(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時命題成立由1、2知原命題對nN*都成立遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)27/31書本50頁2.用數(shù)學(xué)歸納法證實證實：1、當(dāng)n=1時,左=12=1，右=∴n=1時，等式成立2、假設(shè)n=k時，等式成立，即那么，當(dāng)n=k+1時左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1時，原不等式成立由1、2知當(dāng)nN*時，原不等式都成立28/31例2.用數(shù)學(xué)歸納法證實：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

從n=k到n=k+1有什么改變湊假設(shè)湊結(jié)論證實:2)假設(shè)n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝則當(dāng)n=k+1時，

+＝=∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。

=1)當(dāng)n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立29/31證實：①當(dāng)n=1時，左邊＝右邊＝∴n=1時等式成立。②假設(shè)n=k時，命題成立，即那么，當(dāng)n=k+1時，有即n=k+1時，命題成立。依據(jù)①②問可知，對n∈N＊，等式成立。30/311、三個步驟缺一不可:第一步:奠基步驟，是命題論證基礎(chǔ)，稱之為歸納基礎(chǔ)；第二步:歸納步驟，是推理依據(jù)，是判斷命題正確性能否由特殊推廣到普通，它反應(yīng)了無限遞推關(guān)系，其中“假設(shè)n