高三年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編（新高考）專(zhuān)題12空間向量與立體幾何壓軸大題（十二大題型）

專(zhuān)題12空間向量與立體幾何壓軸大題

|題型

01I線(xiàn)面平行、面面平行的判定定理

1.(山東省濟(jì)寧市泗水縣20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中)如圖，在三棱柱/8C—4氏。中，E,F,

G,“分別是/￡AC,AiBi,4G的中點(diǎn).求證：

(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面；

(2)平面EFAiH平面BCHG.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用中位線(xiàn)定理與空間平行線(xiàn)的傳遞性，推得G/7//8C,由此得證;

(2)利用線(xiàn)面平行的判定定理證得EF〃平面BCHG,A1E〃平面BCHG,從而利用面面平行的判

定定理即可得證.

【詳解】⑴,:G,“分別是小以，血。的中點(diǎn)

GH是△44。的中位線(xiàn)，，GH//B1C1,

又在三棱柱/BC-N/B/C/中，BiCiUBC,：.GH//BC,

：.B,C,H,G四點(diǎn)共面.

(2)YE,尸分別為48,4C的中點(diǎn)，

J.EFHBC,

'：EF<z平面BCHG,3Cu平面BCHG,

；.￡F//平面BCHG,

?.?在三棱柱Z8C—48/C/中，4g//48，M=4B,

--AjG//EB,Afi=-4月=—AB=EB,

.??四邊形出班G是平行四邊形，.?.//￡//G8,

AXE(Z平面BCHG,G3u平面BCHG,

〃平面BCHG,

■:AiECEF=E,AiE,所u平面E*

平面EFAiH平面BCHG.

2.(2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)如圖，在多面體4BCDEF中，四邊形48co是菱形，EFHAC,

EF=1,ZABC=60°,CE_L平面4BCD,CE=C,CD=2,G是的中點(diǎn).

(1)求證：平面/CG〃平面BEF；

(2)求直線(xiàn)AD與平面ABF所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵手

【分析】(1)連接3。交/C于O,則。是3。的中點(diǎn)連結(jié)0G,貝IJOG//8E,從而。G〃平面

再由EF//AC,即可得到ACII平面BEF,由此能證明平面ACGH平面BEF.

(2)連接OF,即可證明OF-L平面羽。，如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。C、OD、OF為x、>、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)/。與面尸成的角的正弦值.

【詳解】(1)證明：連接8。交ZC于。，則。是班的中點(diǎn)，

連接OG,「G是DE的中點(diǎn)，

BEu平面BEF,OG<z平面BEF,

OGH平面BEF；

又EFIIAC,/Ccz平面AEF,EFu平面BEF,ZC〃平面AEF,

又/C與0G相交于點(diǎn)O,/C,OGu平面/CG,

所以平面/CG〃平面5EF.

(2)解：連接。尸，因?yàn)樗倪呅?8CD是菱形，所以/CL8D,

又乙43c=60。，CD=2,所以A4BC為等邊三角形，所以NC=2,又EF=I,

所以斯=OC且屏V/OC,所以四邊形OCE廠(chǎng)為平行四邊形，所以O(shè)F//CE,

因?yàn)镃EL平面N3CD,所以。尸，平面N3CD,

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C、OD、OF為X、>、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則/(-1,0,0),5(O,-V3,o),山石,0),F(0,0,73),

^45=(1,73,0),ZB=(1,-V3,O),AF=(1,0,43),

設(shè)面N8尸的法向量為玩=3仇。)，

ml~ABm?AB=a-y/3b=0

依題意有一，貝卜

mlAFm,AF=a+y[3c=0

令a=#>,b—1,c=—1,則成=(G,1,-1),

AD-m百+由V15

所以cosv4D,而>=______—.

"xJ4+15

所以直線(xiàn)/D與面48月成的角的正弦值是姮.

5

3.（2022秋?江蘇徐州?高三統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐P—4BCD中,四邊形48co是菱形上4=PC,E為

P3的中點(diǎn).求證：

（1）PD〃平面AEC;

（2）平面4BC_L平面PBD.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)NCn8D=。,連接EO,根據(jù)中位線(xiàn)可得尸?！‥O,再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證

明；

（2）根據(jù)PA=PC可得AC±尸O,根據(jù)四邊形43co為菱形，可得AC1助，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷定

理可得平面尸&D,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)NCn8D=。,連接EO,如圖所示：

因?yàn)镺,E分別為助，尸8的中點(diǎn)，所以尸D〃E。，

又因?yàn)镻DU平面NEC,EOu平面NEC,

所以PA〃平面/EC.

（2）連接尸。，如圖所示：

因?yàn)槭?=PC,O為/C的中點(diǎn)，所以/C,尸O,

又因?yàn)樗倪呅纬丌藶榱庑?，所?C工5D,

因?yàn)镻。u平面PBD,BDu平面PBD，且尸OP!8。=O,

所以NC_L平面尸3。,又因?yàn)镹Cu平面/EC,

所以平面AEC±平面PBD.

4.（2022秋?福建福州?高三校聯(lián)考期中）如圖所示，正方形4D斯與梯形/2CZ）所在的平面互相

垂直，已知/B//CD,ADVCD,AB=2AD=-CD=2.

2

⑴求證：BF〃平面CDE；

（2）連接CF,求多面體ABCDEF的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）1

【分析】（1）依題意可得/尸〃?！?ABHCD,即可得到平面N班7/平面CDE,再根據(jù)面面平行的性

質(zhì)得證；

(2)由面面垂直的性質(zhì)得到CD，平面40￡萬(wàn)，平面48cD,再根據(jù)匕=/一皿⑺+七一0防

計(jì)算可得；

【詳解】(1)證明：由正方形4DEF與梯形48cD,可得AF//DE,ABHCD,

因?yàn)?尸0平面CDE,且DEu平面CDE,所以4尸〃平面CDE,

又因?yàn)槠矫鍯DE,且CDu平面CDE,所以平面CDE,

又由/尸cAB=/,且4F,48u平面CDE,所以平面N毋7/平面CDE,

因?yàn)锽Fu平面月，所以5F〃平面CDE.

(2)解：因?yàn)槠矫?DEF1平面48CD,平面40瓦7rl平面48co=40,

且。_L/D,CDu平面4BCD,所以CD_L平面4DE尸，

同理可證DE」平面48c0,

連接CF,故多面體ABCDEF的體積VABCDEF=-FS+VC_DEF

故多面體48co￡下的體積為g.

II

題型02補(bǔ)全平行的條件

■?

5.(湖南省衡陽(yáng)市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)如圖所示，在四棱錐尸-/BCD

中，3c〃平面尸ND,BC=-AD,E是PD的中點(diǎn).

2

⑴求證：BC//AD；

(2)求證：CE〃平面尸48；

⑶若M是線(xiàn)段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段4。上是否存在點(diǎn)N,使MN〃平面尸說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)存在，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可證明；

(2)由中位線(xiàn)、線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得四邊形BCE尸為平行四邊形，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定即可證明;

(3)根據(jù)線(xiàn)面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性.

【詳解】(1)在四棱錐尸-4BCD中，BC//PAD,BCu平面48CD,/Du平面尸

平面4BCDr)平面PND=/O,所以3c7740；

(2)如下圖，取尸為/尸中點(diǎn)，連接EF,BF,由E是PD的中點(diǎn)，

11

所以斯〃/。且所=—4D,由（1）知3C〃4D,又BC=—AD,

22

所以EF〃BC且EF=BC,所以四邊形BCE尸為平行四邊形，故CE〃BF,

而CEu平面尸48,平面尸48,則CE〃平面「48.

（3）取/。中點(diǎn)N,連接CN,EN,

因?yàn)椤?N分別為PD,4。的中點(diǎn)，所以EN〃PA,

因?yàn)镋NU平面P/3,尸Nu平面尸N8,所以EN〃平面尸

線(xiàn)段工。存在點(diǎn)N,使得〃平面P48,理由如下：

由（2）知：CE〃平面P48,又CECEN=E,CEu平面CEN,ENu平面CEN,

所以平面CEN〃平面尸/B,又M是CE上的動(dòng)點(diǎn)，MNu平面CEN,

所以〃平面尸N3,所以線(xiàn)段存在點(diǎn)N,使得〃平面P48.

6.（廣東省梅州市大埔縣虎山中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，已知多面體E48CD尸的

底面A8CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面ABCD,FD//EA,且陽(yáng)」E4=L

2

（1）記線(xiàn)段3c的中點(diǎn)為K,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線(xiàn)與平面￡CF平行，要求保留作圖痕跡,

但不要求證明；

（2）求直線(xiàn)EB與平面ECF所成角的正弦值.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面平行性質(zhì)定理，可得所作直線(xiàn)必平行面9CD與面ECF的交線(xiàn)，因此先作兩

平面交線(xiàn)，再在平面/BCD內(nèi)作交線(xiàn)的平行線(xiàn).

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)的方向向量和平面ECF的法向量，利用向量夾角公式求直線(xiàn)

EB與平面ECF所成角的正弦值.

【詳解】（1）延長(zhǎng)所，設(shè)其交點(diǎn)為N,連接CN,

則CN為平面48co與平面ECF的交線(xiàn)，

取線(xiàn)段CD的中點(diǎn)連接KM,直線(xiàn)K朋■即為所求.

證明如下：延長(zhǎng)所，設(shè)其交點(diǎn)為N,連接CN,

則CN為平面4BCD與平面ECF的交線(xiàn)，

因?yàn)镕DHEA,所以AFDASAEAN,又FD==EA,

2

所以

2

所以=又ND11BC,

所以四邊形BCND為平行四邊形，所以CN//8O,

取CD的中點(diǎn)M,連接KM,

?；K,M分別為8C,。的中點(diǎn)，

KMHBD,：.KM//CN.

；。^^（=平面斯。，KM.平面EFC,

KMH平面EFC.

（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為x軸，4。所在的直線(xiàn)為了軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

由已知可得2（0,0,0）,正（0,0,2）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,尸（0,2,1）,

所以就=（2,2,-2）,麗=（2,0,-2）麗="2廠(chǎng)1）,

設(shè)平面ECF的法向量為n=（x,y,z）,

n-EC=0,x+y-z=0

則—得

n-EF=0.2y—z=0

取V=1得，x=l,z=2,

平面ECF的一個(gè)法向量以=（1,1,2）.

設(shè)直線(xiàn)￡8與平面ECF所成的角為6,

貝|Jsin9=|cos（函萬(wàn)）|=巧,"J廠(chǎng)2B

，

\\/\\EB\-\H\242X466

所以直線(xiàn)￡3與平面ECF所成角的正弦值為YL

6

7.（2022秋?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形48co中，點(diǎn)E

在邊CD上，且滿(mǎn)足40=。后=/,?！?字，將VNDE沿4E向上翻折，使點(diǎn)。到點(diǎn)P的位置，構(gòu)

成四棱錐尸-4BCE.

（1）若點(diǎn)尸在線(xiàn)段/P上，且EF〃平面PBC,試確定點(diǎn)廠(chǎng)的位置；

（2）若尸8=①，求銳二面角尸-EC-/的大小.

10

【答案】（1）點(diǎn)尸為線(xiàn)段/P上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)

【分析】（1）在取點(diǎn)G使26=變，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理、面面平行的判定及性質(zhì)定理即

2

得;

(2)取NE的中點(diǎn)O,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解銳二面角的大小.

【詳解】(1)點(diǎn)尸為線(xiàn)段/P上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)，

證明如下：

如圖，

在取點(diǎn)G,連接FG,GE<變得BG=CE=旺,

2

又8G//CE,所以四邊形BGEC為平行四邊形，所以BC//GE,

又GE<z平面尸BC,3Cu平面PBC,所以GE〃平面P5C.

又￡尸〃平面尸3C,EFC\GE=E,ERGEu平面EFG,

所以平面PBCII平面EFG,

又平面E/Gc平面尸4B=FG,平面尸BCc平面尸48=P8,

”=里=旦

所以FG//PB,所以在AP/3中，F(xiàn)P~GB~yj2~，所以尸尸=§/尸,

V

所以點(diǎn)尸為線(xiàn)段AP上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn).

(2)如圖，取/E的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)。石為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳E=2,AB=史,NBAE』,所以，(一1,0,0)*(1,0,0),4,-。］,

24<22；

乂反=：荔，貝《|,一)，

由題意，點(diǎn)尸在過(guò)點(diǎn)O且垂直的平面上，故設(shè)P(0,7",〃),

則OP=（0,m,n），尸8=［；

m2+n2=1

因?yàn)閛-叫嚕225/6

所以3j+/="‘解得根n=----

I+m-\——5

22110

故尸0,5，~5^、，則。石1=2匹，EC=

55

77

設(shè)平面尸EC的法向量為加=($,%,zj,

12面

PE?麗xz二0

=i~~yi——i—,~\1o

則＜_不妨取占=1,則機(jī)=1,1,鼻

11

EC-m=-M----%=0n

2121

―?―I

設(shè)平面EC4的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1),則3〈外"〉=麗=5，

記銳二面角尸-EC-4的平面角為6,所以cos8=|cos〈玩,砌=；，

又0<0<],貝1|6=三，所以銳二面角P-EC-/的大小為:.

8.(2022秋?遼寧?高三校聯(lián)考期中)如圖：在正方體488-4片。]。中，M為的中點(diǎn).

⑴求證：BD、H平面AMC；

(2)在線(xiàn)段CG上是否存在一點(diǎn)N,使得平面ZMC〃平面8溝，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)連接8。交/C于。，連接MO,通過(guò)證明8〃可證明結(jié)論；

(2)CG上的中點(diǎn)N即滿(mǎn)足平面AMCH平面BNDX,通過(guò)證明。聲〃平面AMC結(jié)合8,〃平面AMC

可證明結(jié)論.

【詳解】(1)連接3。交/C于O,連接MO.

；4BCD-4BCDi為正方體,底面48co為正方形，二。為2。的中點(diǎn).

???”為。2的中點(diǎn)，在△D82中，。河是△08,的中位線(xiàn)，所以O(shè)M"BD、.

又。Mu平面4WC,平面平面4WC；

(2)CG上的中點(diǎn)N即滿(mǎn)足平面〃平面的VR,

為CQ的中點(diǎn)，”為。，的中點(diǎn)，，。丫〃皿，且CN=MA，

二四邊形CN^M為平行四邊形，.?.2N〃MC,

,?MCu平面AMC,D、N<z平面AMC,

：.D,NH平面AMC■,

由(1)知3?！ㄆ矫鍭MC,

又：BDQDN=D”

平面AMCII平面BND1.

線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)定理

9.（福建省福州華僑中學(xué)等多校2023屆高三上學(xué)期期中）已知四棱錐尸-N3CD,底面為菱形

TT

ABCD,PD.L^ABCDPD=AD=CD=2,NBAD=—,E為PC上一點(diǎn)、.

93

⑴平面尸4。c平面PBC=/,證明：BC//1；

（2）當(dāng)二面角E-BD-C的余弦值為?時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）點(diǎn)￡為棱尸C中點(diǎn)

【分析】（1）由〃/。，利用線(xiàn)面平行的判定定理得到BC〃平面尸4D,再利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)

定理證明；

（2）取中點(diǎn)尸，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。廠(chǎng)尸所在直線(xiàn)分別為x軸、歹軸、z軸建立如圖所示

空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)E（0,y,2-田（04yW2）,分別求得平面的一個(gè)法向量點(diǎn)=（a,ac）和平面

3a1的一個(gè)法向量為1=（0,0,1）,利用夾角公式求解.

【詳解】（1）證明：因?yàn)?C〃/平面平面尸

所以5c〃平面HLD,

又因?yàn)槠矫媸?0c平面尸8C=/,所以8C〃/.

（2）取48中點(diǎn)下，則。FLOC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。己DC,OP所在直線(xiàn)分別為x軸、了軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

所以0（0,0,0）,P（0,0,2）,C（0,2,0）,B（百,1,0）,

設(shè)E（0/,2-y）（0"V2）,

所以麗=（0）,2-y）,麗=（后1,0）,

設(shè)平面BDE的法向量％仇c）,則有

DEn[=Q即by+c（2-y）=0,

DB-=0-\/3a+6=0,

令。=i,貝I4=i,.

I2-y）

平面8co的一個(gè)法向量為元=（0,0,1）,

所以kosR，E

解得y=i,

即當(dāng)點(diǎn)E為棱尸C中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足條件.

10.（山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知四棱錐尸-4BCD,底面

7T

48co為菱形，尸。，平面48CD,PD=AD=CD=2,ABAD=-,￡為尸。上一點(diǎn).

（1）平面尸4。c平面P5C=/,證明：BC///.

JT

（2）當(dāng)直線(xiàn)3E與平面3co的夾角為：時(shí)，求三棱錐尸-ADE的體積.

6

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）^

【分析】（1）由線(xiàn)面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；

（2）過(guò)點(diǎn)￡作CD的垂線(xiàn)，垂足為M,所以EW_L平面3a）,由題意可求得直線(xiàn)BE與平面5co的

jr

夾角為NEBM=7,可得點(diǎn)E為尸C中點(diǎn)，由等體積法求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)锽C〃/D,2CcZ平面平面尸

所以3c〃平面尸4D,BCu平面「5C,

又因?yàn)槠矫媸?0c平面尸BC=/,所以3C///.

（2）過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線(xiàn)，垂足為則尸D//EM,

因?yàn)镻D_L平面/BCD,所以EM_L平面BCD,

若點(diǎn)E為尸C中點(diǎn)，則點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，

止匕時(shí)EM=-PD=l,BM±CD,BM=拒,

2

1T

所以直線(xiàn)BE與平面BCD的夾角為NEBM=-,

6

即點(diǎn)￡為PC中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意，

因?yàn)槭?。，平面N3CD,所以平面N3CD,所以尸D_L8M,

又因?yàn)榧?_LCD,PDcCD=D,尸。,。。＜=平面尸。，

所以8M1平面PCD,所以點(diǎn)B到平面PCD的距離為3=V3,

故Vp-BDE=^B-PDE=-X1X^3=.

11.(河北省石家莊市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中)如圖，在四棱錐尸-N3C。中，平面

ABCD,且四邊形48co是正方形，E,F,G分別是棱BC,AD,P4的中點(diǎn).

⑴求證：PE〃平面BFG；

(2)若NB=2,求點(diǎn)C到平面3FG的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)—

5

【分析】(1)連接DE,推導(dǎo)四邊形BEDF是平行四邊形，從而得到DE//BF,再得到FG//PD,從

而PD〃平面AFG,平面3PG,進(jìn)而得到平面尸〃平面AFG,因此得證尸￡〃平面瓦7G；

(2)由尸。_L平面4BCD,FG//PD,可得尸G_L平面/BCD,作CM_LAF,垂足為則/G_LCM,

進(jìn)而得到CM平面BFG,即CM的長(zhǎng)是點(diǎn)C到平面BFG的距離，再利用等面積法求解即可.

【詳解】(1)連接DE,

???48CD是正方形，E,尸分別是棱3C,的中點(diǎn)，

:.DF=BE,DFHBE,

：.四邊形3瓦加是平行四邊形，DE//BF,

；G是以的中點(diǎn)，/.FG//PD,

'：尸。DE<Z平面BFG,FG,5尸u平面BFG,

PDH平面BFG,DEH平面BFG,

,:PD\DE=D,直線(xiàn)尸。,DE在平面尸內(nèi)，

平面PDEH平面BFG,PEu平面PDE,

:.PE〃平面BFG.

(2)；PZ)_L平面4BCD,FG//PD,

.?.尸G_L平面4BCD,

過(guò)C在平面4BCD內(nèi)，作CA/_LBF,垂足為則戶(hù)G_LCM,

?:FG1BF=F,又直線(xiàn)FG,2尸在平面8FG內(nèi)，

CM_L平面BFG,

CM的長(zhǎng)是點(diǎn)C到平面BFG的距離，

：ABC/中，F(xiàn)B=CF=舊,

2x24亞

/.由等面積可得CM=

5

.?.點(diǎn)C到平面BFG的距離為匯一.

5

12.（安徽省合肥市肥東縣綜合高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）如圖，在四棱柱

48CD—48cB中，底面四⑺為梯形，ADHBC,平面/QCE與交于點(diǎn)￡.求證：ECHA.D.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)四棱柱性質(zhì)可證明平面3CE〃平面44。，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明

EC//A.D.

【詳解】由四棱柱43CD-44cl2可知，BEHAA,,皿U平面44。，平面幺4。，

所以3E〃平面44。；

又ADUBC,40u平面44。，3CU平面44。，

所以BC〃平面幺4。；

又BCC\BE=B,BEu平面3CE,8Cu平面8CE；

所以平面5c￡7/平面AAXD,

又平面AXDCEc平面BCE=EC,平面AQCEc平面AA,D=AtD,

所以EC//4。

|題型04|

線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定定理

13.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）如圖所示，直三棱柱48C-44G中，AB1AC,

AB=AC=AA.=?>,AD=-AC,CE=-CC..

33

（1）求證：Afi1.BE-

（2）求直線(xiàn)4。與平面BDE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

2K/H5

230

【分析】（1）根據(jù)題意證得平面/CG4,得到進(jìn)而證得4。，平面/BE,利用你

線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，即可證得4QL3E；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面80E的一個(gè)法向量為3=(1,3,-6)和

4。=(0,1,-3),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)證明：因?yàn)槿庵?G為直三棱柱，且=CE=；CG，

AAAT

在直角與直角△ZCE中，可得旦=2,

ADCE

所以"〔ADs"CE,所以ZAA.D=ZCAE,

所以ZAAlD+=ZCAE+“DA=90。，所以AXD1AE.

因?yàn)?4]J_底面46C,/8u底面/8C,所以74,48,

又ABJ.4C,AA^AC^A,且4<,/Cu平面NCCH,所以48/平面/CC/,

又因?yàn)?Du平面/CG4,所以

因?yàn)?8p|/E=/,且48,NEu平面ABE,所以平面/BE,

又因?yàn)锽Eu平面ABE,所以4D_LBE.

(2)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以48,AC,44]分別為x,y,z軸建立的空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則4(0,0,3),5(3,0,0),D(0,l,0),￡(0,3,1),

則麗=(-3,1,0),麗=(-3,3,1),40=(0,1,-3),

設(shè)平面的法向量為力=(x,y,z),貝!1{_—.,

n-BE=—3x+3y+z=0

令x=l,可得y=3,z=-6,所以平面ADE的一個(gè)法向量為3=(1,3,-6).

設(shè)直線(xiàn)4。與平面BDE所成角的大小為6,

n.AD(1,3,-6)《0,1,-3)_21VHJ

則sin0=X

746x710230'

故直線(xiàn)AXD與平面BDE所成角的正弦值為電叵.

230

14.(2022秋?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥?如圖，在四棱柱/BCD-44CQ中,

底面ABCD,底面N3CD滿(mǎn)足/D〃3C,S.AB=AD=AAl=2,BD=DC=2?.

(1)求證：481平面ND。/；

(2)求四棱錐C-BDDXBX的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

16

⑵了

【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得利用勾股定理逆定理可得4。，再根據(jù)線(xiàn)面

垂直的判定定理即可證明1平面ADDXAX；

(2)根據(jù)題目中各邊的長(zhǎng)度由勾股定理可得再由直棱柱性質(zhì)可得DC為四棱錐

的高，根據(jù)椎體體積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)由44]，底面/BCD,/Bu平面/BCD,

所以,

又因?yàn)锳8=AD=2,BD=2V2.

滿(mǎn)足/笈+/h=m2,可得N3_L4。，

又AAXnAD=A,AAVADcz平面ADDXAX,

所以451平面

(2)由(1)中AB_L/O,且/Z)〃8C,BD=DC=2V2,可得BC=4,

因止匕=8。2,即B￡)_LDC,

又44,平面4BCD,AAJ/DD,,

可得平面/BCD,DCu平面/BCD,

即DDX1DC,

又DDJBD=D,DR,BDu平面BDRB],

所以。C，平面BDD他,即DC為四棱錐C-BDDX用的高，

即四棱錐C-BDDXBX的體積.Vc_BDDiBi=j5S1.J8r)-DC=|x2x2V2x2V2=y.

15.(福建省泉州市晉江二中、鵬峰中學(xué)、廣海中學(xué)、泉港五中2023屆高三上學(xué)期10月期中)在如

圖所示的幾何體中，DEHAC,NCL平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=\,ZBCD=60°.

⑴證明：平面/CDE；

(2)過(guò)點(diǎn)。作一平行于平面/BE的截面，畫(huà)出該截面(不用說(shuō)明理由)，并求夾在該截面與平面/BE之

間的幾何體的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）截面為平面?？?，體積為地

6

【分析】（1）由余弦定理和勾股定理可得3。LCD,結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得8DL/C,由線(xiàn)面垂

直的判定可得結(jié)論；

（2）取NC的中點(diǎn)尸，8C的中點(diǎn)由面面平行的判定可知所求截面為平面的f；利用棱錐體

積公式可得所求體積為V=VB_ACDE-VF_CDM.

【詳解】（1）在△BCD中，AC=2DE=4,BC=2,DC=1,ZBCD=60°,

由余弦定理得：5￡>2=4+l-4cos600=3,BC2=BD2+DC2,：.BD±CD,

又4C_L平面5c?,5。匚平面30）,；.&0_1/。，

■：ACS}CD^C,/C,CZ）u平面/CDE,BD1ACDE.

（2）取ZC的中點(diǎn)F,8C的中點(diǎn)M,連接。b,,則平面DW即為所求.

理由如下：

DEIIAC,DE=4F,.,.四邊形NED尸為平行四邊形，DFHAE,

?：DF（Z平面ABE,AEU平面ABE,DFH平面ABE,

同理可得：FMH5F?ABE,

?：DFnFM=F,。F,Wu平面￡>K1/，，平面DEW〃平面/BE；

由（1）可知：BDl^^ACDE,且尸C_L平面COM,

V

B-ACDE=-x-x（2+4）xlxV3=V3,VF_CDM=^x^xlxlxsin600x2=堂,

Jz326

夾在該截面與平面ABE之間的幾何體的體積V=VB_ACDE-VF_CDM=—.

6

16.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶一中期中考試）如圖，正方形/BCD中，點(diǎn)￡,/分別為N8,

8c的中點(diǎn).將ABEF,ADCF分別沿EF,折起，使/,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P.

⑴求證：/<0_1平面尸斯；

（2）若48=6,且K為尸D的中點(diǎn)，求三棱錐K-EFD的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

2

【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可得證；

（2）由題意求得S&EF，由（1）知尸平面PER求得七一^^二九根據(jù)K為尸。的中點(diǎn)，即可

求解.

【詳解】（1）在正方形4BCD中，AD1AE,CD1CF,

折疊后即有PD_LP￡,PD1PF,

又因?yàn)镻ECPF=P,尸平面尸￡尸，所以PD_L平面尸防；

10

（2）由題意知PE=PP=3,PE1PF,故S^PEF.XPEXPF.,

由（1）知尸4_L平面PE產(chǎn)，

119

故%>-EFD=—D-PEF=馬乂S^PEFX尸。=§*/*6=9;

因?yàn)镵為PD的中點(diǎn)，

119

所以三棱錐K一EFD的體積VK_EFD=-VP_EFD=-x9=-.

17.（湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）在三棱臺(tái)/3C-DEF中，G為/C中點(diǎn)，

AC=2DF,AB1BC,BC1CF.

（1）求證：3c工平面DEG；

jr

（2）若4B=3C=2,CF1AB,平面EFG與平面/CEO所成二面角大小為§,求三棱錐E-。尸G的

體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）?

【分析】（1）易證得四邊形GCFD為平行四邊形，由此可得5CLDG,結(jié)合8CLDE,由線(xiàn)面垂

直的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。G=CF=M（%>0）,由二面角

的向量求法可構(gòu)造方程求得m,利用體積橋VE_DFG=%可求得結(jié)果.

【詳解】（1）在三棱臺(tái)43C-DE尸中，G為NC中點(diǎn)，則4C=2GC,

又4C=2DF,GC=DF,

■：ACIIDF,四邊形GCFD為平行四邊形，.1OG//。尸，

又BCLCF,BCLDG,

■：DEI/AB,ABIBC,BCVDE,

■.■DEP\DG=D,OE,DGu平面。EG,BC_L平面DEG.

（2）---CFAB,DG//CF,DGVAB,

又DGJLBC,ABcBC=B,u平面/3C,DG_L平面43C,

連接8G,?:AB=BC=2,ABIBC,G為ZC中點(diǎn)，GBVAC■.

以｛行，品,&｝為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系G-平,

則G（0,0,0）,可行,0,0）,C（0,V2,0）,

設(shè)OG=CF=w（機(jī)>0）,則。（0,0,機(jī)），F(xiàn)（0,V2,w）,

:.GE=GD+DE=GD+（0,0/M>^（^,^,0）=y-,j,而=（0,血,切），

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

-7^-也I◎,_n

,n,（jh=--xH------y+1TIZ=0,—,—/r—\

則T22,令z=-6，解z得：y=m,x=m,「.〃=（加，加,—J2）；

n-GF=V2y+mz=0

又平面4C7*的一個(gè)法向量加=（1,0,0）,

I/——\I|加,“Im1

.」cos（加,"）|=曰|_|=—=彳,解得：m=l,即。G=1,

1''\m\-\n\v2w+22

DGmABC,平面NBC〃平面。E尸，DG_L平面。E尸，

VE-DFG=VG-DEF=^S^DEF-DG=-xlxlxl=-.

18.（2022秋?山東青島?高三山東省青島第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直四棱柱4BCD-4用G。的

底面N3CD為菱形，S.ZABC=60°,44=4B=2,E,尸分別為3C,4。的中點(diǎn).

(1)證明：平面EFC、±平面A1AD.

(2)求平面EFC.和平面AXBXCD的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵k

【分析】(1)連接4G，根據(jù)給定條件，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、判定，面面垂直的判定推理作答.

(2)連接NE,以n為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解面面夾角余弦作答.

【詳解】(1)在直四棱柱4BCD-48cl。中，底面48co為菱形，ZABC=60°,連接4G，如圖,

顯然A4G2為正三角形，由尸為4。的中點(diǎn)，得G尸，42,而平面

c^u平面44G2，則a尸又4/n42=4,4442u平面42。，

因此￡尸，平面z/。，又。bu平面EFQ,

所以平面EFG，平面4"。.

（2）連接ZE,/C,由（1）知“8C是正三角形，￡為8c的中點(diǎn)，貝1JNE_L8C,而/D//BC,即有

AE1AD,

又平面48cD,于是/￡,40,"4兩兩垂直，

以工為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為x,修z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由=48=2,得40,0,0)西(百,0,0)，4(0,0,2),(7(百,1,0),。(0,2,0)6(百,1,2),歹(0,1,2),

的1=(0,1,2),而=(—6,1,2),4C=(V3,l,-2),4D=(0,2,-2),

一[n-EC.=y}+2z,=0一

設(shè)平面及G的法向量為〃=區(qū),如zj,貝lj_J八廠(chǎng)1,令4=1,得"=(0,-2,1),

n-EF=-y/3xl+yl+2z1=0

—m-AC=+y9-2z?=0

設(shè)平面4As的法向量為加=(9,%,Z2),則二222,令工2=1，得

m^D=2y2-2z2=0

m=(1,V3,V3),

n-m_0xl-2xV3+lxV3V105

因此cos〈〃,M

I?11^1府+(-2『+12xJ12+(V3)2+(V3)235'

所以平面EFQ和平面AgCD的夾角的余弦值為喈.

[題型05]補(bǔ)全垂直的條件

19.（2022秋?河北滄州?高三任丘市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在五面體/8CDE中，/Z5_L平面

ABC,ADHBE,AD=2BE,AB=BC.

（1）問(wèn)：在線(xiàn)段CD上是否存在點(diǎn)尸，使得PEI平面/CD?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)尸的位置，并證明；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若48=6，4c=2,AD=2,求平面ECD與平面ABC夾角的余弦值.

【答案】（1）存在，即當(dāng)P為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)時(shí)，尸￡，平面4CD；證明見(jiàn)解析

⑵手

2

【分析】（1）先判斷出結(jié)論；證明時(shí)分別取的中點(diǎn)為。，尸，連接OBFEQP,根據(jù)線(xiàn)面垂直

的判定定理即可證明；

(2)延長(zhǎng)交于一點(diǎn)凡連接CF,說(shuō)明CF為平面ECD與平面N8C的交線(xiàn)，進(jìn)而證明//CD

即為平面ECO與平面/2C夾角，解直角三角形，即可求得答案.

【詳解】(1)當(dāng)尸為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)時(shí)，PEL平面NCD；

證明：分別取/。，。。的中點(diǎn)為O,P,連接O3FEQP,

則。尸〃=而AD//BE,AD=2BE,

故。P〃3瓦。尸=BE,即四邊形OBEP為平行四邊形，

則BO//PE;

因?yàn)?D_L平面/8C,。8匚平面48。,故/。_1_。8,則1PE；

由/B=3C,。為/C中點(diǎn)，故08L/C,則PEL/C,

又4(7門(mén)/。=4/仁/。＜=平面/8,

故PE±平面ZCD；

(2)在平面/BED中延長(zhǎng)48,交于一點(diǎn)尸，連接C尸，

則CF為平面ECD與平面ABC的交線(xiàn)，

由于AD=2BE,故8為肝的中點(diǎn)，

而。為/C的中點(diǎn)，故OB〃CF,

由(1)知03〃尸E,PE1平面/CD,故08_L平面/CD,

所以CF_L平面/CO,NC,CDu平面/CD,

故C尸_L/C,C產(chǎn)_LCD,/Cu平面48C,CDu平面EC。，

且4D_L平面/2C,/Cu平面4BC,故4D_L/C,則//CD為銳角，

故ZACD即為平面ECD與平面ABC夾角,

在Rt^/CD中，AC=2,AD=2,所以CD=2萬(wàn)，

貝lJcos//CD=^=^,

CD2

即平面ECD與平面ABC夾角的余弦值為變.

2

20.(江蘇省鹽城市四校2023屆高三上學(xué)期期中)如圖，在直三棱柱/8C-4呂G中，NBAC=90。,

AB=AC^\.

(1)試在平面48c內(nèi)確定一點(diǎn)〃，使得AHL平面48C,并寫(xiě)出證明過(guò)程；

(2)若平面43c與底面4片G所成的銳二面角為60。，求平面48c與平面44CC所成銳二面角的余

弦值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；

⑵半.

4

【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)取棱8c的中點(diǎn)。，連接4。，AD.在等腰直角4/臺(tái)。中，AD1BC,

又BC工=4,2加1u平面刈>4，故5cl平面4D4.

又SCu平面48C,故平面43C，平面這兩個(gè)平面的交線(xiàn)為4。.

在中，作則有/〃，平面43C；

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系4-肛Z,設(shè)44]=。(。＞0)，

則8(1,0,a),C(0,l,a),A8=(l,0,a),麻=(0,1,a).

設(shè)平面AXBC的法向量應(yīng)=(x,y,z),

m-A,B=0,[x+az=0,一,、

則,即:可取而=.

而-4C=0,〔〉+az=0,

可取平面4