矩陣?yán)碚?課件 第4章第4節(jié)數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型4.4數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型矩陣相似的條件引理4.2設(shè)與為兩個(gè)階矩陣,若存在階數(shù)字矩陣和,使得

則與相似.證比較上式兩端的同次冪的系數(shù)矩陣,可得

從而,得故與相似.引理4.3設(shè)與為兩個(gè)階方陣,若它們的特征矩陣與等價(jià),則存在階數(shù)字矩陣和,使得

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理4.13階方陣與相似的充要條件是它們的特征矩陣與等價(jià).證必要性：若與相似,則存在可逆矩陣使得從而

而和均可視為可逆的矩陣,故與等價(jià).充分性：若與等價(jià),則由引理4.2與引理4.3可以證明.定義4.13設(shè)是階數(shù)字矩陣,其特征矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子分別稱為矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子.例4.7求矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子.解的特征矩陣為數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型行列式因子為

由于它有兩個(gè)2階子式

故從而,的不變因子為于是,的初等因子組為例4.8求如下矩陣的不變因子與初等因子(其中,為非零常數(shù))：數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型解因?yàn)?/p>

所以去掉第1行第列后,剩下的階子式為從而,

由此得

故的不變因子為

初等因子為

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理4.14階矩陣與相似的充要條件是它們有相同的行列式因子,或者它們有相同的不變因子.由于特征矩陣滿秩,因此根據(jù)定理4.14立即可得.定理4.15階矩陣與相似的充要條件是它們有相同的初等因子.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型Jordan標(biāo)準(zhǔn)型及其計(jì)算前面曾指出,階數(shù)字矩陣不一定可對角化,但總可以相似于一個(gè)比對角矩陣稍復(fù)雜的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.Jordan標(biāo)準(zhǔn)型在數(shù)值計(jì)算中經(jīng)常采用,它不僅可用于計(jì)算矩陣的方冪,還在矩陣函數(shù)、矩陣級數(shù)、微分方程等方面有著廣泛的應(yīng)用.定義4.14形如

的矩陣稱為階Jordan塊,其中為復(fù)數(shù).例如,

分別為對角元素為的1、2、3、4階Jordan塊.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定義4.15由若干Jordan塊的直和構(gòu)成的分塊對角陣

稱為階Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,其中為階Jordan塊,例如：

是一個(gè)6階Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,它由3個(gè)Jordan塊構(gòu)成.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型注階對角矩陣是Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的特例,它由個(gè)1階Jordan塊構(gòu)成.下面討論任何一個(gè)方陣相似于某個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的條件,以及如何將化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的方法.方法1初等因子法引理4.4階Jordan塊

只有一個(gè)初等因子證明仿照例4.7即可.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型如果用表示主對角線上元素為的階Jordan塊,則Jordan標(biāo)準(zhǔn)型

的初等因子組為

且定理4.16任意一個(gè)階復(fù)矩陣都與一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型相似,若不考慮中Jordan塊的排列順序,則由唯一確定.證設(shè)的特征矩陣的初等因子組為

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型且每個(gè)對應(yīng)一個(gè)主對角線元素為、階數(shù)為的Jordan塊所有的直和構(gòu)成.因此,的初等因子組為因?yàn)榕c有相同的初等因子,所以與也有相同的初等因子,因此與等價(jià).根據(jù)定理4.13可知與相似.若存在與均與相似,則與有相同的初等因子.如果不考慮與中Jordan塊的排列順序,則既然階對角矩陣是Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的特例,那么下面的推論顯然成立.推論4.1任意一個(gè)階復(fù)矩陣可以對角化的充要條件是的初等因子全是一次因式.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型綜上,可得求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的初等因子的方法,具體步驟如下.第一步：求出矩陣的初等因子組,設(shè)為

第二步：對于每個(gè)初等因子寫出其對應(yīng)的階Jordan塊,即

第三步：將各Jordan塊合在一起,寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,即

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型例4.9求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.解第一種方法：例4.7已經(jīng)求得的初等因子組為從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為或者第二種方法：寫出的特征矩陣,并進(jìn)行初等變換得到Smith標(biāo)準(zhǔn)型,即

故的初等因子組為同樣可得到的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型方法2：波爾曼算法以下介紹一種求階矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的較為簡便的方法——波爾曼算法.基本步驟如下：第一步：求出的所有特征值第二步：對每個(gè)不同的特征值和每個(gè)求矩陣的秩,記為

在計(jì)算秩時(shí),若對某個(gè)有

則對所有的都有

第三步：對每個(gè)求關(guān)于的Jordan塊的階數(shù)和Jordan塊的個(gè)數(shù)即

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型這里需要說明的是,若求出則說明有個(gè)關(guān)于的階Jordan塊.第四步：寫出與相似的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,它由的特征值的個(gè)關(guān)于的階Jordan塊的直和構(gòu)成.例4.10用波爾曼算法求以下矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型：解第一步：求的特征值.由可得特征值為數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型第二步：求的秩.具體如下：

這里為3重特征值,沒有其他特征值,且為3階方陣,故只求這3個(gè)秩即可.第三步：求Jordan塊的個(gè)數(shù)和階數(shù),即

說明的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型有1個(gè)關(guān)于的1階Jordan塊和1個(gè)關(guān)于的2階Jordan塊.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型因此,的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型變換矩陣根據(jù)定理4.16,對于任一階矩陣存在階可逆矩陣使得下面來計(jì)算(1)將按的結(jié)構(gòu)寫成列塊的形式：

列

列列因此，從而,數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型(2)求解個(gè)矩陣方程將個(gè)合成變換矩陣關(guān)于方程的求解,設(shè)則

由得由得故

推出

于是數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型兩種計(jì)算的具體方法如下.①按照的順序求解,即先求出特征向量然后由后續(xù)方程求出②先求的特征向量然后直接得到對于方法①,由于為奇異矩陣,每步均存在多解或無解問題,因此各步之間不能完全獨(dú)立,前一步尚需依賴后一步、再后一步……，直至最后一步才能完全確定一些待定系數(shù)；而方法②僅出現(xiàn)一次求解方程,其余為直接賦值,無上述問題,但該方法可能導(dǎo)致低階出現(xiàn)零向量的問題.由于因此應(yīng)滿足但數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型同一特征值可能出現(xiàn)在不同的Jordan塊中.對于這種情況,按各Jordan塊的階數(shù)高低依次進(jìn)行處理,高階先處理,低階后處理,同階同時(shí)處理.a.最高階(沒有屬于同一特征值的Jordan塊同階)可按下述方法求出即先使但的作為；然后由方程依次求出直至且等于下一個(gè)屬于同一特征值的Jordan塊的階數(shù).b.對于上述新Jordan塊,它的不僅要考慮滿足

還應(yīng)與前述線性無關(guān).c.對于其他屬于同一特征值的Jordan塊,在處理時(shí),按照b進(jìn)行即可.d.當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)屬于同一特征值的Jordan塊同階時(shí),還應(yīng)考慮線性無關(guān)問題.數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型例4.11求以下矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和相似變換矩陣使得解先求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.由于

因此的初等因子組為從而

設(shè)由可得即

數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型這樣得到以下3個(gè)方程：

第一個(gè)方程對應(yīng)第一個(gè)Jordan塊,第二、三個(gè)方程對應(yīng)第二個(gè)Jordan塊.下面先求解第一個(gè)方程,其系數(shù)矩陣為

故第一個(gè)方程的基礎(chǔ)解系為由于后面沒有方程涉及因此一般可任取一個(gè)解,取第二個(gè)方程與第一個(gè)方程相同,但其解要代入第三個(gè)方程,故先設(shè)其中,和為待定常數(shù).代入第三個(gè)方程,其增廣矩陣為數(shù)字矩陣的Jordan