矩陣理論 課件 第3章第1節(jié)向量范數(shù)

MATRIXTHEORY矩陣理論山東科技大學(xué)張子葉范數(shù)理論第3章

目錄3.1向量范數(shù)3.2矩陣范數(shù)向量范數(shù)3.1向量范數(shù)向量范數(shù)的概念與性質(zhì)

定義3.1設(shè)是數(shù)域上的線性空間,如果對任意向量都有一個非負實數(shù)與之對應(yīng),記為且滿足下列3個條件.(1)正定性：且當且僅當(2)齊次性：(3)三角不等式：那么稱為上向量的范數(shù),簡稱向量范數(shù).在線性空間中定義了范數(shù),就稱是線性賦范空間.容易證明向量范數(shù)具有以下性質(zhì).

(1)當時,向量范數(shù)(2)

(3)

(4)例3.1設(shè)向量規(guī)定證明是上的一個范數(shù),稱此范數(shù)為向量的1-范數(shù),記為即證

(1)當時,必不全為零,因此；當時,必有因此(2)(3)有

向量范數(shù)所以是中的一個向量范數(shù).例3.2設(shè)向量規(guī)定證明是中的一個范數(shù),稱此范數(shù)為向量的-范數(shù),記為即證

(1)當時,必不全為零,因此；當時,必有因此(2)(3)有

因此是中的一個向量范數(shù).向量范數(shù)例3.3設(shè)向量規(guī)定證明是中的一個范數(shù),稱此范數(shù)為向量的2-范數(shù),記為即證

(1)當時,；當時,(2)

(3)有

由中向量的內(nèi)積可知向量范數(shù)由中向量的內(nèi)積可知

又因為

所以

故是中的一個向量范數(shù).例3.4

設(shè)向量規(guī)定其中是不小于1的實數(shù),則是中的一個范數(shù).證

當時,即為向量的1-范數(shù)；當時,有以下幾種情況.(1)當時,至少有一個分量不為零,即向量范數(shù)而且(2)

(3)其中,則利用Minkowski不等式,即得

從而

故是中的一個范數(shù),稱其為向量的

范數(shù),記為即向量范數(shù)在中,常用的

范數(shù)有以下3類.

(1)當時,1-范數(shù)：

(2)當時,2-范數(shù)：

(3)當時,

-范數(shù)：對此有如下定理.定理3.1若記則證令則由于而因此故當時,

故有即向量范數(shù)例3.5設(shè)是任意階實對稱正定矩陣,列向量則函數(shù)是中的一種范數(shù),稱為加權(quán)范數(shù)或橢圓范數(shù).證

(1)因為正定,所以有

(2)(3)由于正定,因此存在實可逆矩陣使得于是

故

向量范數(shù)例3.6設(shè)向量求解

例3.7設(shè)是中的一種向量范數(shù),且的列向量線性無關(guān).對定義

證明是中的向量范數(shù).證

(1)正定性：因為的列向量線性無關(guān),當時,所以(2)齊次性：

(3)三角不等式：

注此例說明可以用已知范數(shù)來構(gòu)造新的范數(shù).向量范數(shù)向量范數(shù)的連續(xù)性與等價性

定理3.2

維線性空間中的任何范數(shù)都是坐標的連續(xù)函數(shù).證

設(shè)是維線性空間的一個基,對任意都有

于是由三角不等式可得

其中,是一常數(shù).

這表明,當時,有

向量范數(shù)定義3.2設(shè)與是線性空間中任意兩個向量范數(shù),若對中的任意向量存在正數(shù)和使得

則稱向量范數(shù)與是等價的.由定義容易驗證如下引理.引理3.1

向量范數(shù)的等價關(guān)系滿足反身性、對稱性、傳遞性.定理3.3有限維線性空間中的任意兩種向量范數(shù)都是等價的.證由等價的對稱性和傳遞性可知,只需證明任何向量范數(shù)都與一種特定的向量范數(shù)等價即可.設(shè)為維線性空間,為中任一向量范數(shù).取的一組單位向量構(gòu)成基對于中的任意向量設(shè)定義易知它是中的向量范數(shù).向量范數(shù)現(xiàn)取一個有界閉集由于在上連續(xù)