矩陣理論 課件 第2章第2節(jié)線性子空間

線性子空間2.2線性子空間線性子空間的概念定義2.7設(shè)是數(shù)域上的線性空間,是的一個非空子集,如果對中的加法和數(shù)乘也構(gòu)成上的線性空間,則稱為的一個線性子空間,簡稱子空間.對于線性空間

,顯然,僅由的零元構(gòu)成的集合是的子空間,稱為的零子空間;本身也是的子空間.這兩個子空間稱為的平凡子空間或假子空間,的其他子空間稱為的非平凡子空間或真子空間.由于子空間也是線性空間,因此前面引入的有關(guān)基、維數(shù)與坐標等的概念對子空間也成立.在判斷一個非空子集是否為子空間時,可以按照線性空間的定義來判斷,但利用定理2.9來判斷更方便.

線性子空間定理2.9數(shù)域上的線性空間的非空子集是的子空間的充要條件是對于中規(guī)定的加法與數(shù)乘運算封閉,即滿足以下條件.(1)如果則.(2)如果則.證必要性顯然成立.下面證明充分性.因為對于中的加法與數(shù)乘運算封閉,所以只需驗證其滿足定義2.1中的8條運算規(guī)律.由于中的元素均是中的元素,因此定義2.1中的(1)、(2)、(5)~(8)顯然成立.又設(shè)由于故(3)與(4)也成立,從而證明是一個線性空間.顯然,如果是的非平凡子空間,則例2.18是線性空間的子空間.例2.19設(shè),則齊次線性方程組解空間(也稱矩陣的核空間)

是的子空間,且線性子空間例2.20函數(shù)集合是線性空間的子空間.例2.21函數(shù)集合不是線性空間的子空間.

例2.22取線性空間的子集

證明是的子空間,并求其維數(shù).證

因為所以非空.對任意有從而

即;又對任意和有

即故是的子空間.取中的個矩陣

容易證明該矩陣組線性無關(guān),且對任意有

故線性子空間例2.23取線性空間的子集

證明是的子空間,并求的維數(shù).證因為所以非空.對任意有

其中,由于

且

因此故是的子空間.取中的3個多項式

線性子空間容易證明該多項式組線性無關(guān),且對任意都有

故常用以下方法來得到子空間.定理2.10設(shè)是數(shù)域上的線性空間,在中任意取個向量令

則是的子空間,稱之為由生成的子空間,記證由于所以非空.對任意都有

由于

故是的子空間.注生成子空間的重要意義在于有限維線性空間是由它的基生成的子空間,即線性子空間由定義容易證明生成子空間的如下結(jié)論．結(jié)論1設(shè)和是線性空間的兩個向量組.若可由線性表示,則

若與等價,則

結(jié)論2

的維數(shù)等于向量組的秩,且的任一極大無關(guān)組是該生成子空間的基．下面的定理稱為基的擴充定理.定理2.10設(shè)是維線性空間的維子空間,則的任何一個基都可以擴充成的一個基.證設(shè)是的一個基,對維數(shù)差作歸納法證明.當時,結(jié)論顯然成立,此時的基就是的基.線性子空間假設(shè)時結(jié)論成立,考慮的情形.因為且線性無關(guān),但其又不是的基,所以且不能由線性表示.因而線性無關(guān).由于是的維生成子空間,且

由歸納假設(shè)可知,可以擴充成的基.因此故可以擴充成的基.線性子空間子空間的交與和

定義2.8設(shè)和是線性空間的兩個子空間,則的子集

分別稱為與的交與和.定理2.12

設(shè)和是線性空間的兩個子空間,則與都是的子空間.證下面僅對的情況給予證明.首先,因為所以非空.再設(shè)及則其中,

于是

即關(guān)于加法和數(shù)乘運算封閉,因此它是的子空間.

線性子空間注需要注意的是,兩個子空間的并或不一定還是子空間.例如,設(shè)取且線性無關(guān),令則不是子空間.

交與和的運算性質(zhì)如下.(1)交換律(2)結(jié)合律

(3)下列3個條件等價：

例2.24設(shè)和分別是齊次線性方程組和的解空間,則為方程組的解空間.線性子空間例2.25

設(shè)其中求與的基與維數(shù)．解

容易證明

易求得矩陣組且是的一個極大無關(guān)組,因此且是的一組基.下面求的基與維數(shù).對任意矩陣都有且,即存在使得即

從而得方程組線性子空間解得其中,于是因此且是的一個基.注由例2.25可知,且可見,在該例中,子空間和及其交與和的維數(shù)滿足下列關(guān)系：

線性子空間那么,對于一般的子空間,該結(jié)論是否成立呢？事實上,關(guān)于子空間及其交與和的維數(shù),有下列定理(定理2.13).定理2.13(維數(shù)定理)設(shè)和是數(shù)域上的線性空間的子空間,則

證設(shè)顯然若取的一個基把它分別擴充成和的基與則

下面證明線性無關(guān).設(shè)令

則即可由線性表示,設(shè)從而線性子空間由是的一個基可知于是從而有

又因為線性無關(guān),所以于是

線性無關(guān).故

若即分別取和的基與類似地,可證明

是的基,即維數(shù)定理仍成立.線性子空間推論2.1設(shè)和是維線性空間的子空間,若則存在非零向量證由維數(shù)定理和條件假設(shè)可知,又因為是的子空間,所以于是從而有線性子空間子空間的直和

在子空間和中,向量的分解式一般是不唯一的.例如,在例2.25中,有

或

即零元素的分解不唯一.針對這種現(xiàn)象,下面介紹子空間的一種特殊的和.定義2.9

設(shè)和是線性空間的兩個子空間,若中每個向量的分解式

是唯一的,則稱為與的直和,記為線性子空間下面給出判斷子空間直和的一些等價條件.定理2.14設(shè)和是線性空間的兩個子空間,則下列條件等價.(1)是直和.(2)零元素的分解唯一,其中,

(3)(4)的基與的基合起來構(gòu)成的一個基.(5)證

(1)

(2)：顯然成立.(2)

(3)：任取則由(2)可知,因此(3)

(4)：設(shè)和分別是和的基,則

只需證明線性無關(guān)即可.線性子空間設(shè)

則

而因此由(3)可知,由線性無關(guān)可得類似地,可證得因此線性無關(guān).(4)

(5)：設(shè)分別取和的基與則

又由(4)可知,線性無關(guān),因此(5)(1)：由(5)及維數(shù)定理可知,即現(xiàn)設(shè)有兩個分解式線性子空間則

于是故因此