現(xiàn)代通信原理（第4版）課件 第二章 信號(hào)分析基礎(chǔ)（第2講）

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院1

第二章信號(hào)分析基礎(chǔ)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院2本章安排信號(hào)分析基礎(chǔ)確定信號(hào)分析（第1講）隨機(jī)信號(hào)分析（第2講）隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述平穩(wěn)隨機(jī)過程兩個(gè)隨機(jī)過程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系正態(tài)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院32.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)信號(hào)：具有隨機(jī)特性（某個(gè)參數(shù)或幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能完全預(yù)知）的信號(hào)。確定信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)的一種特定形式。隨機(jī)信號(hào)種類：包含信息的信號(hào)、各種干擾（人為干擾、天電干擾）、噪聲（熱噪聲、散彈噪聲）隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析方法：統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)過程理論。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4

簡單地說，隨機(jī)過程是一種取值隨機(jī)變化的時(shí)間函數(shù)，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)來表示。隨機(jī)過程兩層含意：

“隨機(jī)”（指取值不確定，僅有取某個(gè)值的可能性）；

“過程”（為時(shí)間的函數(shù)）。隨機(jī)過程是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的集合，在任意時(shí)刻考察隨機(jī)過程的值是一個(gè)隨機(jī)變量。

隨機(jī)過程是一個(gè)由全部可能的實(shí)現(xiàn)（或樣本函數(shù)）構(gòu)成的集合，每個(gè)實(shí)現(xiàn)都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不確定的。用或表示。2.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5典型隨機(jī)過程---接收機(jī)噪聲設(shè)進(jìn)行某一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E，是它的樣本空間。如果對(duì)每一個(gè)樣本來說，總可以按某一規(guī)則確定一個(gè)時(shí)間函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，那么，對(duì)所有的樣本，就得到一簇時(shí)間函數(shù)，并稱此簇時(shí)間函數(shù)為隨機(jī)過程，其中每個(gè)時(shí)間函數(shù)稱為該隨機(jī)過程的樣本函數(shù)。數(shù)學(xué)上可用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)和樣本空間的概念定義隨機(jī)過程。2.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述2025/4/20信息與通信工程學(xué)院6典型隨機(jī)過程---噪聲2.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述2025/4/20信息與通信工程學(xué)院7歸納起來，隨機(jī)過程具有如下特性：（1）取值的隨機(jī)性；（2）樣本的確定性。舉例：是一個(gè)隨機(jī)變量（在t1時(shí)刻觀察隨機(jī)過程的值）隨機(jī)過程的某一個(gè)樣本函數(shù)為時(shí)間的確定函數(shù)。為隨機(jī)過程。其中，A為常數(shù)，為內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。2.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述2025/4/20信息與通信工程學(xué)院8（1）取值的隨機(jī)性t1=0時(shí)，（2）樣本的確定性是一個(gè)隨機(jī)變量;為時(shí)間的確定函數(shù)。時(shí)，2.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述2025/4/20信息與通信工程學(xué)院9

隨機(jī)過程包含有空間與時(shí)間雙重概念。它一方面是各次實(shí)現(xiàn)的集合（并列的空間概念），另一方面又是時(shí)間的函數(shù)（時(shí)間的概念）。不過實(shí)踐中，不可能得到空間上并列的各樣本函數(shù)，而只能得到時(shí)間很長的一次實(shí)現(xiàn)。因此，可從實(shí)踐中容易獲得的一次實(shí)現(xiàn)來定義隨機(jī)過程，如圖所示。隨機(jī)過程的實(shí)際定義：2.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述2025/4/20信息與通信工程學(xué)院10圖中信號(hào)是隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，它是隨機(jī)取值的時(shí)間函數(shù)，在已經(jīng)過去的時(shí)間上取值已經(jīng)確定，隨機(jī)性消失；在未來的時(shí)間點(diǎn)上，取值隨機(jī)，是一個(gè)隨機(jī)變量。該隨機(jī)變量取值的分布規(guī)律就是隨機(jī)過程在該時(shí)間上的分布規(guī)律。2.2.1隨機(jī)過程的概念及統(tǒng)計(jì)描述2025/4/20信息與通信工程學(xué)院111隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

對(duì)隨機(jī)變量的性質(zhì)：

（1）

為不減函數(shù)

（2）

a.概率分布函數(shù)

b.概率密度函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院12

正態(tài)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量1隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的性質(zhì)：（1）為非負(fù)函數(shù)；（3）時(shí)，

（4）若在處連續(xù)，則。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院13

一維概率分布函數(shù)一維概率密度函數(shù)1隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)對(duì)隨機(jī)過程時(shí)，為隨機(jī)變量。

一維概率密度函數(shù)。

如果存在，則稱為隨機(jī)的2025/4/20信息與通信工程學(xué)院14

一維概率分布函數(shù)及一維概率密度函數(shù)描述了隨機(jī)過程在固定時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性。解：（其中X

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量）故有,隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)為：1隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

舉例：求隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)。

時(shí)，為服從正態(tài)分布隨機(jī)變量，

其均值為零，方差為。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院15

二維概率分布函數(shù)二維概率密度函數(shù)

二維概率分布函數(shù)及二維概率密度函數(shù)描述了隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性。1隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

如果存在，則稱為隨機(jī)過程的二維概率密度函數(shù)。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院16

n維概率分布函數(shù)n維概率密度函數(shù)1隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)存在，則稱為隨機(jī)過程的n維概率密度函數(shù)。如果2025/4/20信息與通信工程學(xué)院17

對(duì)隨機(jī)變量a.

均值（數(shù)學(xué)期望、一階原點(diǎn)矩）b.

方差（二階原點(diǎn)矩）c.協(xié)方差（對(duì)隨機(jī)變量X、Y）2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院18對(duì)隨機(jī)過程

（1）隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望（均值）時(shí)，為隨機(jī)變量。上式中，t取任意值時(shí)，得到隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望。

為X(t)

在t

時(shí)刻的一維概率密度函數(shù)。數(shù)學(xué)期望X(t

)在t

時(shí)刻的隨機(jī)變量的均值,它表示了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的隨機(jī)變量的概率分布中心，由一維概率密度函數(shù)所決定。2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

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（2）隨機(jī)過程的方差時(shí)，為隨機(jī)變量。上式中，t

取任意值時(shí)，得到隨機(jī)過程的方差。為X(t)

在

t時(shí)刻的一維概率密度函數(shù)。

方差表示了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的隨機(jī)變量對(duì)均值的偏離程度。由一維概率密度函數(shù)所決定。2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院20J進(jìn)一步分析，當(dāng)時(shí)，有（平均功率）

隨機(jī)過程的均值和方差的含義2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

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（3）隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)

均值和方差，僅描述了隨機(jī)過程在孤立時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性，它們不能反映出過程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間的內(nèi)在聯(lián)系，如圖所示。

圖中X(t))和Y(t)具有相同的均值和方差，但統(tǒng)計(jì)特性明顯不同。X(t)變化快，Y(t)變化慢，即過程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間的內(nèi)在聯(lián)系不同或者說過程的自相關(guān)函數(shù)不同。

X(t)變化快，表明過程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間波及小，互相依賴弱，即自相關(guān)性弱。而Y(t)變化慢，表明隨機(jī)過程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間波及大，互相依賴強(qiáng)，即自相關(guān)性強(qiáng)。2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院22相關(guān)：指隨機(jī)過程在某時(shí)刻的取值對(duì)下一時(shí)刻的取值的影響。影響越大，相關(guān)性越強(qiáng)，反之，相關(guān)性越弱。隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

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與的關(guān)系隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)常記為以下形式：其中，t為考察的起始時(shí)刻，為考察的時(shí)間間隔。

綜上所述，隨機(jī)過程可以用均值、方差及自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征來描述。在實(shí)際系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)過程，其數(shù)字特征的表達(dá)往往十分簡潔，因此，用數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程是行之有效的方法。2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院24例2.5

設(shè)隨機(jī)過程為，試求隨機(jī)過程的均值、方差及自相關(guān)函數(shù)。式中，是一個(gè)隨機(jī)變量，它在范圍內(nèi)服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為

2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

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解：均值為方差為2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院26自相關(guān)函數(shù)為

2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院272.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

隨機(jī)過程類型：獨(dú)立隨機(jī)過程馬爾可夫（Markov）過程獨(dú)立增量過程平穩(wěn)隨機(jī)過程等其中平穩(wěn)隨機(jī)過程是應(yīng)用廣泛的一類隨機(jī)過程。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院28

定義

平穩(wěn)隨機(jī)過程是指過程的任意維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。即滿足實(shí)際中，判斷隨機(jī)過程是否平穩(wěn)，通常不是去找過程的高維分布，而是通過產(chǎn)生的環(huán)境條件來判斷。如環(huán)境條件不隨時(shí)間的變化而改變，則該過程就認(rèn)為是平穩(wěn)的。一般地說，通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲都是平穩(wěn)隨機(jī)過程。含義平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的變化而改變。2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院29

一維概率密度函數(shù)上式中，令，有

由上式可見，平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)與考察時(shí)刻無關(guān)。即平穩(wěn)隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻服從相同的概率分布。1.平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院30

二維概率密度函數(shù)上式中，令，有

式中，，為兩個(gè)考察時(shí)刻之間的時(shí)間間隔。

由上可見，平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，而僅與時(shí)間間隔有關(guān)，是的函數(shù)。2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院31

平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望（均值）平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差

（常數(shù)）

（常數(shù)）2.平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院32

平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)式中，為考察隨機(jī)過程的時(shí)間間隔。

由上式可知，平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，是的函數(shù)，而與考察時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院33

平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)（一）

（1）是的偶函數(shù)，即（2）自相關(guān)函數(shù)具有遞減特性。且當(dāng)時(shí)，有最大值。證明：由于，令，有對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程來說，故，有2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院34

平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)（二）

（3），即為平穩(wěn)隨機(jī)過程的平均功率。（4），即為平穩(wěn)隨機(jī)過程的直流功率。

由于證明：

，與之間的相關(guān)性消失，即它們互相獨(dú)立。

所以

（5），即為平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差。由方差表示式，有：2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院35

隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)。

隨機(jī)過程滿足任意維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)。

狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程一定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，但反之不一定成立。（正態(tài)隨機(jī)過程例外）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程（窄平穩(wěn)隨機(jī)過程）：廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程（寬平穩(wěn)隨機(jī)過程）：2.2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院36

隨機(jī)過程的時(shí)間平均3.平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性集合平均（統(tǒng)計(jì)平均）：對(duì)隨機(jī)過程所有的樣本函數(shù)求統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均：對(duì)隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)求平均。時(shí)間均值，記為或，定義為時(shí)間方差，記為或，定義為2025/4/20信息與通信工程學(xué)院37

時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，記為或，定義為

對(duì)一般平穩(wěn)隨機(jī)過程，其數(shù)字特征往往可以用過程的一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來代替，即滿足以下關(guān)系：平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性

3.平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性2025/4/20信息與通信工程學(xué)院38

對(duì)隨機(jī)過程中的任意一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）來說，它好像經(jīng)歷了隨機(jī)過程中所有可能的狀態(tài)一樣。

“各態(tài)歷經(jīng)性”將求隨機(jī)過程數(shù)字特征時(shí)的集合平均（統(tǒng)計(jì)平均簡化為一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均了。例如，對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程來說，由于“各態(tài)歷經(jīng)性”（或“遍歷性”）的含義：故樣本函數(shù)的平均功率即為隨機(jī)過程的平均功率。3.平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性2025/4/20信息與通信工程學(xué)院39

滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件：注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定都具有各態(tài)歷經(jīng)性。

一般來說，通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)或噪聲均能滿足該條件，因此以后將它們都視為各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過程。3.平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性2025/4/20信息與通信工程學(xué)院40

維納—欣欽(Wiener-Khintchine)定理

平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即它們之間有以下關(guān)系：

式中，，為隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。注:NorbertWiener(1894-1964),AmericanMathematicianA.I.Khintchine(1894-1959),GermanMathematician4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院41

試求該隨機(jī)過程的功率譜密度及平均功率。例2.6

已知平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為，解：由維納—欣欽定理，隨機(jī)過程功率譜密度為平均功率為4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院42

為定量描述平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)性與頻帶之間的關(guān)系，常使用自相關(guān)時(shí)間和等效帶寬的概念。它們的含義如下：（1）自相關(guān)時(shí)間由于，故因而

的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時(shí)，對(duì)應(yīng)的矩形寬度值的一半。4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院43

（2）等效帶寬由于，故因而

的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時(shí)，對(duì)應(yīng)的矩形寬度值的一半。4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院44

自相關(guān)時(shí)間與等效帶寬之間的關(guān)系

這說明在相同的情況下，自相關(guān)時(shí)間越小，過程占有頻帶越寬；相反，自相關(guān)時(shí)間越大，過程占有頻帶越窄。對(duì)不同的隨機(jī)過程，可通過它們各自的自相關(guān)時(shí)間及等效帶寬來比較它們的相關(guān)性。4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院45

極端情況1：非自相關(guān)過程。即自相關(guān)性最弱，占有帶寬最大（無窮寬），包含有自零至無窮大的所有頻譜分量，這如同白光中包含所有可見光譜一樣，所以，非自相關(guān)過程又稱為白色隨機(jī)過程。自相關(guān)函數(shù)為功率譜密度為自相關(guān)函數(shù)為極端情況2：直流信號(hào)。功率譜密度為4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院46

2.2.3兩個(gè)隨機(jī)過程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系

實(shí)際中，常需要研究兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)過程同時(shí)出現(xiàn)的情況。例如，在信號(hào)接收時(shí)，接收到的信號(hào)往往是有用信號(hào)與噪聲的混合信號(hào)，即

這里，有用信號(hào)x(t)與噪聲n(t)都是隨機(jī)過程。因此有必要研究多個(gè)隨機(jī)過程之間的聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性。這里僅討論兩個(gè)隨機(jī)過程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院47

1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)

則稱為X(t)、Y(t)

的

n+m維聯(lián)合概率密度函數(shù)。X(t)

和Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)X(t)

和Y(t)

的n+m

維聯(lián)合概率密度函數(shù)如果2025/4/20信息與通信工程學(xué)院48

X(t)

和Y(t)

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立X(t)

和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)

若隨機(jī)過程X(t)

和Y(t)任意n+m

維聯(lián)合概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，則稱隨機(jī)過程X(t)

和Y(t)是平穩(wěn)相聯(lián)系的。

若隨機(jī)過程X(t)

和Y(t)的各時(shí)間平均值等于各自的統(tǒng)計(jì)平均值，則稱隨機(jī)過程X(t)

和Y(t)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性。X(t)

和Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院49

隨機(jī)過程X(t)

和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)如果X(t)

和Y(t)都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且是平穩(wěn)相聯(lián)系的，則

如果X(t)

和Y(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則有2互相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院50

X(t)

和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)

由X(t)

和Y(t)

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件，可知如果X(t)

和Y(t)

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則它們一定是互不相關(guān)的。X(t)

和Y(t)互不相關(guān)互不相關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的關(guān)系：兩個(gè)隨機(jī)過程如果統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則它們一定互不相關(guān)。但互不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過程，不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。（正態(tài)隨機(jī)過程例外）2互相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院51

X(t)

和Y(t)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)平穩(wěn)相聯(lián)系的隨機(jī)過程X(t)

和Y(t)

來說互譜密度函數(shù)2互相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院52

x(t)和n(t)均為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且平穩(wěn)相聯(lián)系。例：考慮有用信號(hào)與噪聲之和S(t)自相關(guān)函數(shù)為

于是通常認(rèn)為x(t)與n(t)之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且故有2互相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院53

正態(tài)隨機(jī)過程又稱為高斯(Gaussian)

隨機(jī)過程，是一種常見而又重要的隨機(jī)過程。2.2.4正態(tài)隨機(jī)過程典型的正態(tài)隨機(jī)過程：通信系統(tǒng)中的噪聲。1正態(tài)隨機(jī)過程的定義2正態(tài)隨機(jī)過程的性質(zhì)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院54

1正態(tài)隨機(jī)過程的定義

如果隨機(jī)過程任意維概率密度函數(shù)都服從正態(tài)分布，則稱此隨機(jī)過程為正態(tài)隨機(jī)過程。其n維概率密度函數(shù)為式中，為在時(shí)刻的均值；為在時(shí)刻的方差；為歸一化協(xié)方差矩陣行列式，即2025/4/20信息與通信工程學(xué)院55

其中，為歸一化協(xié)方差系數(shù)；為

為行列式中元素的代數(shù)余子式。1正態(tài)隨機(jī)過程的定義2025/4/20信息與通信工程學(xué)院56

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：，正態(tài)隨機(jī)過程一維概率密度函數(shù)：1正態(tài)隨機(jī)過程的定義2025/4/20信息與通信工程學(xué)院57

正態(tài)隨機(jī)過程如果是廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的。正態(tài)隨機(jī)過程的線性變換仍是正態(tài)隨機(jī)過程。參考下式參考下式中心極限定理為正態(tài)隨機(jī)過程。2正態(tài)隨機(jī)過程的定義2025/4/20信息與通信工程學(xué)院58

如果兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)過程互不相關(guān)，則它們也統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。以X(t)、Y(t)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為例

（互不相關(guān)）歸一化協(xié)方差系數(shù)2正態(tài)隨機(jī)過程的定義2025/4/20信息與通信工程學(xué)院59

由于2正態(tài)隨機(jī)過程的定義2025/4/20信息與通信工程學(xué)院60

2.2.5平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)對(duì)確定信號(hào)

對(duì)隨機(jī)過程

設(shè)輸入隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，輸出隨機(jī)過程是否也平穩(wěn)？數(shù)字特征又怎樣？問題：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院61

1.輸出隨機(jī)過程數(shù)學(xué)期望

由于是平穩(wěn)的，所以，故2.輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)（）2.2.5平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院62

式中，

為輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)。于是有

上式表明，輸出隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)僅為時(shí)間間隔的函數(shù)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。因此，輸出隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程，至少是廣義平穩(wěn)的。2.2.5平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院63

3.輸出隨機(jī)過程的功率譜密度由維納—欣欽定理

令2.2.5平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2025/4/20信息與通信工程學(xué)院64

例2.7

設(shè)功率譜密度為（常數(shù)）的白色隨機(jī)過程（白噪聲）通過帶寬為B的理想低通濾波器，如圖所