陜西省西安市南開高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期三月月考高二數(shù)學(xué)本試卷共150分；考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息．2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上．一?單選題（每小題5分，共40分）1.每天從甲地到乙地的飛機(jī)有5班，高鐵有10趟，動(dòng)車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（）A.22種 B.33種 C.300種 D.3600種【答案】B【解析】【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.【詳解】從甲地到乙地不同的方案數(shù)為.故選：B.2.一個(gè)三層書架，分別放置語(yǔ)文類讀物7本，政治類讀物8本，英語(yǔ)類讀物9本，每本圖書各不相同，從每層各取出1本，則不同的取法共有（）A.504種 B.304種 C.24種 D.12種【答案】A【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有種.故選：A.3.的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B.5 C.15 D.35【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求解.【詳解】由二項(xiàng)式定理：，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)為；故選：C.4.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠峰計(jì)劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問(wèn)”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)術(shù)大師．已知浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地，某班級(jí)有5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，則每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法數(shù)共有（）A.120種 B.180種 C.240種 D.300種【答案】C【解析】【分析】按照分組分配的方法，列式求解.【詳解】將5位同學(xué)分為2，1，1，1的分組，再分配到4所學(xué)校，共有種方法.故選：C5.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為：X1234Pm則（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解即可.【詳解】依題意，，即事件的對(duì)立事件是的事件，所以.故選：C6.某地病毒暴發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的4名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）?5名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則在有主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出有一名主任醫(yī)生被選派以及兩名主任醫(yī)師都被選派概率，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求得答案.【詳解】記“選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，有主任醫(yī)生被選派”為事件A，則，記“選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，兩名主任醫(yī)師都被選派”為事件B,則，故選：D7.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.20 B.-20 C.30 D.-30【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式結(jié)合多項(xiàng)式乘法可求項(xiàng)的系數(shù).【詳解】，又的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，故的二項(xiàng)展開式中、的系數(shù)為0，的系數(shù)為，故展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C.8.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于第9行的第8個(gè)數(shù)B.第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等C.記“楊輝三角”第行的第個(gè)數(shù)為，則D.第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】第6行的第7個(gè)數(shù)為1，第7行的第7個(gè)數(shù)為7，第8行的第7個(gè)數(shù)為28，它們之和等于36，第9行的第8個(gè)數(shù)是，A正確；第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，故第行中第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，又，B正確；“楊輝三角”第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，所以，，C正確；第34行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，所以第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為，D不正確.故選：D.二?多選題（每小題6分，共18分）9.（多選）下列隨機(jī)變量中屬于離散型隨機(jī)變量的是（）A.高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)XB.測(cè)量一個(gè)年級(jí)所有學(xué)生的體重，在范圍內(nèi)的體重記為XC.測(cè)量全校所有同學(xué)的身高，在范圍內(nèi)的人數(shù)記為XD.某電子元件的壽命X【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)事件的定義判斷即可.【詳解】半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，是離散型隨機(jī)變量，選項(xiàng)A正確；體重?zé)o法一一列舉，選項(xiàng)B不正確；人數(shù)可以列舉，選項(xiàng)C正確；某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來(lái)，選項(xiàng)D不正確．故選:AC．10.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：123450.10.20.3若離散型隨機(jī)變量，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由可得，再由概率和為1得，從而可求出的值，再利用期望和方差公式求，即可，從而可得答案【詳解】由得，又由得，從而得，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC．11.泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，其概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.當(dāng)二項(xiàng)分布的很大而很小時(shí)，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，且取二項(xiàng)分布的期望.假設(shè)每個(gè)大腸桿菌基因組含有10000個(gè)核苷酸對(duì)，采用紫外線照射大腸桿菌時(shí)，每個(gè)核苷酸對(duì)產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0005，設(shè)大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)為表示經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生個(gè)嘧啶二體的概率.已知近似服從泊松分布，當(dāng)產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)不小于1時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.C.大腸桿菌經(jīng)該種紫外線照射后，存活的概率為D.經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生10個(gè)嘧啶二體的概率最大【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：利用二項(xiàng)分布的期望公式即可求得；對(duì)于B：利用對(duì)立事件的概率即可求得結(jié)果；對(duì)于C：將代入公式即可；對(duì)于D：利用作差法即可求出概率最大值時(shí)的k值【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以此時(shí)泊松分布滿足二項(xiàng)分布的近似的條件，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故當(dāng)或5時(shí)取最大值，D錯(cuò)誤.故選:AC.三?填空題（每小題5分，共15分）12.若，則正整數(shù)的值是___________.【答案】5或7【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得或，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋曰?，解?或5，故答案為：7或5.13.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】－60【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈拇螖?shù)為，所以令，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：14.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則使取得最大值時(shí)，______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得的表達(dá)式，利用列不等式組的方法來(lái)求得使取得最大值時(shí)的值.【詳解】依題意，依題意，，，，所以、不是的最大項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，整理得，即，整理得，，所以當(dāng)為3或4時(shí)，取得最大值.故答案為：3或4四?解答題（共77分）15.計(jì)算（1）；（2）.【答案】（1）（2）148【解析】【分析】（1）借助排列數(shù)的定義計(jì)算即可得；（2）借助組合數(shù)的定義計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】.16.已知二項(xiàng)式的展開式中共有10項(xiàng)．（1）求展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（2）求展開式中含的項(xiàng)．【答案】（1）126（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)項(xiàng)數(shù)可求得，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間關(guān)系列出等式，解出即可；（2）由（1）中的，求出通項(xiàng)，使的冪次為4，求出含的項(xiàng)即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中共有10項(xiàng)，所以，所以第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，記含的項(xiàng)為第項(xiàng)，所以，取，解得，所以，故展開式中含的項(xiàng)為.17.一個(gè)闖關(guān)游戲共三關(guān)，游戲規(guī)則：闖過(guò)第一關(guān)才能進(jìn)入第二關(guān)，闖過(guò)第二關(guān)才能進(jìn)入第三關(guān)，闖過(guò)三關(guān)或闖關(guān)失敗則游戲結(jié)束且各關(guān)闖關(guān)是否成功是相互獨(dú)立的．小明玩這個(gè)游戲，他能過(guò)一、二、三關(guān)的概率分別是，和.（1）求小明闖到第三關(guān)的概率.（2）記游戲結(jié)束時(shí)小明闖關(guān)成功次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）依題意當(dāng)小明第一、二關(guān)闖關(guān)成功時(shí)能夠闖到第三關(guān)，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】依題意小明闖到第三關(guān)即第一、二關(guān)均闖關(guān)成功，故概率；【小問(wèn)2詳解】依題意的可能取值為、、、，則，，，，所以的分布列為：所以.18.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品兩次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”，其概率P(A)=0.96.(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p.(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中無(wú)放回抽取2件產(chǎn)品，ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù).求ξ的分布列.【答案】（1）0.2.（2）見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）分析題意可知事件A可分為兩種情況：“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”，然后列式求解即可（2）無(wú)放回抽取可得此問(wèn)題為超幾何分布，先寫出ξ的可能取值為0,1,2,然后對(duì)應(yīng)寫出概率列出分布列即可試題解析：解：(1)記A0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，A1表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”，則A0，A1互斥，且A=A0∪A1，故P(A)=P(A0∪A1)=P(A0)+P(A1)=(1-p)2+p(1-p)=1-p2,即0.96=1-p2.解得p1=0.2p2=-0.2(舍去).故從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率為0.2.(2)ξ的可能取值為0,1,2,該批產(chǎn)品共100件，由(1)知其二等品有100×0.2=20(件)，故，，.所以ξ的分布列為ξ012P點(diǎn)睛：熟練超幾何分布，根據(jù)題意寫出對(duì)應(yīng)概率為解本題關(guān)鍵19.甲、乙兩人為了提升籃球的競(jìng)技水平，進(jìn)行投籃比賽.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人每次進(jìn)球與否互不影響.制定比賽規(guī)則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結(jié)束后，當(dāng)一方的進(jìn)球數(shù)比另一方的進(jìn)球數(shù)至少多2個(gè)時(shí)，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.其他情況，雙方均不得分.（1）若，（i）假設(shè)甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進(jìn)球的概率；（ii）求在一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率.（2）若，問(wèn)至少進(jìn)行多少輪比賽后，乙累計(jì)得分的期望值達(dá)到3分？【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)條件，利用相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式，即可求出結(jié)果；（ii）記事件：甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)或個(gè)，事件：甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)，分別求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件求出一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率，設(shè)輪比賽后，乙累計(jì)得分為，則，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】（i）因?yàn)榧缀鸵颐看芜M(jìn)球的概率分別是和，所以甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人進(jìn)球的概率為.（ii）由題知甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)或個(gè)