山東省棗莊市市中區(qū)輔仁高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年輔仁高級(jí)中學(xué)3月月考高二數(shù)學(xué)試卷（導(dǎo)函數(shù)、排列組合、二項(xiàng)式定理）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）第Ⅰ卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）．1.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：A．2.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，代入得切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式，寫(xiě)出切線(xiàn)方程.【詳解】依題意，，因?yàn)椋?，所以切線(xiàn)方程為，即，故選：D.3.曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】，令，則，故，當(dāng)時(shí)，，即的坐標(biāo)為.故選：B.4.已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式系數(shù)再利用等差中項(xiàng)建立方程，求解即得.【詳解】已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，依題意成等差數(shù)列，故，得到：，化簡(jiǎn)得，即：，解得：或（舍去）故選：C5.某醫(yī)院安排1名醫(yī)生和7名護(hù)士某周一至周五去“定點(diǎn)幫扶”醫(yī)院開(kāi)展幫扶工作，每天安排2人，其中醫(yī)生需要去三天，每名護(hù)士需要去一天，則不同的安排方法種數(shù)為（）A6300 B.12600 C.25200 D.50400【答案】B【解析】【分析】先將7名護(hù)士分組，每組人數(shù)分別為，再安排醫(yī)生并進(jìn)行全排列即可.【詳解】題意將7名護(hù)士分成5個(gè)小組，每組人數(shù)分別為，共有種安排方法，則醫(yī)生被安排到只有1名護(hù)士的組別，故不同的安排方法共有（種），故選：B．6.若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)，，三種情況分類(lèi)討論，即可得到的取值范圍.【詳解】設(shè)，則對(duì)有，對(duì)有.所以在上遞增，在上遞減，這表明，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).①當(dāng)時(shí)，對(duì)有，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件；②當(dāng)時(shí)，取充分小的正數(shù)，使得，，；再取充分大的正數(shù)，使得，，，則，且，，，.從而根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知有個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；③當(dāng)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故在的范圍內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).而當(dāng)時(shí)，有，且若，則必有，即.所以在的范圍內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).二者結(jié)合，可知至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件綜合①②③，可知的取值范圍是.故選：C.7.已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知在上有解，整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上有解，可得，所以．令，則，顯然，可知函數(shù)單調(diào)遞增，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C．8.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)單調(diào)性即可得【詳解】令，又則，因此函數(shù)是增函數(shù)，于是得，即，所以，即，故選：B二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)．9.關(guān)于的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（）A.展開(kāi)式共有7項(xiàng) B.每一項(xiàng)中的指數(shù)都是偶數(shù)C.各項(xiàng)系數(shù)的和為64 D.常數(shù)項(xiàng)為540【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的特征即可求解A，根據(jù)通項(xiàng)的特征即可求解BD，利用賦值即可求解C.【詳解】對(duì)于A,根據(jù)，即可得展開(kāi)式共有7項(xiàng)，故A正確，對(duì)于B，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由于為偶數(shù)，因此每一項(xiàng)中的指數(shù)都是偶數(shù)，故B正確，對(duì)于C,令，則系數(shù)和為，故C正確，對(duì)于D，令，故，故常數(shù)項(xiàng)為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC10.（多選）已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為B.展開(kāi)式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)和為C.展開(kāi)式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)和為D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理及性質(zhì)，結(jié)合賦值法逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對(duì)于B，令，得，①令，得，②①②，可得，，故B正確；對(duì)于C，①②，得，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，得，令，得.，故D正確.故選：ABD.11.過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)和曲線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)的可能取值是（）A.0 B.3 C.6 D.4【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)方程為，根據(jù)切點(diǎn)在曲線(xiàn)及切線(xiàn)上得，問(wèn)題化為有三個(gè)不同的零點(diǎn)，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值，進(jìn)而求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又，則切線(xiàn)斜率，所以切線(xiàn)方程為，又，則，所以中有3個(gè)不同解，進(jìn)而有有三個(gè)不同零點(diǎn)，而，令或，顯然，否則至多有兩個(gè)不同零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，即在和上單調(diào)遞增；時(shí)，即在上單調(diào)遞減；又極大值，故此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，或時(shí)，即在和上單調(diào)遞增；時(shí)，即在上單調(diào)遞減；又極大值，極小值，此時(shí)滿(mǎn)足要求，所以，綜上，A不可能，B、C、D都有可能.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：?jiǎn)栴}化為有三個(gè)不同的零點(diǎn)為關(guān)鍵.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.現(xiàn)有某類(lèi)病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則不同的選取種數(shù)為_(kāi)_____，，都取到奇數(shù)的概率為_(kāi)_____．【答案】①.63②.【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得到有可能的取值個(gè)數(shù)，并得到，都取到奇數(shù)的情況數(shù)，得到概率.【詳解】因?yàn)檎麛?shù)，滿(mǎn)足，，所以有可能的取值有（種），其中，都取到奇數(shù)，可從中選取，可從中選取，故情況有（種），因此所求概率為．故答案為：63，13.已知曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)的切線(xiàn)中斜率最小的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為_(kāi)________.【答案】##【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合基本不等式可求得的切線(xiàn)斜率的斜率的最小值，利用等號(hào)成立的條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得出切線(xiàn)方程，即可求出該切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線(xiàn)的方程為，即.該切線(xiàn)在軸上的截距為，在軸上的截距為，所以該切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.故答案為：.14.已知函數(shù)，其中存在三個(gè)零點(diǎn)，且，給出下列4個(gè)結(jié)論：①；②；③的取值范圍為；④若成等差數(shù)列，則；則所有正確的結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________.【答案】①②④【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)圖象，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由得，即，即，令，則為直線(xiàn)a和函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；的定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)；又當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故在時(shí)取得極大值，且，，作的圖象如下所示：對(duì)①②：數(shù)形結(jié)合可知，，故，故①正確，②正確；對(duì)③：若使得與有個(gè)交點(diǎn)，則，解得，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：若成等差數(shù)列，則，即，即，即，又，，則，即，，也即，又，故，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵一是能夠?qū)⒑瘮?shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題；二是能夠熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性和最值的問(wèn)題；屬綜合困難題.四、解答題（本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.有6本不同的書(shū)，6本不同的書(shū)分成三組，每組都是2本，有多少種不同的分法？【答案】【解析】【分析】這是平均分組問(wèn)題，列舉，，是一種分法，所以求出組合數(shù)除以即可.【詳解】先分三組，有種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書(shū)為，若第一組取了，，第二組取了，第三組取了，則該種方法記為，但種分法中還有，，共種情況，而這種情況只能作為一種分法，故分配方式有（種）．16.偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過(guò)點(diǎn)P(0，1)，且在x＝1處的切線(xiàn)方程為y＝x－2，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝x4－x2＋1【解析】【分析】將點(diǎn)P(0，1)代入求出e＝1，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可得f(－x)＝f(x)，求出b＝0，d＝0，再利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得4a＋2c＝1且a＋c＋1＝－1，解方程即可求解.【詳解】∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0，1)，∴e＝1．又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e．∴b＝0，d＝0．∴f(x)＝ax4＋cx2＋1．∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線(xiàn)方程為y＝x－2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1．∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1．∴a＝，c＝－．∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x4－x2＋1．17.已知函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得其極值，得到答案；（2）求得，令，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得令，解得，，所以，與的關(guān)系如下：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，即.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得在上恒成立，令，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)的斜率為1的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）和.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)求解切點(diǎn)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線(xiàn)方程，（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)最值求證.【小問(wèn)1詳解】由，得.令，即，得或.又，，所以曲線(xiàn)的斜率為1的切線(xiàn)方程是與，即和.小問(wèn)2詳解】令，.由，得.令，得或.當(dāng)時(shí)，，的變化情況如下表：04＋－＋遞增0遞減遞增0所以的最小值為，最大值為0，故，即.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知，分類(lèi)討論和，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得出答案.（2）求導(dǎo)，結(jié)合分類(lèi)討論，求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義，即可求解.【小問(wèn)1詳解】,令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，①若，即，則，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②若，即，因?yàn)楫?dāng)趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨于負(fù)無(wú)窮，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，,又在上單調(diào)遞減，，所以由零點(diǎn)存在性定理知，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意.綜上：.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，，①當(dāng)時(shí)，，存在，使得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，存在，使得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?/p>