海南省三亞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)試題（含解析）

三亞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測一?單選題（本題共8小題，每一題5分，共40分）1.高二某班4名同學(xué)分別從3處不同風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可得解.【詳解】由題意知每位同學(xué)都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學(xué)選擇，故共有種選擇方法.故選：D.2.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得解.【詳解】由依題意，知，則.故選：C.3.已知函數(shù)滿足，則的值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可得出答案.詳解】由已知可得，，則，所以，.故選：A.4.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，代入得切線斜率，利用點(diǎn)斜式，寫出切線方程.【詳解】依題意，，因?yàn)椋裕郧芯€方程為，即，故選：D.5.一個口袋里裝有大小不同的2個紅球和4個白球，從中取3個球，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有（）A.35種 B.32種 C.16種 D.14種【答案】C【解析】【分析】求出從裝有大小不同的2個紅球和4個白球的口袋里取3個球的取法，求出其中全部為白球的取法即可求解.【詳解】從裝有大小不同的2個紅球和4個白球的口袋里取3個球有種取法，其中全部為白球有種取法，則至少含有1個紅球和1個白球的取法有種.故選：C.6.某市的5個區(qū)縣，，，，地理位置如圖所示，給這五個區(qū)域染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】D【解析】【分析】先對A，B，C三個區(qū)域染色，再討論B，E是否同色【詳解】當(dāng)B，E同色時，共有種不同的染色方案，當(dāng)B，E不同色時，共有種不同的染色方案，所以共有72種不同的染色方案.故選：D7.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時，令，求導(dǎo)后結(jié)合已知可得在上單調(diào)遞減，再由可得到時，，當(dāng)時，，再利用為奇函數(shù)，可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，于是?dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.又為上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，所以的解集為.故選：A.8.的零點(diǎn)的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先把零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)，再構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)性及極值最后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時，的圖像如圖，得到有3個解.故選：D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為1，極小值為.則（）A.B.C.有3個零點(diǎn)D.直線與的圖像僅有1個公共點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極小值點(diǎn)以及極小值求參數(shù)，判斷AB，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的圖象，即可判斷CD.【詳解】由題意得則，解得，故A正確.由，解得，故B錯誤.，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，畫出草圖，所以有3個零點(diǎn)，故C正確；直線與的圖像僅有1個公共點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.可表示為B.若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有23種C.10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，一共握手45次D.學(xué)校有5個“市三好學(xué)生”名額，現(xiàn)分給3個年級，每個年級至少一個名額，則有6種分法【答案】BCD【解析】【分析】利用排列數(shù)公式判斷A；利用排除法列式計算判斷B；利用組合計數(shù)判斷C；分類計算判斷D.詳解】對于A，，A錯誤；對于B，四個字母全排列共有種，而正確的只有1種，可能出現(xiàn)的錯誤共有種，B正確；對于C，10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，共有次，C正確；對于D，5個名額，按分有種，按分有種，共有種，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)（）A.若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.若在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.當(dāng)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若的單調(diào)遞減區(qū)間為，則.【答案】AD【解析】【分析】對于選項A，由在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，分離出參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)的范圍；對于選項B：因?yàn)橛稍谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，可得在上有解，分離出參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)的范圍；對于選項C，當(dāng)時，得出，根據(jù)在區(qū)間上不單調(diào)，列出關(guān)于的不等式組，求出實(shí)數(shù)的范圍；對于選項D，由的單調(diào)遞減區(qū)間為，可知是的一個根，即可求出.【詳解】由函數(shù)可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)數(shù).對于選項A：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分離出參數(shù)，可得在上恒成立.又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，所以，故選項A正確.對于選項B：因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，分離出參數(shù)，可得在上有解.又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，所以，故選項B錯誤.對于選項C：當(dāng)時，.令，解得.因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則，解得：，故選項C錯誤.對于選項D：因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，所以是的一個根，即，解得：，故選項D正確.故選：AD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.求的值為__________.【答案】18【解析】【分析】利用排列數(shù)公式計算.【詳解】故答案為：1813.用“實(shí)”?“驗(yàn)”?“中”?“學(xué)”?“頂”?“呱”?“呱”這七個字可以組成__________種不同的七字短語.（不考慮短語的含義）【答案】【解析】【分析】在這七個文字的排列中，由于有相同元素，需要優(yōu)先用組合來計數(shù)，然后用分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】由于這七個字中有兩個重復(fù)文字，故第一步優(yōu)先擺放，共有種；第二步擺放剩下五個文字，共有種；根據(jù)分步計數(shù)乘法原理得它們可以組成種不同的七字短語.故答案為：.14.過原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切線的方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，由，則，則，則，即，即，解得，所以，所以原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了過點(diǎn)出的切線方程的求解，其中解答中熟記到導(dǎo)數(shù)點(diǎn)幾何意義，以及過點(diǎn)處的切線方程的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.四?解答題（本題共5小題，共77分）15.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間與極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，極大值為，極小值為（2）最大值為1，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，再利用函數(shù)的極值的定義，即可求解；（2）根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，極值，區(qū)間端點(diǎn)值即可確定在區(qū)間上的最大值與最小值．【小問1詳解】，令，得或，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以的極大值為，極小值為．【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上的最大值為1，最小值為．16.求下列問題的排列數(shù)：（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.【答案】（1）720(種)（2）1440(種)（3）1440(種)【解析】【分析】（1）利用捆綁法進(jìn)行排列計算可得結(jié)果；（2）利用插空法先排男生，再將女生插空排列計算可得結(jié)果；（3）根據(jù)特殊元素排法將兩端排上男生再進(jìn)行全排列即可得結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個元素，再和其余4名男生一起排列，共有(種)不同的安排方法.【小問2詳解】根據(jù)不相鄰問題插空法得，先將4名男生進(jìn)行全排列，再將3名女生插在5個空位上，共有(種)不同的排列方法.【小問3詳解】先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個位置上，共有(種)不同的排列方法.17.由0，1，2，3，4這五個數(shù)字．（1）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？（3）組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個？【答案】（1）96（2）60（3）65【解析】【分析】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個數(shù)字即可計算得解；（2）選偶數(shù)先排個位數(shù)，分個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；（3）按最高位上的數(shù)字比2大和2兩類分類計算作答.【小問1詳解】先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個數(shù)位，有種排法，再排四個非0數(shù)字有種，由分步乘法計數(shù)原理得，所以能組成96個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；【小問2詳解】當(dāng)個位數(shù)字為0時，則可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，

當(dāng)個位數(shù)字為2或4時，則可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，

即可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；【小問3詳解】計算比21034大的五位數(shù)的個數(shù)分兩類：萬位比2大的五位數(shù)個數(shù)是，萬位是2的五位數(shù)中，千位比1大的有個，千位是1，百位比0大的有個，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個，由分類加法計數(shù)原理得，所以組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有65個.18.設(shè)函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由給定的恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)按分類討論函數(shù)在上單調(diào)性，并求出最小值即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，令，依題意，恒成立，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【小問2詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，無解；當(dāng)時，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，符合題意，所以存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是2，.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（