第七章　§7.6　空間向量的概念與運(yùn)算2025高考

§7.6空間向量的概念與運(yùn)算第七章匯報(bào)人：20XX1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.課標(biāo)要求內(nèi)容索引01第一部分

落實(shí)主干知識(shí)02第二部分

探究核心題型03課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)單擊此處添加章節(jié)頁(yè)副標(biāo)題01名稱定義空間向量在空間中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量長(zhǎng)度

而方向

的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相

或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相等相反平行重合同一個(gè)平面1.空間向量的有關(guān)概念2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使

.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在

的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝

.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝

.{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝

.|a||b|cos〈a，b〉(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b_______________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

向量表示坐標(biāo)表示模|a|____________夾角余弦值cos〈a，b〉＝______________________4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝01.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.(

)(2)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反.(

)(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(

)√×√×√3.(選擇性必修第一冊(cè)P30例3改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝

，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是A.相交

B.平行C.垂直

D.不能確定√以C1B1，C1D1，C1C所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.所以MN∥平面BB1C1C.4.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝______.10∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.返回探究核心題型單擊此處添加章節(jié)頁(yè)副標(biāo)題02例1

(1)(2023·淮安模擬)設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，已知三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一條直線上，那么x＋y等于A.2

B.3

C.4

D.5√題型一空間向量的線性運(yùn)算因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)λ，√用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝

－2a，則x等于A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)√由b＝

－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).例2

(1)下列命題正確的是A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C.若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D.若a，b，c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc√題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用若b＝0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄渴强梢砸苿?dòng)的量，所以向量a，b，c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯(cuò)誤；假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)為0，則空間向量a，b，c共面，故假設(shè)不成立，故C正確；假設(shè)b＝0，若a，c共線，則存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a，c不共線，則不存在實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D錯(cuò)誤.(2)(多選)下列說(shuō)法中正確的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此時(shí)向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時(shí)，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正確；可得P，A，B，C四點(diǎn)共面，所以C正確；所以A，B，C三點(diǎn)共線，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件，所以D正確.應(yīng)用共線(面)向量定理證明點(diǎn)共線(面)的方法比較√由A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.√由空間向量的共面定理可知，點(diǎn)E，A，C，D1四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面ACD1上，由等體積法得

＝

，例3如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長(zhǎng)；題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，所以AA1⊥BD.(3)求證：AA1⊥BD.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.√∵P－ABC為正三棱錐，O為△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，0則夾角的余弦值為0.例4如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD

－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn).(1)求證：B1E⊥AD1；題型四向量法證明平行、垂直(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.存在滿足要求的點(diǎn)P.假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，設(shè)平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z).所以存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)定理.跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，BC＝2AB，AC＝

，PB⊥AC.(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；在△ABC中，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB?平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過(guò)B，Q兩點(diǎn)的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求

的值；若不存在，說(shuō)明理由.假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中點(diǎn)為H，連接PH，則PH⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，連接EF，因?yàn)锳C∥平面BEQF，AC?平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，則n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，返回課時(shí)精練單擊此處添加章節(jié)頁(yè)副標(biāo)題03一、單項(xiàng)選擇題1.已知直線l的一個(gè)方向向量為m＝(x,2，－5)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(3，－1,2)，若l∥α，則x等于A.－6

B.6

C.－4

D.4√若l∥α，則m⊥n，從而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，3.已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是12345678910111213141516√12345678910111213141516同理可排除C，D；4.如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若AB＝

，AC＝1，BD＝2，則CD的長(zhǎng)為12345678910111213141516√123456789101112131415165.(2022·全國(guó)乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D12345678910111213141516√在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；12345678910111213141516如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，12345678910111213141516設(shè)平面B1EF的法向量為m＝(x1，y1，z1)，同理可得平面A1BD的一個(gè)法向量為n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一個(gè)法向量為n2＝(1,1,0)，平面A1C1D的一個(gè)法向量為n3＝(1,1，－1)，則m·n1＝2－2＋1＝1≠0，1234567891011121415161312345678910111213141516所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閙與n2不平行，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閙與n3不平行，所以平面B1EF與平面A1C1D不平行，故D錯(cuò)誤.6.已知梯形CEPD如圖(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如圖(2)所示的幾何體.已知當(dāng)點(diǎn)F滿足

(0<λ<1)時(shí)，平面DEF⊥平面PCE，則λ的值為√12345678910111213141516由題意，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，則(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，12345678910111213141516設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，設(shè)平面PCE的法向量為m＝(a，b，c)，1234567891011121314151612345678910111213141516取a＝1，得m＝(1,1,2)，∵平面DEF⊥平面PCE，二、多項(xiàng)選擇題7.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有A.若向量a，b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a∥bB.若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則有a∥c12345678910111213141516D.若{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的一個(gè)基底，則{a，b，c}也是空間的

一個(gè)基底√√√對(duì)于A，若向量a，b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a，b為共線向量，即a∥b，故A正確；對(duì)于B，若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則a與c不一定共線，故B錯(cuò)誤；1234567891011121314151612345678910111213141516可得A，B，C，D四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的一個(gè)基底，則對(duì)空間中任意一個(gè)向量d，存在唯一實(shí)數(shù)組(x，y，z),使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，則{a，b，c}也是空間的一個(gè)基底，故D正確.8.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，G為正方形A1B1C1D1的中心，E，F(xiàn)分別為AB，BB1的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是A.C1D∥平面EFG12345678910111213141516D.A1C⊥平面EFG√√建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镋是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，G是正方形A1B1C1D1的中心，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，設(shè)平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516123456789101112131415令x＝1，∴n＝(1,2，－1)，∴C1D∥平面EFG，故A選項(xiàng)正確；1612345678910111213141516三、填空題9.已知向量a＝(1,1,0)，則與a同向共線的單位向量e＝_____________.12345678910111213141516因?yàn)橄蛄縜＝(1,1,0)，12345678910111213141516(－5，－2，6)12345678910111213141516設(shè)C(x，y，z)，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－5，－2,6).123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接AE，PE，PO，則O在AE上且AO＝2OE，1234567891011121314151612345678910111213141516由于S，M，N，O四點(diǎn)共面，四、解答題13.如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn).求證：(1)PB∥平面EFH；∵E，H分別是線段PA，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.123456789101112131415162345678910111213141516(2)PD⊥平面AHF.104建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1,0,0).∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF?平面AHF，∴PD⊥平面AHF.1234567891011121314151612345678910111213141516(1)若O為AC的中點(diǎn)，求證：A1O⊥AO；因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，12345678910111213141516所以A1O⊥AO.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若FP∥平面D1AE，求線段CP長(zhǎng)度的最小值.12345678910111213141516連接A1D，A1B，連接BD，由正方形的性質(zhì)可得B，O，D三點(diǎn)共線，O為BD的中點(diǎn)，所以A1O⊥BD，由(1)可知A1O⊥AO，AO，BD?平面ABCD，AO∩BD＝O，所以A1O⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)平面D1AE的法向量為n＝(x，y，z)，令x＝3，則