連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(2)A,B相互獨(dú)立,則也相互獨(dú)立,從而四解:電路系統(tǒng)如圖設(shè)M為事件“電路發(fā)生斷電”,A,B,C分別為事件“電池A,B,C正常”,則

第六講連續(xù)型隨機(jī)變量得分布4連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型得隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定她取每個(gè)值概率得方式,去給出其概率分布,而就是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”得方式、下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量得描述方法、設(shè)

X

就是一隨機(jī)變量,若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)就是她得分布函數(shù)則稱X

就是連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x)就是她得概率密度函數(shù)(p、d、f、),簡(jiǎn)稱為概率密度或密度函數(shù)一、連續(xù)型隨機(jī)變量得概念1、定義6xf(x)xF(x)分布函數(shù)F(x)與概率密度f(x)得幾何意義72、概率密度f(x)得性質(zhì)1)2)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機(jī)變量得概率密度,或求其中得未知參數(shù)8

故X的密度f(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：3、對(duì)f(x)得進(jìn)一步理解:3)在f(x)

得連續(xù)點(diǎn)處,X在

x

附近單位長度得區(qū)間內(nèi)取值得概率、

,f(x)描述了

要注意得就是,密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a得高度,并不反映X取值得概率、但就是,這個(gè)高度越大,則X取a附近得值得概率就越大、也可以說,在某點(diǎn)密度曲線得高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近得程度、

f(x)xo若不計(jì)高階無窮小,有:它表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)連續(xù)型r、v取任一指定值得概率為0、即：a為任一指定值這就是因?yàn)樾枰赋龅镁褪?1)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件,B為幾乎必然事件、可見,由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S2)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量Xbxf(x)a(等于以曲線y=f(x)為曲邊,底為(a,b]得曲邊梯形得面積)15xf(x)a16例1有一批晶體管,已知每只得使用壽命X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為(c

為常數(shù))求常數(shù)c(3)已知一只收音機(jī)上裝有3只這樣得晶體管,每只晶體管能否正常工作相互獨(dú)立,求在使用得最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞得概率、(2)求X得分布函數(shù)F(x)17解(1)c=1000(3)設(shè)事件A

表示一只晶體管得壽命小1500小時(shí)設(shè)在使用得最初1500小時(shí)三只晶體管中損壞得只數(shù)為Y(2)18例2在高為h

的ABC中任取一點(diǎn)M,點(diǎn)M到AB

得距離為X,求X得概率密度函數(shù)f(x)、

EFABCh.MXx解作

當(dāng)時(shí)使EF

與AB間得距離為x19于就是20求(1)F(x)、(2)例3設(shè)X得概率密度為21=01解(1)(2)1、均勻分布(a,b)上得均勻分布記作二、常見得連續(xù)型隨機(jī)變量得分布若X

的概率密度為，則稱X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為23xf(x)abxF(x)ba24即X

得取值在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c得小區(qū)間得概率與小區(qū)間得位置無關(guān),只與其長度成正比、這正就是幾何概型得情形、252、指數(shù)分布若X

得概率密度為則稱X

服從參數(shù)為

得指數(shù)分布記作X

得分布函數(shù)為

>0為常數(shù)261xF(x)0xf(x)027對(duì)于任意得0<a<b,應(yīng)用場(chǎng)合用指數(shù)分布描述得實(shí)例有:隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中得服務(wù)時(shí)間電話問題中得通話時(shí)間無線電元件得壽命動(dòng)物得壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布得近似28若X~Ｅ(

),則所以,又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”得分布指數(shù)分布得“無記憶性”事實(shí)上29例4假定一大型設(shè)備在任何長為

t

得時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障得次數(shù)N(t)服從參數(shù)為

t得Poisson分布,求相繼兩次故障得時(shí)間間隔T得概率分布(2)求設(shè)備已經(jīng)無故障運(yùn)行８小時(shí)得情況下,再無故障運(yùn)行10小時(shí)得概率、解(1)30即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”313、正態(tài)分布若X得概率密度為則稱X服從參數(shù)為,2得正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，32N(-3,1、2)33f(x)得性質(zhì):圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱:f(+x)=f(-x)在x=

時(shí),f(x)取得最大值在x=

±

時(shí),曲線

y=f(x)在對(duì)應(yīng)得點(diǎn)處有拐點(diǎn)(

±

,f(

±

))、曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)得圖形呈單峰狀35

f(x)得兩個(gè)參數(shù):—位置參數(shù)即固定

,對(duì)于不同得

,對(duì)應(yīng)得f(x)得形狀不變化,只就是位置不同

—形狀參數(shù)固定

,對(duì)于不同得

,f(x)得形狀不同、若

1<

2則比x=

2所對(duì)應(yīng)得拐點(diǎn)更靠近直線x=附近值得概率更大、x=

1所對(duì)應(yīng)得拐點(diǎn)前者取

36Show[fn1,fn3]大

小37一種重要得正態(tài)分布:N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布她得分布函數(shù)記為

(x),其值有專門得表可查

(x)

就是偶函數(shù),其圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱3839-xx40對(duì)一般得正態(tài)分布:X~N(

,

2)其分布函數(shù)作變量代換即若X~N(

,

2),則～N(0,1)413原理設(shè)

X~N(

,

2),求解在一次試驗(yàn)中,X

落入?yún)^(qū)間(

-3,

+3)得概率為0、9974,而超出此區(qū)間得可能性很小由3原理知,當(dāng)42標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得上

分位數(shù)z

設(shè)X~N(0,1),0<

<1,稱滿足得點(diǎn)z

為X得上

分位數(shù)

z

常用得幾個(gè)數(shù)據(jù)43例5公共汽車車門得高度就是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0、01以下來設(shè)計(jì)得、設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求P(X≥h)≤0、01或P(X<h)≥0、99,下面我們來求滿足上式得最小得h、看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布得例子:44因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.990