高等數(shù)學(xué)概率方差省公開課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第三章第四節(jié)方差、協(xié)方差1/19

上一講我們介紹了隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望，它表達(dá)了隨機(jī)變量取值平均水平，是隨機(jī)變量一個(gè)主要數(shù)字特征.

不過在一些場(chǎng)所，僅僅知道平均值是不夠.2/19

比如，某零件真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上點(diǎn)表示如圖：

若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測(cè)量結(jié)果

甲儀器測(cè)量結(jié)果很好測(cè)量結(jié)果均值都是

a

因?yàn)橐覂x器測(cè)量結(jié)果集中在均值附近3/19又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)位置如圖：

你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果

乙炮射擊結(jié)果

乙很好因?yàn)橐遗趶椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心

中心

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為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹

方差5/19一、方差定義

采取平方是為了確保一切差值都起正面作用，防止正負(fù)相消。注：有書上也把方差記作或設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為方差，稱為標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差、方差根）。6/19若取值比較分散，則方差較大.

可見，方差大小刻劃了隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望離散程度。若取值比較集中在附近，則方差較??；

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為離散型，

由定義知，方差是隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望.為連續(xù)型，

8/19二、計(jì)算方差一個(gè)簡(jiǎn)化公式

二項(xiàng)式展開

證：利用期望性質(zhì)

這個(gè)公式很主要，它不但證實(shí)了普通情況下，而且經(jīng)慣用它來簡(jiǎn)化方差計(jì)算。9/19例1、設(shè)r.v.服從參數(shù)為p0-1分布，求。解：由題知分布列為而前面我們已經(jīng)計(jì)算過從而10/19例2、設(shè)r.v.服從[a,b]上均勻分布，求。解：已知概率密度為而前面我們已經(jīng)計(jì)算過從而11/19解：已知概率密度為而前面我們已經(jīng)計(jì)算過從而例3、設(shè)r.v.服從參數(shù)為指數(shù)分布，求。12/19解:

例4、設(shè)隨機(jī)變量概率密度為以下，求a，b，c。13/19解聯(lián)立方程組得14/19三、方差性質(zhì)

與不一定獨(dú)立時(shí)，請(qǐng)思索。1、D(C)=0；設(shè)，為任意隨機(jī)變量，C為任意常數(shù)。

2、；3、；4、若，相互獨(dú)立，則；可推廣至有限個(gè)r.v.情形：設(shè)相互獨(dú)立，則

15/19例5、設(shè)隨機(jī)變量期望和方差為和,且,求:

解:

期望和方差。稱為是r.v.標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。16/19例6、設(shè)隨機(jī)變量期望存在，且，c為一常數(shù)，則

（）例7、設(shè)為一隨機(jī)變量，已知，則（）17/19小結(jié)：這一講,我們介紹了隨機(jī)變量方差.它是刻劃隨機(jī)變量取值在其