湖南省郴州市2025年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試第一次監(jiān)測數(shù)學(xué)試題 含解析

郴州市年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試第一次監(jiān)測數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項：．本試卷分試題卷和答題卡試題卷共6頁，有三道大題，共道題目，滿分分考試時間分鐘.的指定位置.考生在答題卡上按答題卡中注意事項的要求答題.考試結(jié)束后，將答題卡小號在上，大號在下，裝袋密封上交.一、單選題（本大題共題，每小題3分，共計分每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧希?，則.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)（其中的虛部為（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)虛部的概念即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?第1頁/共13頁故選：B.3.命題“”是命題“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分必要條件的定義分別驗(yàn)證：命題成立時命題是否一定成立，命題成立時命題是否一定成立.【詳解】當(dāng)時，不一定成立，故命題不是命題的充分條件；當(dāng)時，一定成立，故命題是命題的必要條件.所以命題是命題必要不充分條件.故選：B.4.，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】特稱命題否定是全稱命題，同時需要否定結(jié)論，即可得出答案.【詳解】特稱命題，的否定是全稱命題，需要將特稱改為全稱，并將結(jié)論否定，即，.故選：B5.已知為第四象限角，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值.第2頁/共13頁【詳解】因?yàn)闉榈谒南笙藿牵?，所以，?所以.故選：D6.函數(shù)的最小正周期是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的周期概念求解．【詳解】由已知最小正周期是，故選：C．7.17高的評價.根據(jù)對數(shù)的相關(guān)知識，下列四個命題中真命題的個數(shù)為（）個.①②，則③④若，，A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】注意判斷各式的準(zhǔn)確性即可.【詳解】因?yàn)槌闪?，故①正確；由，故②正確；根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：成立，故③正確；根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：，時，，故④錯誤.故選：C8.如圖，在正方形中，異面直線與所成的角是（）第3頁/共13頁A.120°B.90°C.60°D.30°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解.【詳解】連接,因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.在正方體中，即是等邊三角形，所以.故選：C9.若向量，，，則（）A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：D10.函數(shù)的圖象是（）第4頁/共13頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故BD錯誤；又，故C錯誤；故A正確.故選：A函數(shù)最小值為（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以所求的最小值為8.故選：D12.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求得答案.第5頁/共13頁【詳解】.故選：A.13.已知直線平面，則（）A.與內(nèi)所有直線都平行B.內(nèi)不存在直線與垂直C.過的平面與必平行D.內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直【答案】D【解析】【分析】由直線與平面平行定義可得答案.【詳解】對于A，直線平面，則平面內(nèi)的直線與直線l可能平行，或異面，故A錯誤；對于B，由A分析，在與直線l異面的直線中，存在與直線l垂直，故B錯誤；對于C，過l的平面可能與相交，故C錯誤；對于D，由B分析，可在平面內(nèi)做無數(shù)條與直線l垂直的直線，故D正確.故選：D14.，概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的概率公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)事件表示甲成功破譯密碼，事件表示乙成功破譯密碼，事件表示恰有一人能成功破譯密碼，則.故選：A15.為了得到函數(shù)的圖象，則只需將的圖象（）第6頁/共13頁A.向右平移個長度單位B.向左平移個長度單位C.向右平移個長度單位D.向左平移個長度單位【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平移變換左加右減原則即可求解.【詳解】因?yàn)椋灾恍鑼⒌膱D像向左平移個長度單位.故選：B.16.某校高一年級個班參加廣播體操比賽的比賽分?jǐn)?shù)由小到大排列為：、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋虼?，這組數(shù)據(jù)的第分位數(shù)為.故選：D.17.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判定定理得答案.【詳解】因?yàn)榫鶠樵龊瘮?shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是.第7頁/共13頁故選：D.18.在中，若，，，則角的大小為（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小.【詳解】由正弦定理得，即，又因?yàn)?，則，所以或.故選：D二、填空題（本題共4小題，每小題4分，共計分）19.若冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式是______.【答案】【解析】【分析】待定系數(shù)法，設(shè)冪函數(shù)的解析式，代點(diǎn)可得.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)，得，所以，所以函數(shù)的解析式.故答案為：20.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】利用規(guī)則根號下的數(shù)為非負(fù)數(shù)即可.【詳解】得，故定義域?yàn)?第8頁/共13頁故答案為：21.已知，，則的值為________．【答案】#06【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式直接計算可得結(jié)果.【詳解】解：∵，∴．故答案為：.22.已知向量，，若，則________.【答案】2或4【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及模長公式，可得答案.【詳解】由題意，得，則，解得或4.故答案為：或.三、解答題（本題共3小題，每小題分，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）23.已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】1）由偶函數(shù)的性質(zhì)建立方程，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式，可得其圖象的開口方向與對稱軸，結(jié)合單調(diào)性，可得答案；（3）由題意可得二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)，從可得根的判別式與零的大小關(guān)系，可得答案.第9頁/共13頁【小問1詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，解得.【小問2詳解】由二次函數(shù)，則其圖象開口向上，且對稱軸為直線，由函數(shù)在上單調(diào)，則或，解得或.【小問3詳解】由題意可得，解得.24.的底面是邊長為2底面，為側(cè)棱的中點(diǎn).（1）求四棱錐的體積；（2）證明：平面；（3）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】1）利用棱錐的體積公式即可；（2）作輔助線，且，得出，再利用線面平行的判定定理即可；（3）先利用線面垂直的判定定理證明平面，再利用線面垂直的定義可得.【小問1詳解】因底面，則為四棱錐的高，第10頁/共13頁因，正方形的邊長為，則四棱錐的體積為；【小問2詳解】連接，且，連接，因四邊形為正方形，則為線段的中點(diǎn)，又為側(cè)棱的中點(diǎn)，則為的中位線，則，因平面，平面，則平面；【小問3詳解】因四邊形為正方形，則，又平面，平面，則，因，平面，平面，則平面，又平面，則.25.近年來，我國超重和肥胖率呈快速上升趨勢，兒童和青少年的肥胖問題尤為突出.超重和肥胖與多種慢性疾病密切相關(guān)，嚴(yán)重威脅公共健康.青少年時期是培養(yǎng)健康飲食和運(yùn)動習(xí)慣的關(guān)鍵階段，早期干預(yù)能夠有效預(yù)防肥胖問題.今年“兩會”2025年起實(shí)施“體重管理年”.BMI=kg/身高BMI理想范圍參考值為：男生（15-1817.5-23.5；女生（15-1817.5-23.0；某城市對1000名高中生的體重指數(shù)（BMI）進(jìn)行了調(diào)查，BMI的分組區(qū)間為、、、、、、，調(diào)查結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示.第11頁/共13頁（1）求頻率分布直方圖中的值及高中生的平均數(shù)及中位數(shù)；（2）在BMI為、、的三組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，則BMI在的學(xué)生中應(yīng)抽取多少名？（3）在（2）條件下，在BMI為和的兩組學(xué)生中任取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生來自同一組學(xué)生的概率.【答案】（1）；平均數(shù)；中位數(shù)（2）（3）【解析】11即可得到得到結(jié)果；（2）由分層抽樣的公式代入計算，即可得到結(jié)果；（3）由古典概型的概率公式代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖面積和為1可得，解得，高中