新課改瘦專用2025版高考數(shù)學一輪復習第八章解析幾何第五節(jié)拋物線講義含解析

PAGEPAGE8第五節(jié)拋物線突破點一拋物線的定義及其應用eq\a\vs4\al([基本學問])拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．eq\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡肯定是拋物線．()(2)AB為拋物線y2＝4x的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，y1y2＝－4，弦長|AB|＝x1＋x2＋2.()答案：(1)×(2)√二、填空題1．已知動點P到定點(2,0)的距離和它到直線l：x＝－2的距離相等，則點P的軌跡方程為________．答案：y2＝8x2．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝________.答案：13．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________．答案：eq\f(5,4)eq\a\vs4\al([全析考法])考法一拋物線的定義及應用[例1](1)(2024·贛州模擬)若點A的坐標為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標為()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)(2)(2024·襄陽測試)已知拋物線y＝eq\f(1,2)x2的焦點為F，準線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于點N，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，則|MF|＝()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)[解析](1)過M點作準線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當A，M，N三點共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2)．(2)如圖，過N作準線的垂線NH，垂足為H.依據拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq\r(2)|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq\r(2).故選C.[答案](1)D(2)C[方法技巧]利用拋物線的定義解決問題時，應敏捷地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應當想到焦點，看到焦點應當想到準線”，這是解決拋物線距離有關問題的有效途徑．考法二焦點弦問題焦點弦的常用結論以拋物線y2＝2px(p＞0)為例，設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準線上的射影為A1，B1，則有以下結論：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值；(4)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；(5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(6)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90°；(7)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線．[例2](2024·長沙四校聯(lián)考)過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，與拋物線的準線交于點M，且eq\o(FM,\s\up7(→))＝3eq\o(FP,\s\up7(→))，則|eq\o(FP,\s\up7(→))|＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)[解析]如圖，不妨設Q點在第一象限，過P作PN垂直于拋物線的準線，垂足為N，由拋物線定義可知|PF|＝|PN|，又因為eq\o(FM,\s\up7(→))＝3eq\o(FP,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))＝2eq\o(FP,\s\up7(→))，所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|，在Rt△PNM中，cos∠MPN＝eq\f(|PN|,|PM|)＝eq\f(1,2)，由拋物線焦點弦的性質可知|eq\o(PF,\s\up7(→))|＝eq\f(p,1＋cos∠MPN)＝eq\f(2,1＋\f(1,2))＝eq\f(4,3).故選C.[答案]C[方法技巧]焦點弦問題的求解策略解決焦點弦問題的關鍵是“設而不求”方法的應用，解題時，設出直線與拋物線兩交點的坐標，依據拋物線的方程正確表示出焦點弦長，再利用已知條件求解．eq\a\vs4\al([集訓沖關])1.eq\a\vs4\al([考法一])若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則△OFP的面積為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：選B設P(xP，yP)，由題意可得拋物線的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1，又點P到焦點F的距離為2，∴由拋物線的定義知點P到準線的距離為2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝eq\f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×2＝1.故選B.2.eq\a\vs4\al([考法二])已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點弦，|AB|＝4，則AB中點C的橫坐標是()A.2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)解析：選C設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴點C的橫坐標是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).故選C.3.eq\a\vs4\al([考法一])已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________．解析：依題意，由點M向拋物線x2＝4y的準線l：y＝－1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1，5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.答案：5突破點二拋物線的標準方程及性質eq\a\vs4\al([基本學問])圖形標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝1焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)eq\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準線方程是x＝－eq\f(a,4).()(2)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．()(3)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線肯定相切．()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空題1．已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是________．答案：y2＝－22x2．拋物線y＝ax2的準線方程是y＝1，則a的值為________．答案：－eq\f(1,4)3．已知F是拋物線x2＝8y的焦點，若拋物線上的點A到x軸的距離為5，則|AF|＝________.答案：7eq\a\vs4\al([全析考法])考法一求拋物線的標準方程[例1](1)(2024·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4eq\r(3)，則拋物線的方程為()A．y2＝6x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝eq\f(15x,2)(2)(2024·江西協(xié)作體聯(lián)考)設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x[解析](1)設M(x，y)，因為|OF|＝eq\f(p,2)，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋eq\f(p,2)＝2p，所以x＝eq\f(3,2)p，所以y＝±eq\r(3)p，又△MFO的面積為4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝4eq\r(3)，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x.(2)由已知得拋物線的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設點A(0,2)，拋物線上點M(x0，y0)，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得eq\o(AF,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故選C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]求拋物線方程的3個留意點(1)當坐標系已建立時，應依據條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種．(2)要留意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系．(3)要留意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題．考法二拋物線的幾何性質[例2](1)(2024·蘭州雙基過關考試)拋物線y2＝2px(p＞0)上橫坐標為6的點到此拋物線焦點的距離為10，則該拋物線的焦點到準線的距離為()A．4 B．8C．16 D．32(2)(2024·贛州二模)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線上一點，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，O為坐標原點，則p的值為()A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)設拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)(p＞0)，如圖，則依據拋物線的性質有|PF|＝eq\f(p,2)＋6＝10，解得p＝8，所以拋物線的焦點到準線的距離為8.(2)不妨設A(x0，y0)在第一象限，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)＝2x0，,S△OAF＝\f(1,2)·\f(p,2)·y0＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(p,2)，,y0＝\f(4,p)，))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，\f(4,p)))，又∵點A在拋物線y2＝2px上，∴eq\f(16,p2)＝2p×eq\f(p,2)，即p4＝16，又∵p＞0，∴p＝2，故選B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]用拋物線幾何性質的技巧涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思索，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題．eq\a\vs4\al([集訓沖關])1.eq\a\vs4\al([考法一])頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(－4，－2)的拋物線的標準方程是()A．y2＝－x