2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)期中必刷?？碱}之點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

第20頁(yè)（共20頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)期中必刷?？碱}之點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?嘉興期末）已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長(zhǎng)可能是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024秋?宿城區(qū)期末）已知⊙O的半徑為3，當(dāng)OP＝5時(shí)，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系為（）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓外 C．點(diǎn)在圓上 D．不能確定3．（2024秋?招遠(yuǎn)市期末）在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)0是△ABC的外心，則∠BOC的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．100° D．80°或100°4．（2024秋?江漢區(qū)期末）在平面中，已知⊙O的半徑為8cm，OP＝4cm，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)P在⊙O上或⊙O外 C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D．點(diǎn)P在⊙O上5．（2024秋?萊州市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，且AB⊥OC，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，連接CM．若⊙O的半徑為2，則CM長(zhǎng)的最大值是（）A．25+1 B．5+1 C．4 二．填空題（共5小題）6．（2024秋?通州區(qū)期末）已知⊙O的直徑為8cm，如果在⊙O所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P且OP＝5cm，那么點(diǎn)P在⊙O.（填內(nèi)、外或上）7．（2024秋?萊州市期末）已知點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為5，最短距離為1，則⊙O的半徑為．8．（2024秋?集賢縣期末）已知O為△ABC的外心，∠BOC＝70°，則∠A＝．9．（2024秋?陽(yáng)谷縣期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，則⊙O的直徑為．10．（2024秋?陽(yáng)谷縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AB⊥OC，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，連接CM，若⊙O的半徑為4，則CM長(zhǎng)的最大值是．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?沈丘縣期末）如圖，∠BAC的平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若∠BAC＝90°，BD＝4．求△ABC外接圓的半徑．12．（2024秋?杭州期末）如圖是一條弧形道路和兩塊三角形的空地組成的區(qū)塊．A，E，B三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若DE=3且E點(diǎn)在弧CD所在的圓上，在劣弧CD上找一點(diǎn)P，使得四邊形13．（2024秋?崇川區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑DE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接AD，BD．（1）求證：∠ABD＝∠DAC；（2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半徑為5，求AC的長(zhǎng)．14．（2024秋?迪慶州期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，連結(jié)AE，CE，∠CAE＝∠D．（1）求證：AC＝CE．（2）若∠CAB＝25°，求∠ACE的度數(shù)．15．（2024秋?天津期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，垂足為D．（1）求證：∠ABO＝∠CAE；（2）已知⊙O的半徑為5，DE＝2，求BC長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)期中必刷常考題之點(diǎn)與圓的位置關(guān)系參考答案與試題解析題號(hào)12345答案DBBCB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?嘉興期末）已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長(zhǎng)可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系．【答案】D【分析】根據(jù)題意可以求得OP的取值范圍，從而可以解答本題．【解答】解：∵O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，∴OP＞5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出OP的取值范圍．2．（2024秋?宿城區(qū)期末）已知⊙O的半徑為3，當(dāng)OP＝5時(shí)，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系為（）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓外 C．點(diǎn)在圓上 D．不能確定【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】常規(guī)題型；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意得⊙O的半徑為4，則點(diǎn)P到圓心O的距離大于圓的半徑，則根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷點(diǎn)P在⊙O外．【解答】解：∵OP＝5、r＝3，∴OP＞r，則點(diǎn)P在⊙O外，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．3．（2024秋?招遠(yuǎn)市期末）在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)0是△ABC的外心，則∠BOC的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．100° D．80°或100°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．【專(zhuān)題】運(yùn)算能力．【答案】B【分析】已知點(diǎn)O是△ABC的外心，那么∠A、∠BOC即為同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，根據(jù)圓周角定理即可求解．【解答】解：∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴在△ABC的外接圓⊙O中，∠BAC、∠BOC同對(duì)著弧BC；由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心、圓周角定理的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?江漢區(qū)期末）在平面中，已知⊙O的半徑為8cm，OP＝4cm，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)P在⊙O上或⊙O外 C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D．點(diǎn)P在⊙O上【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】C【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為8cm，OP＝4cm，8＞4，∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?萊州市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，且AB⊥OC，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，連接CM．若⊙O的半徑為2，則CM長(zhǎng)的最大值是（）A．25+1 B．5+1 C．4 【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；三角形三邊關(guān)系；勾股定理；三角形中位線(xiàn)定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)M的移動(dòng)軌跡，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最大距離進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上移動(dòng)時(shí)，AP的中點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)A為直徑的⊙O′，因此CO′交⊙O′于點(diǎn)M，此時(shí)CM的值最大，由題意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA＝1＝O′在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1，∴O′C=2∴CM＝CO′+O′M=5+故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，理解“圓外一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的最大距離”的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?通州區(qū)期末）已知⊙O的直徑為8cm，如果在⊙O所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P且OP＝5cm，那么點(diǎn)P在⊙O外.（填內(nèi)、外或上）【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】外．【分析】點(diǎn)與圓心的距離d．則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【解答】解：∵⊙O的直徑為8cm，⊙O的半徑為4cm，因?yàn)?＞4，即點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，則該點(diǎn)在圓的外部．故答案為：外．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系：設(shè)圓的半徑是r，點(diǎn)到圓心的距離是d，若d＜r，則點(diǎn)在圓內(nèi)；若d＞r，則點(diǎn)在圓外；若d＝r，則點(diǎn)在圓上．7．（2024秋?萊州市期末）已知點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為5，最短距離為1，則⊙O的半徑為2或3．【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】解答此題應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論，點(diǎn)P可能位于圓的內(nèi)部，也可能位于圓的外部．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，則直徑＝5+1＝6，因而半徑是3；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，直徑＝5﹣1＝4，因而半徑是2．所以⊙O的半徑為2或3．故答案為：2或3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論．8．（2024秋?集賢縣期末）已知O為△ABC的外心，∠BOC＝70°，則∠A＝35°或145°．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專(zhuān)題】三角形；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】分圓心O與點(diǎn)A在BC的同側(cè)和圓心O與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)兩種情況解答，利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半即可求得結(jié)論；延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半即可求得∠D，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求得結(jié)論．【解答】解：如圖，當(dāng)圓心O與點(diǎn)A在BC的同側(cè)時(shí)，∴∠BAC如圖，當(dāng)圓心O與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，∵∠D∴∠D＝35°．∵四邊形ACDB為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠BAC+∠D＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°．綜上，∠BAC＝35°或145°．故答案為：35°或145°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?陽(yáng)谷縣期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，則⊙O的直徑為62．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】連接OB，OC，利用“同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半”得出∠BOC＝90°，再用勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，連接OB，OC，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝90°，∴OC2+OB2＝BC2＝62，∵OB＝OC，∴OB=3∴⊙O的直徑為62，故答案為：62．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?陽(yáng)谷縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AB⊥OC，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，連接CM，若⊙O的半徑為4，則CM長(zhǎng)的最大值是25+2【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；三角形三邊關(guān)系；三角形中位線(xiàn)定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)M的移動(dòng)軌跡，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最大距離進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上移動(dòng)時(shí)，AP的中點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)A為直徑的⊙O'，因此CO′交⊙O'于點(diǎn)M，此時(shí)CM的值最大，由題意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA=2=在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2，O'C=∴CM＝CO′+O′M＝25+2故答案為：25+2【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?沈丘縣期末）如圖，∠BAC的平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若∠BAC＝90°，BD＝4．求△ABC外接圓的半徑．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．【答案】22【分析】先根據(jù)圓周角定理可知∠BDC＝90°，BC為⊙O的直徑，再結(jié)合題意得到BD＝CD，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，從而得出答案．【解答】解：連接CD．由題意可得：BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，由題意可得：BD=∴BD＝CD，∵BD＝4，∴BC=∴△ABC外接圓的半徑為12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．12．（2024秋?杭州期末）如圖是一條弧形道路和兩塊三角形的空地組成的區(qū)塊．A，E，B三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若DE=3且E點(diǎn)在弧CD所在的圓上，在劣弧CD上找一點(diǎn)P，使得四邊形【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．【專(zhuān)題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2+23【分析】（1）由已知條件得出∠ADE＝∠BEC，即可證明△ADE≌△BEC；（2）連接CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，EF交CD于點(diǎn)P'，即為所求點(diǎn)P，用垂徑定理、勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：∵∠A＝∠DEC＝60°，∴在△ADE中，∠ADE+∠AED＝120°，∠BEC+∠AED＝120°，∴∠ADE＝∠BEC，∵∠A＝∠B＝60°，BE＝AD，∴△ADE≌△BEC（ASA）；（2）解：由（1）知，△ADE≌△BEC，∴DE＝EC，∵C四邊形CPDE＝CP+PD+DE+EC＝CP+PD+2DE，連接CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，EF交CD于點(diǎn)P'，即為所求點(diǎn)P，∵E點(diǎn)在CD所在的圓上，∴EP'是直徑，CD是弦，∴∠EDP'＝∠ECP'＝90°，∵DE＝EC，∠DEC＝60°，EF⊥CD，∴∠DEP'＝∠CEP＝30°，∴DP'＝CP'，在Rt△EDP'中，設(shè)DP'＝x，則EP′＝2x，由勾股定理得x2解得，x＝1，∴DP'＝CP'＝1，最大值為CP+綜上所述，周長(zhǎng)最大值為2+23【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、垂徑定理的推論及30°角三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)性質(zhì)定理、正確作出輔助線(xiàn)是正確解答此題的關(guān)鍵13．（2024秋?崇川區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑DE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接AD，BD．（1）求證：∠ABD＝∠DAC；（2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半徑為5，求AC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）8．【分析】（1）連接DC，根據(jù)垂徑定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DA＝DC，得到∠DAC＝∠DCA，根據(jù)圓周角定理得到∠DBA＝∠DCA，證明∠ABD＝∠DAC；（2）連接OA，設(shè)AF＝x，根據(jù)正切的定義得到DF＝2x，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可．【解答】（1）證明：如圖，連接DC，∵直徑DE⊥AC，∴AF＝CF，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，由圓周角定理得：∠DBA＝∠DCA，∴∠ABD＝∠DAC；（2）解：如圖，連接OA，∵tan∠ABD＝2，∠ABD＝∠DAC，∴tan∠DAC＝2，即DFAF=設(shè)AF＝x，則DF＝2x，∴OF＝2x﹣5，在Rt△AOF中，OA2＝OF2+AF2，即52＝（2x﹣5）2+x2，解得：x1＝0（舍去），x2＝4，∴AF＝4，∵直徑DE⊥AC，∴AC＝2AF＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心、解直角三角形，掌握?qǐng)A周角定理、正切的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?迪慶州期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，連結(jié)AE，CE，∠CAE＝∠D．（1）求證：AC＝CE．（2）若∠CAB＝25°，求∠ACE的度數(shù)．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）首先根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角為直角”可得∠ACB＝90°，進(jìn)而可得∠BCD＝90°，即有∠CBD+∠D＝90°，結(jié)合BD⊥AB，可得∠CBD+∠CBA＝90°，進(jìn)一步可得∠D＝∠CBA，然后根據(jù)∠CBA＝∠E，∠CAE＝∠D可知∠CAE＝∠E，即可證明結(jié)論；（2）首先確定∠CBA＝65°，再根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”可知∠E＝∠ABC＝65°，結(jié)合AC＝CE易得∠CAE＝65°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠CBD+∠D＝90°，∵BD⊥AB，∴∠CBD+∠CBA＝90°，∴∠D＝∠CBA，∵∠CBA＝∠E，∠CAE＝∠D，∴∠CAE＝∠E，∴AC＝CE；（2）解：∵∠CAB＝25°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝90°﹣25°＝65°，∵AC=∴∠E＝∠ABC＝65°，∵AC＝CE，∴∠CAE＝65°，∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答本題的關(guān)鍵．15．（2024秋?天津期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，垂足為D．（1）求證：∠ABO＝∠CAE；（2）已知⊙O的半徑為5，DE＝2，求BC長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）由垂徑定理得出BD＝CD，AB＝AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAE＝∠CAE，由OB＝OA得∠BAE＝∠ABO，即可得出結(jié)論；（2）求出OD＝OE﹣DE＝3，利用勾股定理求出BD＝4，由垂徑定理即可得BC＝2BD＝8．【解答】（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，∴BD＝CD，∴AB＝AC，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE，∵OB＝OA，∴∠BAE＝∠ABO，∴∠ABO＝∠CAE；（2）解：∵⊙O的半徑為5，DE＝2，∴OD＝OE﹣DE＝3，∵AE⊥BC，∴BD=OB∵AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，∴BC＝2BD＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、垂徑定理，三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和大于第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可判定這三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線(xiàn)．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形．4．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線(xiàn)段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線(xiàn)段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線(xiàn)的問(wèn)題，其頂角平分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)是常見(jiàn)的輔助線(xiàn)，雖然“三線(xiàn)合一”，但添加輔助線(xiàn)時(shí)，有時(shí)作哪條線(xiàn)都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴(lài)全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．三角形中位線(xiàn)定理（1）三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語(yǔ)言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE=127．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂