中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)提升：一元二次方程及其應(yīng)用（4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)15種題型）原卷版

第二章方程與不等式

第07講一元二次方程及其應(yīng)用

（思維導(dǎo)圖+4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)15種題型（含6種解題技巧））

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航命題點(diǎn)二根的判別式

＞題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

??題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母

03考點(diǎn)突破?考法探究

的值/取值范圍

考點(diǎn)-----元二次方程及解法??題型03利用根的判別式求代數(shù)式的值

考點(diǎn)二根的判別式??題型04以開(kāi)放性試題的形式考查根的判別式

考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系命題點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

考點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值

＞題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式

04題型精研?考向洞悉

的值

命題點(diǎn)——元二次方程及其解法

命題點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

??題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式

?題型01變化率問(wèn)題

的值

?題型02幾何圖形問(wèn)題

??題型02選用合適的方法解一元二次方程

?題型03以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查一元二次方

??題型03以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考有解一元二

程的實(shí)際應(yīng)用

次方程

＞題型04以數(shù)學(xué)文化為背景考查一元二次方程的

■?題型04配方法的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用

??題型05以開(kāi)放性試題的形式考直解一元二次方

程

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求

理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)

★★

一元二次方程及其解法

字系數(shù)的一元二次方程

會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根

★

一元二次方程根的判別式

及兩個(gè)實(shí)根是否相等

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系★★了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

變化率問(wèn)題★★

利潤(rùn)問(wèn)題★★

能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義；

一元二次方程的實(shí)

循環(huán)問(wèn)題★能針對(duì)具體問(wèn)題列出方程；

際應(yīng)用

能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性.

面積問(wèn)題★

其它問(wèn)題★

【考情分析1］本專題包括利用根的判別式確定一元二次方程解的情況、已知方程解的情況確定方程中未知

字母的值及利用根與系數(shù)關(guān)系求解某些特定形式的代數(shù)式的值，試題形式多樣，難度一般，常與完全平方公

式的各種變形結(jié)合考查.

【考情分析2】一元二次方程的應(yīng)用的考查多以解答題形式出現(xiàn)，難度一般，主要涉及的問(wèn)題有變化率問(wèn)題、

利潤(rùn)問(wèn)題、幾何圖形問(wèn)題等.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要檢驗(yàn)所求解是否滿足實(shí)際意義，注意取舍.

【命題預(yù)測(cè)】本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根

與系數(shù)的關(guān)系X一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題，年年考

查，分值為12分左右.預(yù)計(jì)2025年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型,復(fù)習(xí)過(guò)程中要多注意各基礎(chǔ)考

點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了.

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

知

識(shí)

糕

理

元

二

次

方

程

及

其

應(yīng)定義a#0易忽略

用a#0

根的判別式使用條件一■

學(xué)習(xí)誤區(qū)

根與系數(shù)關(guān)系前提

學(xué)

法只有一個(gè)實(shí)根一兀一次方程

指

方程根的個(gè)數(shù)對(duì)方程類型的暗示有二個(gè)實(shí)根元二^方程

導(dǎo)

有實(shí)數(shù)根兩種可能

首選直接平方法

其次考慮因式分解法

選用合適的方法解方程

對(duì)任何方程都能用公式法

有特殊要求時(shí)用配方法

實(shí)際應(yīng)用審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答

考點(diǎn)突破?考法探究I

考點(diǎn)-----元二次方程及解法

一、一元二次方程基礎(chǔ)

一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：a/+6x+c=o（aKO）,它的特征：等號(hào)左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次多項(xiàng)

式，等號(hào)右邊是0.其中：a/是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，版是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

【易錯(cuò)/熱考】如果明確了a/+bx+c=0為一元二次方程，就隱含了a40這個(gè)條件.

一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.

判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代人這個(gè)一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，

則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.

二、一元二次方程的解法

基本思路：通過(guò)“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的

兩個(gè)解就是原方程的解.

1.直接開(kāi)平方法（基礎(chǔ)）

例：形如a/=b（aWO）的一元二次方程：

當(dāng)b>0時(shí)，則小=2=,x2=-此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b=0時(shí)，則%=%=0,此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b<0時(shí)，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

2.配方法（基礎(chǔ)）

配方的實(shí)質(zhì)：將方程化為（①c+32="（a/0）的形式，當(dāng)mN。時(shí)，直接用直接開(kāi)平方法求解.

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

1）移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊；

2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1,將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；

3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為（x+p）2=q的形式；

4）求解：若q》0時(shí)，直接用直接開(kāi)平方法求解.

3.公式法

用公式法解一元二次方程的一般步驟：

1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值（若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算）；

2）求出廿-4?c的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；

3）如果〃—4ac?0,將a、b、c的值代入求根公式：x-皿;

2a

4）最后求出和々

【補(bǔ)充說(shuō)明】求根公式的使用條件：。，0且從-4比》0

4.因式分解法

依據(jù)：如果兩個(gè)一次因式的積為0,那么這兩個(gè)因式中至少一個(gè)為0,即若ab=0,則a=0或b=0.

步驟：

1）將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0;

2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；

3）令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

4）求解.

【易錯(cuò)易混】利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)

除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng)，將方程右邊化為0.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2023?湖北孝感?一模）已知一元二次方程（％-2）（久+3）=0,將其化成二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，

它的常數(shù)項(xiàng)是.

2.（2025?云南昆明?一模）若關(guān)于x的方程（m+l）x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）

A.THH-1B.m=1C.m>1D.m#=0

3.（2024?廣東深圳?中考真題）已知一元二次方程第2—3%+m=0的一個(gè)根為1,則zn=.

4.（2024?山東德州?中考真題）把多項(xiàng)式久2一3刀+4進(jìn)行配方，結(jié)果為（）

2

A.（x-3）2—5B.（%-+—

c卜一3+與D-（x+l）2+；

5.（2024?山東東營(yíng)?中考真題）用配方法解一元二次方程,一2%-2023=0時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為（x+a/=6的

形式，則心的值為（）

A.-2024B.2024C.-1D.1

考點(diǎn)二根的判別式

根的判別式的定義：一般地，式子/―4ac叫做一元二次方程以2+6x+c=o（awO）根的判別式，通常用

希臘字母△表示，即A=Z?2—4ac.

根的情況與判別式的關(guān)系：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程。f+加:+。=0（。wO）的根的情況由其系數(shù)a,b,

c,即A=Z?2—4ac確定.

—b+，b2—4ac

1）△=〃一4〃0＞（）0方程a/+b%+c=O（〃wO）有兩個(gè)不相等的實(shí)根:x=-----------；

2a

2）△=82一4〃（尸00方程〃%2+法+。=0（〃。0）有兩個(gè)相等的實(shí)根：X1=X2=——;

2a

3）A=Zj2-4acV0o方程ox?+bx+c-0（awO）無(wú)實(shí)根.

【補(bǔ)充說(shuō)明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根.

【易錯(cuò)易混】

1）使用一元二次方程根的判別式時(shí)，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的方程；

2）當(dāng)A=^—4近=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不能說(shuō)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2023?吉林?中考真題）一元二次方程/-5x+2=0根的判別式的值是（）

A.33B.23C.17D.V17

2.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）若拋物線y=x2-x+c（c是常數(shù)）與無(wú)軸沒(méi)有交點(diǎn)，貝股的取值范圍是.

3.（2023?四川瀘州?中考真題）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程/-10久+m=。的

兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11,則該菱形的邊長(zhǎng)為（）

A.V3B.2A/3C.V14D.2V14

4.（2024?上海寶山?一模）一次函數(shù)y=-3x-a不經(jīng)過(guò)第三象限，關(guān)于x的方程a久？-3久+1=0的解的個(gè)

數(shù)為.

5.（2024?四川眉山?二模）已知關(guān)于x的一元二次方程/一3久=1-3爪有實(shí)數(shù)根.

（1）求爪的取值范圍；

（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為的、久2,且滿足/2+冷2-久1久2415,求小的取值范圍.

考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

若一元二次方程af+6x+c=0（aW0）的兩個(gè)根是石,々，則西,々與方程的系數(shù)a,b,c之間有如下

關(guān)系：x1+x2=—\x1?x2=^

【補(bǔ)充說(shuō)明】

1）一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a/0且/J?-4ac20.

2）當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，如必+。％+2=0,其兩根關(guān)系為乂1+%2=-「，x1?x2^q.

3）以兩個(gè)數(shù)XI,%為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是――（%+%2）》+國(guó)?/=0.

4）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣，都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的

值.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024?黑龍江綏化?中考真題）小影與小冬一起寫(xiě)作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡(jiǎn)過(guò)程中寫(xiě)

錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡(jiǎn)過(guò)程中寫(xiě)錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩

個(gè)根是-2和-5.則原來(lái)的方程是（）

A.%2+6%+5=0B.x2—7%+10=0

C.x2—5%+2=0D.%2—6%—10=0

2.（2024.四川巴中.中考真題）已知方程/-2%+憶=0的一個(gè)根為-2,則方程的另一個(gè)根為.

3.（2024?四川眉山?中考真題）已知方程/+%—2=0的兩根分別為的，氣，則工+工的值為.

X1X2

4.（2023?青海西寧?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（下今―京）+"，其中a，b是方程/+x—6=。的

兩個(gè)根.

考點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：

審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系；

設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程；

解：求解方程；

驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義；

答：實(shí)際問(wèn)題的答案.

一元二次方程的常見(jiàn)問(wèn)題及數(shù)量關(guān)系：

常見(jiàn)問(wèn)題數(shù)量關(guān)系

針對(duì)訓(xùn)練

1.(2024.江蘇南通?中考真題)紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg.求

水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x.列方程為()

A.7200(1+x)2=8450B.7200(1+lx)=8450

C.8450(1-x)2=7200D.8450(1-2%)=7200

2.(2024?四川眉山?中考真題)眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉(cāng)”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，

提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長(zhǎng)到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平

均增長(zhǎng)率為久，則可列方程為()

A.670X(1+2%)=780B.670X(1+%)2=780

C.670X(1+x2)=780D.670X(1+%)=780

3.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)某市2021年底森林覆蓋率為64%,為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)

展理念，該市大力發(fā)展植樹(shù)造林活動(dòng)，2023年底森林覆蓋率已達(dá)到69%.如果這兩年森林覆蓋率的年平均

增長(zhǎng)率為“,則符合題意得方程是()

A.0.64(1+x)=0.69B.0.64(1+%)2=0.69

C.0.64（1+2x）=0.69D.0.64（1+2x）2=0,69

4.（2023?浙江衢州?中考真題）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有36人患了流感.設(shè)每一輪傳染中平均

每人傳染了萬(wàn)人，則可得到方程（）

A.x+（1+%）=36B.2（1+x）=36C.1+x+x（l+x）=36D.1+x+x2—36

5.（2023?浙江湖州?中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬(wàn)輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，

該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增,2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬(wàn)輛.如果設(shè)從2020年到2022

年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為無(wú)，那么可列出方程是（）

A.20（1+2%）=31.2B.20（1+2x）-20=31.2

C.20（1+久尸=31.2D.20（1+x）2-20=31.2

6.（2021?山西?中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)

數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65,求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）.

|2021年M<|7月

曰一二三四五六

3

12

建黨節(jié)

4567S910

11121314151617

181920212：2324

25262728293031

7.（2022?遼寧丹東?中考真題）丹東是我國(guó)的邊境城市，擁有豐富的旅游資源.某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每

件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，

每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

銷售單價(jià)無(wú)（元/件）354045

每天銷售數(shù)量y（件）908070

（1）直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若每天銷售所得利潤(rùn)為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?

（3）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

題型精研?考向洞悉

命題點(diǎn)—元二次方程及其解法

A題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值

2

1.（2024?四川涼山?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程（a+2）/+x+a-4=0的一個(gè)根是x=0,貝必的

值為（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

2.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）若一元二次方程2/—4%—1=0的兩根為m,n,則3爪2-4m+層的值

為.

3.（2024?四川南充?中考真題）已知機(jī)是方程/+4x-1=0的一個(gè)根,貝卜爪+5）（m-1）的值為.

4.（2023?湖南婁底?中考真題）若加是方程一一2%-1=0的根，貝。血2+與=.

＞題型02選用合適的方法解一元二次方程

方法技巧

已知a,b,c分別為二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).

1）當(dāng)a=l,b為偶數(shù)，cW0時(shí)，首選配方法；

2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開(kāi)平方法；

3）當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法；

4）當(dāng)a=l,bWO,cWO時(shí)，可選配方法或因式分解法；

5）當(dāng)aWl,bWO,cWO時(shí)，可選公式法或因式分解法.

1.（2024?安徽?中考真題）解方程：%2-2%=3

2.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）解方程：（2x+3）2=（3久+2/

3.（2024.貴州?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算

（1）再_（V3）+（兀+V3）+V27+|V3-2|

（2）從下列方程中任選一個(gè)方程，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

①/-8x-1=0②（無(wú)+3）2=（1一2x）2③（2乂+3/—25=0

4.（2024?湖南衡陽(yáng)?一模）（1）用配方法解方程：%2=2%—1；

（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒（2x-1）=4x-2.

＞題型03以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程

1.（2021?浙江嘉興?中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（久-3）=（x-3）2的過(guò)程如下框:

小霞：

小敏：

移項(xiàng)，得3（久一3）——3＞=0,

兩邊同除以（久-3）,得

提取公因式，得0-3）（3-乂-3）=0.

3=x—3,

則％—3=0或3—%—3=0,

則％=6.

解得%1=3,x2=0.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“鏟；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程.

2.（2024?貴州黔東南.一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2/+敘-8=0的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并

完成相應(yīng)的任務(wù).

解:移項(xiàng)，得2/+4%=8,……第一步

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得產(chǎn)+2刀=4,..…第二步

配方，得。+2）2=8,……第三步

由此可得％+2=±2^/2,......第四步

所以，=-2+2V2,%2=-2-2V2.……第五步

（1）小明同學(xué)的解答過(guò)程，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.

3.（2024?浙江舟山?一模）解一元二次方程--2%-3=0時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下:

解法一：解法二：

2

%—2%=3a=lfb=—2,c=—3

x(x—2)=3b2—4ac=4-12=—8

%=1或%—2=3爐—4這<o

???/=1或第2—5???此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

（1）判斷：兩位同學(xué)的解題過(guò)程是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“?。蝗翦e(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x”.

（2）請(qǐng)選擇合適的方法求解此方程.

4.（2024?江西?一模）課堂上，文U老師展示了一位同學(xué)用配方法解/-4應(yīng)x-4=0的過(guò)程，如下:

解:原方程可化為/—4/工=4,第一步

配方，得/一2?“2/+（4/）2=4+（4魚(yú)＞，第二步

即0—4岳）2=36,第三步

直接開(kāi)平方，得久-4/=±6,第四步

所以X1=4&+6,x2=4-\/2—6.第五步

（1）這位同學(xué)的解題過(guò)程從第_____步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤;

（2）請(qǐng)你正確求解該方程.

>題型04配方法的應(yīng)用

【利用配方法求代數(shù)式的最值】求多項(xiàng)式以2+bx+c（a,4c為常數(shù)，且。/0）的最

值時(shí)，要先把多項(xiàng)式配方成++”的形式.若a>0,則代數(shù)式ox?+Zzr+c有最小值；若a<0,則代

數(shù)式or?+法+。有最大值.

1.（2022?山東德州?中考真題）已知M=a2-a,N=a—2（a為任意實(shí)數(shù)），則M—N的值（）

A.小于0B.等于0C.大于0D.無(wú)法確定

2.（2023?江蘇連云港?中考真題）若卬=5/一4孫+V一2y+8x+3（%,y為實(shí)數(shù)），則皿的最小值

為.

3.（2024?河北石家莊?一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4機(jī)與62+4的大小，填或，，="：

①當(dāng)?n=3時(shí)，4m_m2+4；

②當(dāng)m=2時(shí)，4m_m2+4；

③當(dāng)?n=-3時(shí)，4m_m2+4；

（2）論證，無(wú)論機(jī)取什么值，判斷4機(jī)與爪2+4有怎樣的大小關(guān)系?試說(shuō)明理由；

（3）拓展，試通過(guò)計(jì)算比較.7+2與2/+以+6的大小.

4.（2023?江蘇揚(yáng)州?二模）（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在研究函數(shù)y=￡+:的圖像時(shí)提出了下列問(wèn)題：

①函數(shù)y=x+：的自變量x的取值范圍是一

②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>0時(shí)，y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y<0.由此可見(jiàn)，圖像在第一象限；

③閱讀材料：當(dāng)光>0時(shí)，y=尤+￡=（?I+?。?（7%-^）2+2>2.

當(dāng)?=專時(shí)，即x=l時(shí)，y有最小值是2.

請(qǐng)仿照上述過(guò)程，求出當(dāng)尤<0時(shí)，y的最大值；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，求y=/+:+16的最小值;

（3）如圖，四邊形力BCD的對(duì)角線力C,BD相交于點(diǎn)。，XAOB、△COD的面積分別為4和9,求四邊形4BCD

面積的最小值.

?題型05以開(kāi)放性試題的形式考查解一元二次方程

'.,以開(kāi)放性試題的形式考查直接解一元二次方程，解題時(shí)可以根據(jù)題目選擇不同的方法

解決問(wèn)題有利于培優(yōu)策略性思維。

1.（2023?貴州六盤(pán)水?一模）（1）小明解分式方程*=1-T的過(guò)程如下：

XX

去分母，得2%+3=1-（%一1），…第一步

去括號(hào)，得2x+3=1-乂+1,…第二步

移項(xiàng)，得2x+x=1+1—3,...第三步

合并同類項(xiàng)，得3x=-1,…第四步

系數(shù)化為1,得x=—：第五步

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，X力。，…第六步

是原分式方程的解?…第七步

上述解答過(guò)程是從第_步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程；

（2）在初中階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，

請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程.

①K2+6%—3=0；②％2—4%=0；③%2—7%=7；④久2—9=0.

2.（2023?貴州黔東南?一模）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式

分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程.

①/=25；②/+6%=-4；④%2—4%—7=0；@x2+2%=0

命題點(diǎn)二根的判別式

>題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況

方法技巧

一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系:

1）A=>2—4ac>0o方程以2+法+。=0（。/0）有兩個(gè)不相等的實(shí)根:X=-=-------

2a

2）4二/72-4僅尸00方程1%2+法+。=0（〃。0）有兩個(gè)相等的實(shí)根：X1=X2=——；

2a

3）A=Z?2-4acV0u>方程以2+bx+c=0（a*0）無(wú)實(shí)根.

1.（2024?上海?中考真題）以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2—6x—0B.x2—9=0

C.x2—6x+6=0D.%2—6%+9=0

2.（2024?四川自貢.中考真題）關(guān)于x的一元二次方程J+k久-2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

3.（2023?四川廣安?中考真題）已知a,b,c為常數(shù),點(diǎn)P（a,c）在第四象限,則關(guān)于龍的一元二次方程a/+

bx+c=0的根的情況為（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法判定

晚題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍

方法技巧

1）有根4八20；2）有兩個(gè)不等根6A>0；

3）有兩個(gè)相等根0;4）無(wú)實(shí)數(shù)根4A<0.

【易錯(cuò)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程依2+法+。=。根的情況確定字母參數(shù)的值或取值范圍時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)含

有所求的字母參數(shù)，則不要忽略隱含條件a=0,否則這個(gè)參數(shù)的取值范圍會(huì)增大，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

1.（2024?山東泰安?中考真題）關(guān)于久的一元二次方程2K2-3x+k=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.fc<—B.fc<—C.kN-D.k<—

8888

2.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程（爪-2）/+4x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m

的取值范圍是（）

A.m<4B.m>4C.m2—4且mK2D.mW4且m#2

3.（2024.江蘇徐州?中考真題）關(guān)于x的方程/+kx+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則左值為

4.（2024?廣東廣州?中考真題）關(guān)于x的方程/-2x+4-血=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

（1）求爪的取值范圍;

1-m2.m-1m-3

（2）化簡(jiǎn):

\m-3\2m+1

5.（2024?四川南充?中考真題）已知右，比2是關(guān)于光的方程/-2kx+k2-k+l=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求k的取值范圍.

（2）若k<5,且k,亞都是整數(shù)，求k的值.

>題型03利用根的判別式求代數(shù)式的值

1.（2023.廣東廣州.中考真題）已知關(guān)于x的方程/一（2k-2）x+/c2-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則—1尸-

的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）

A.-1B.1C.-1-2kD.2k-3

2.（2023?甘肅蘭州?中考真題）關(guān)于尤的一元二次方程/+法+。=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則爐—

2（1+2c）=（）

A.-2B.2C.-4D.4

3.（2024?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于尤的一元二次方程a——法+1=0（a40）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則爐-

2（2a—1）的值是（）

A.-4B.4C.2D.-2

4.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于光的一元二次方程——%+工口=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)此方

4

程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為b,令TH=4爐—4b—5a+4,則（）

A.m>—2B.m>—2C.m<—2D.m<-2

>題型04以開(kāi)放性試題的形式考查根的判別式

1.（2023?甘肅武威?中考真題）關(guān)于%的一元二次方程/+2x+4c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝肥=

（寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的值）.

2.（2024.江蘇南通?中考真題）已知關(guān)于尤的一元二次方程產(chǎn)―2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.請(qǐng)寫(xiě)出

一個(gè)滿足題意的女的值：

3.（2023?山東濟(jì)南?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程/一4x+2a=。有實(shí)數(shù)根，貝b的值可以是（寫(xiě)

出一個(gè)即可）.

4.（2023?浙江杭州?中考真題）設(shè)一元二次方程/+bx+c=0.在下面的四組條件中選擇其中廠組力c的值，

使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程.

①b=2,c=l；②b=3,c=l；③b=3,c=—l；④b=2,c=2.

注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

命題點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

＞題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值

1.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）若關(guān)于尤的一元二次方程/+2x+p=0兩根為/、*2,且己+^=3,則P

的值為（）

22

A.--B.-C.-6D.6

33

2.（2023.湖南岳陽(yáng)?中考真題）已知關(guān)于久的一元二次方程%2+2mx+m2-m+2=0有可個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，且％1+不+?冷=2,則實(shí)數(shù)m.

3.（2024.四川內(nèi)江.中考真題）已知關(guān)于％的一元二次方程第2—p%+1=0（p為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根%1和％2?

⑴填空：%1+%2=，%1%2=；

111

Q）求了+7，久1+

XiXoAi

（3）已知西+媛=2p+1,求p的值.

4.（2023?湖北?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程久2—（2m+l）x+m2+m=0.

（1）求證：無(wú)論加取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為〃，b,若（2a+b）（a+2b）=20,求償?shù)闹?

＞題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值

方法技巧

利用根與系數(shù)的關(guān)系還可以求出關(guān)于21、山的代數(shù)式的值，涉及到的變形如下:

已知一元二次方程。+fcr+c=O（aw0）的兩個(gè)根%i，%

①k+X；=（玉+%2）2-2%%2

②L^=X]+X2

X[x2X1X2

③X21X]=X:+x??_（.+々）2-2X]二

X]x2XJ2XjX2

22

④（xrx2）=（xj+x2）-4xtx2

⑤（2（2

|Xj-x21^xrxp=^Xj+xp-4XJX2

22

⑥x,-x?=±J（x1-x9）=iJCx,+xO-4x,x?

1.（2024.四川成都?中考真題）若m,n是一元二次方程/-5x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則小+0-2）2的值

為.

2.（2024.四川瀘州?中考真題）已知的，叼是一元二次方程，一3尤一5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（修一中四+

3X1X2的值是.

3.（2023?湖北鄂州?中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a?-3a+2=0,/-36+2=0,且a46,貝壯+!=.

4.（2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）閱讀材料：

材料1：關(guān)于x的一元二次方程a%2=0（口。0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根久1，冷和系數(shù)。，4。有如下關(guān)系：

,bc

X1+X2=—~f%i%2=--

材料2：已知一元二次方程/-％-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n,求租2九+77m2的值.

解：:根，〃是一元二次方程％2一%—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

m+n=1,mn=—1.

貝!）771272+mn2_mn（m4-n）=—1x1=—1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：

（1）應(yīng)用：一元二次方程2久2+3%-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為久1，%2,則%1+%2=，

=；

（2）類比：已知一元二次方程2-+3%—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為機(jī)，n,求7712+荏2的值；

（3）提升：已知實(shí)數(shù)s,f滿足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0且s力t,求工一工的值.

st

命題點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

＞題型01變化率問(wèn)題

1.（2024.山東淄博.中考真題）“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高.某市

參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人.

（1）求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率；

（2）為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，市政府決定從a公司購(gòu)買某種套裝健身器材.該公司規(guī)定:若購(gòu)買不超過(guò)wo套,

每套售價(jià)1600元；若超過(guò)100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低40元.但最低售價(jià)不得少于1000元.已

知市政府向該公司支付貨款24萬(wàn)元，求購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù).

2.（2023?遼寧大連?中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)圖書(shū)的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買書(shū)籍.已

知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用為5000元,2022年用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用是7200元，求2020-2022年

買書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率.

3.（2023?湖南郴州?中考真題）隨旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，

4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人.

（1）求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；

（2）預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超迎前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率.已知該景區(qū)5月1

日至5月21日已接待游客2.125萬(wàn)人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬(wàn)人？

＞題型02幾何圖形問(wèn)題

1.（2023?江蘇?中考真題）為了便于勞動(dòng)課程的開(kāi)展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園48CD（如圖），生態(tài)園一

面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三面用18m的籬笆圍成.生態(tài)園的面積能否為40m2?如果能，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；

如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

墻

AB

生態(tài)園

D'---------'C

2.（2023?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一

個(gè)矩形羊圈A8CD,并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(mén)（建在EF處，另用其他材料）.

A\p

BEFC

（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈？

（2）羊圈的面積能達(dá)到650n?嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）有一塊矩形鐵皮如圖所示，長(zhǎng)為20m,寬為15m,現(xiàn)打算從該鐵皮上裁出兩

個(gè)完全相同的小矩形，每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為2xm,寬為無(wú)m,使得裁完后剩余鐵皮（圖中陰影部分）的面積為

156m2,請(qǐng)計(jì)算裁出的每個(gè)小矩形的周長(zhǎng).

＞題型03以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

1.（2024.黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）2024龍年春晚主題為“龍行矗矗（da）,欣欣家國(guó)”，“篇”這個(gè)字引發(fā)一波熱門(mén)

關(guān)注.據(jù)記載，“篇”出自第一部楷書(shū)字典《玉篇》，“龍行矗疆”形容龍騰飛的樣子，昂揚(yáng)而熱烈.某服裝店

購(gòu)進(jìn)一款印有“疆”字圖案的上衣，據(jù)店長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)，該款上衣1月份銷售量為150件，3月份銷售量為216件,

則該款上衣銷售量的月平均增長(zhǎng)率為（）

A.20%B.22%C.25%D.26%

2.（2024.四川成都.二模）世界羽壇最高水平團(tuán)體賽成都2024“湯尤杯”將于4月27日至5月5日在成都高

新體育中心舉行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公開(kāi)亮相.某商場(chǎng)銷售該吉祥物，已知每套吉祥物

的進(jìn)價(jià)為20元，如果以單價(jià)30元銷售，那么每天可以銷售400套，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的

減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20套.

（1）若商家每天想要獲取4320元的利潤(rùn)，為了盡快清空庫(kù)存，售價(jià)應(yīng)定為多少元？

（2）銷售單價(jià)為多少元時(shí)每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？

3.（23-24九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）據(jù)