第十三章　立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第十三章立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖．2.理解棱錐、棱臺(tái)的定義，知道棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖．3.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識(shí)別和區(qū)分這些幾何體．4．會(huì)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何體特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．5.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．6.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫常見的柱、錐、臺(tái)以及簡單組合體的直觀圖．7.會(huì)根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．8.了解平面的概念，會(huì)用圖形與字母表示平面．9.能用符號(hào)語言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．10.能用圖形、文字、符號(hào)三種語言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，理解三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論的作用．11.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義．12.理解并掌握基本事實(shí)4和“等角”定理，并能解決有關(guān)問題．13.會(huì)用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會(huì)在三角形中求簡單的異面直線所成的角．14.理解直線與平面平行的定義，會(huì)用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，會(huì)用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系．15.理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題．16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性．17．掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問題．18．了解直線和平面所成的角的含義，并會(huì)求直線與平面所成的角．19．理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離的概念．20．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理，能應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問題．21.了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系．22.理解平面與平面平行的定義，會(huì)用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，會(huì)用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系．23.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題．24.了解兩個(gè)平行平面間的距離．25.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)求簡單的二面角的大?。?6.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理．27.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理，能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問題．28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．29.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．30.能利用柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系．31.掌握球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積．32.會(huì)利用分割、補(bǔ)形求組合體的表面積和體積．1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征及分類圖形及記法棱柱結(jié)構(gòu)特征(1)兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行(2)側(cè)面都是平行四邊形記作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱……棱錐結(jié)構(gòu)特征(1)底面是多邊形(2)側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形記作棱錐S-ABCD分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐……棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱之為棱臺(tái)(1)上下底面互相平行，且是相似圖形(2)各側(cè)棱延長線相交于一點(diǎn)記作棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例).3．多面體由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體．4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球分類定義圖形及表示表示圓柱將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓柱圓柱OO′圓錐將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓錐圓錐SO圓臺(tái)將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓臺(tái)圓臺(tái)OO′球半圓繞著它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡稱球球O5．旋轉(zhuǎn)體一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)體．圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體．6．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)．畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．7．空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z′軸．(2)直觀圖中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面．(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．8．平面(1)平面的概念平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念．平面通常用平行四邊形來表示，當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖．(2)平面的表示法平面通常用希臘字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示；如圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.9．幾何里的平面的特點(diǎn)(1)平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量．(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．10．點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系位置關(guān)系符號(hào)表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上Ceq\o(∈,\s\up0(/))AB點(diǎn)M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC直線AB與直線BC交于點(diǎn)BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC11．平面的基本事實(shí)基本事實(shí)文字語言圖形語言符號(hào)語言作用基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面平面ABC①確定平面的依據(jù)②判定點(diǎn)線共面基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)②判定點(diǎn)在平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點(diǎn)在直線上基本事實(shí)1：確定平面的依據(jù)；基本事實(shí)2：判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實(shí)3：判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．12．基本事實(shí)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．圖形語言表述：如圖所示．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．圖形語言表述：如圖所示．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．圖形語言表述：如圖所示．13．空間直線的位置關(guān)系(1)異面直線定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．(2)空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)沒有異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有14．平行直線(1)基本事實(shí)4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質(zhì)叫作空間平行線的傳遞性．符號(hào)表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c．(2)“等角”定理如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．15．異面直線所成的角(1)定理：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)異面直線所成的角定義：a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角).范圍：設(shè)θ為異面直線a與b所成的角，則0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．16．直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α圖形語言17．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號(hào)語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內(nèi)，即a?β.以上三個(gè)條件缺一不可．(2)定理的作用①線面平行?線線平行；②畫一條直線與已知直線平行．(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．18．直線與平面垂直定義如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直記法a⊥α有關(guān)概念直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足圖示及畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)條直線”．19．直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語言符號(hào)語言a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α20．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行②作平行線21．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離．22．直線與平面所成的角(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫作斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．如圖所示，過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影．平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角．(3)范圍：直線與平面所成角θ的范圍是0°≤θ≤90°.23．兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有一條公共直線符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示24.兩個(gè)平面平行的判定定理文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語言a?α，b?α，a∩b＝A且a∥β，b∥β?α∥β圖形語言(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．25．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行符號(hào)語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言26．公垂線、公垂線段與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段；我們把公垂線段的長度叫作兩個(gè)平行平面間的距離．27．二面角(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個(gè)半平面叫作二面角的面．(2)圖形和記法圖形：記作：二面角α-AB-β．28．二面角的平面角(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．(2)圖形、符號(hào)及范圍圖形：符號(hào)：OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角α-l-β的平面角．范圍：0°≤∠AOB≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．29．平面與平面垂直(1)定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l?α))?α⊥β30.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線31．直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積(1)有關(guān)概念：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱的側(cè)棱長就是直棱柱的高．如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形．正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺(tái)．正棱臺(tái)的側(cè)棱長都相等，側(cè)面均為全等的等腰梯形．(2)公式：S直棱柱側(cè)＝ch(c為直棱柱的底面周長，h為直棱柱的高)S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為正棱錐的底面周長，h′為斜高)S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c，c′分別為正棱臺(tái)的上下底面周長，h′為斜高)32．直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積之間的關(guān)系33．圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積名稱圖形公式圓柱側(cè)面積：S側(cè)＝cl＝2πrl圓錐側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)cl＝πrl圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝πl(wèi)(r＋r′)34.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系35．體積公式(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh．(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh．(3)臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(SS′)＋S)h．36.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系V柱體＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V臺(tái)體＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V錐體＝eq\f(1,3)Sh.37．球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2；球的體積V＝eq\f(4,3)πR3．對(duì)球的體積和表面積的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對(duì)應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．(2)由于球的表面不能展開成平面，所以球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式的推導(dǎo)方法是不一樣的．(3)球的表面積恰好是球的大圓(過球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍．題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)下列命題中正確的是()A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2)下列關(guān)于棱柱的說法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的序號(hào)是__________．思維升華棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除．鞏固訓(xùn)練1.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F(xiàn)，G，H是三棱柱對(duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，過此四點(diǎn)作截面EFGH，把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說明理由．題型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【例2】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；③棱錐的側(cè)面只能是三角形；④由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確的序號(hào)是________．思維升華判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)鞏固訓(xùn)練1．如圖，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱臺(tái)2．(多選)下列說法中，正確的是()A．棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐C．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面D．棱錐的各側(cè)棱長相等題型三旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例3】(多選)下列說法正確的是()A．圓柱的底面是圓面B．經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面C．圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交D．夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體思維升華(1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．(2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用①簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量；②在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．鞏固訓(xùn)練1.給出以下說法：①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心所連線段的長；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間所連線段的長；③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面可以是一個(gè)正方形；④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形．其中正確的序號(hào)是________．題型四簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征【例4】如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()思維升華不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的結(jié)構(gòu)特征的分析策略(1)分割：首先要對(duì)原平面圖形適當(dāng)分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本圖形．(2)定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過程進(jìn)行分析．鞏固訓(xùn)練1.若將如圖所示的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．2.已知AB是直角梯形ABCD中與底邊垂直的腰，如圖所示，分別以AB，BC，CD，DA所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征．題型五旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問題【例5】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長．思維升華解決旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問題的解法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面(經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面)的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程(組)而解得．[注意]在研究與截面有關(guān)的問題時(shí)，要注意截面與物體的相對(duì)位置的變化．由于相對(duì)位置的改變，截面的形狀也會(huì)隨之發(fā)生變化．鞏固訓(xùn)練1．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1cm，2cm，截得圓臺(tái)的圓錐的母線長為12cm，則圓臺(tái)的母線長為________．2．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm，如圖所示，則該地球儀的半徑是__________cm.題型六畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例6】畫水平放置的直角梯形(如圖所示)的直觀圖．思維升華畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(xiàng)(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖．(2)畫圖時(shí)要注意原圖和直觀圖中線段的長度關(guān)系是否發(fā)生變化．鞏固訓(xùn)練1.如圖所示，在△ABC中，BC＝8cm，BC邊上的高AD＝6cm，試用斜二測(cè)畫法畫出其直觀圖．題型七畫簡單幾何體的直觀圖【例7】已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測(cè)畫法畫出此正四棱臺(tái)的直觀圖．思維升華畫空間圖形的直觀圖的原則(1)用斜二測(cè)畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2).鞏固訓(xùn)練1.已知一棱柱的底面是邊長為3cm的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長為4cm，試用斜二測(cè)畫法畫出此棱柱的直觀圖．題型八直觀圖的還原與計(jì)算【例8】如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．思維升華(1)直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．(2)直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．鞏固訓(xùn)練1.已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2題型九圖形、文字、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化【例9】(1)用符號(hào)語言表示下面的語句，并畫出圖形．平面ABD與平面BDC交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.(2)將下面用符號(hào)語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.思維升華三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言敘述，再用符號(hào)語言表示．(2)根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．鞏固訓(xùn)練1.根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.題型十點(diǎn)、線共面問題【例10】證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．【解析】已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．思維升華證明點(diǎn)、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．鞏固訓(xùn)練1.如圖，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．題型十一三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題【例11】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．思維升華鞏固訓(xùn)練1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點(diǎn)且D1F∩CE＝M．求證：點(diǎn)D，A，M三點(diǎn)共線．2．如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設(shè)在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)．3．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．題型十二空間兩直線位置關(guān)系的判定【例12】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．思維升華(1)判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷．(2)判定兩條直線是異面直線的方法①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語言可表示為Aeq\o(∈,\s\up0(/))α，B∈α，l?α，Beq\o(∈,\s\up0(/))l?AB與l是異面直線(如圖).鞏固訓(xùn)練1．三棱錐A-BCD的6條棱所在直線成異面直線的有()A．3對(duì) B．4對(duì)C．5對(duì) D．6對(duì)2．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交題型十三平行公理和等角定理的應(yīng)用【例13】如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形EBFD1是菱形．思維升華(1)證明兩直線平行的常用方法①利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對(duì)邊，三角形的中位線與底邊；②定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；③利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)證明兩角相等的方法①利用等角定理；②利用三角形全等或相似．[注意]在應(yīng)用等角定理時(shí)，應(yīng)注意說明這兩個(gè)角同為銳角、直角或鈍角．鞏固訓(xùn)練1.如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.題型十四異面直線所成的角【例14】如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角．思維升華求異面直線所成角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ<180°，則180°－θ為所求．[提醒]求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°.鞏固訓(xùn)練1．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，P是平面EFGH的中心，求OP和CD所成的角．2．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，若M，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，且AG和BN所成的角為39.2°，求AM和BN所成的角．3.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成的角．題型十五直線與平面平行的判定【例15】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.思維升華應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：(1)空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；(2)三角形中位線法；(3)平行四邊形法；(4)成比例線段法．[提醒]線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．鞏固訓(xùn)練1．如圖，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能得出AB∥平面MNP的是()2．已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.題型十六線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例16】如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.思維升華鞏固訓(xùn)練如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上且PM＝tPC.若PA∥平面MQB，試確定實(shí)數(shù)t的值．題型十七直線與平面垂直的定義【例17】(1)直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)________，則能保證該直線與平面垂直，選擇合適的序號(hào)填空()①三角形的兩邊②梯形的兩邊③圓的兩條直徑④正六邊形的兩條邊A．①③ B．②C．②④ D．①②④思維升華對(duì)線面垂直定義的理解(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解．實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直．(2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.鞏固訓(xùn)練1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m2．下列命題中，正確的序號(hào)是________．①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．題型十八直線與平面垂直的判定【例18】如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D為棱B1B的中點(diǎn)．求證：A1D⊥平面ADC.思維升華(1)線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化(2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．[提醒]要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面)，通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個(gè)平面．鞏固訓(xùn)練如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.題型十九線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例19】如圖，已知正方體A1C.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.思維升華(1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．(2)直線與平面垂直的其他性質(zhì)①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線垂直；②若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，則AP?α；④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；⑤如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另一個(gè)平面．鞏固訓(xùn)練在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點(diǎn)，底面對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.(1)求證：BD1∥平面ACE；(2)求證：BD1⊥AC.題型二十直線與平面所成的角【例20】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2)求直線PC與平面PAB所成的角．思維升華鞏固訓(xùn)練如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的長為4，∠MBC＝60°，求直線MC與平面CAB所成的角的正弦值．題型二十一兩個(gè)平面平行的判定【例21】如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1.(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1∥平面FBD.思維升華證明兩個(gè)平面平行的方法(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面即可．(2)判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．鞏固訓(xùn)練已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.題型二十二兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例22】如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于點(diǎn)B，A和D，C，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面α.思維升華應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟[提醒]面面平行性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)：面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．與判定定理交替使用，可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化．鞏固訓(xùn)練如圖，已知α∥β，點(diǎn)P是平面α，β外的一點(diǎn)(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長．題型二十三二面角的概念及其大小的計(jì)算【例23】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成銳二面角A1-BD-A的正切值為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)(2)一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定思維升華(1)求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．(2)作出二面角的平面角的方法,方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二：(垂線法)過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點(diǎn)與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角[提醒]二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn)．鞏固訓(xùn)練若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，而△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為__________．題型二十四利用定義證明平面與平面垂直【例24】如圖，在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.題型二十五利用判定定理證明平面與平面垂直【例25】(2020·高考江蘇卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面AB1C1；(2)求證：平面AB1C⊥平面ABB1.思維升華證明平面與平面垂直的兩種常用方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：①找出兩相交平面的平面角；②證明這個(gè)平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個(gè)相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直．即在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：鞏固訓(xùn)練如圖所示，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.求證：平面PQC⊥平面DCQ.題型二十六面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例26】已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.【證明】如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點(diǎn)D，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AD⊥BC.因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因?yàn)锳D∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以BC⊥AC.思維升華應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)注意的問題若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直．應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，應(yīng)注意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．鞏固訓(xùn)練如圖，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求證：AE∥平面BCD.題型二十七直棱柱、正棱錐和正