萬有引力與航天（四大題型）原卷版-2025年高考物理答題技巧與模板構(gòu)建

模板06萬有引力與航天（四大題型）

本節(jié)導(dǎo)航：

題型01天體質(zhì)量和密度的估算題型02衛(wèi)星及其變軌問題

題型03天體表面重力加速度的相關(guān)問題題型04雙星和多星問題

題型01天體質(zhì)量和密度的估算

口觀型斛篌

1、問題涉及情景新穎，常與最新的航天科技結(jié)合出題，出題角度不難但易錯。

2、公式的選用靈活多變，學(xué)生要謹(jǐn)記其本質(zhì)為萬有引力提供向心力，掌握各個(gè)公式是解題的關(guān)鍵。

◎槿笆抻建

一、必備基礎(chǔ)知識

1、開普勒三大定律

定律內(nèi)容圖示

地步一、

開普勒第一定律所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太

（軌道定律）陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。陽「

開普勒第二定律對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在O

（面積定律）相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。

所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它

一_Jf星

開普勒第三定律的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。即

（周期定律）3riA

"a=左，左是一個(gè)與行星無關(guān)的常量。

2、萬有引力定律

內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量加

和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。

表達(dá)式：F=G?,其中G叫做引力常量，G=6.67xlOTN.n?/依2。牛頓得出了萬有引力與物

體質(zhì)量及它們之間距離的關(guān)系，但沒有測出引力常量G。英國物理學(xué)家卡文迪什通過實(shí)驗(yàn)推算出引力常量G

的值。

適用條件：①適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用；②兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)或者一個(gè)均勻球體與

球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，廠是兩球心間的距離或者球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離；③兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大

小，r為兩物體質(zhì)心間的距離。

3、天體（衛(wèi)星）運(yùn)動問題的兩點(diǎn)思路

2

①天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即（j^=man=trr^=mG）r—trr^-a

②在中心天體表面或附近運(yùn)動時(shí)，萬有引力近似等于重力，即隼=??g（g表示天體表面的重力加速度）。

二、解題模板

1、解題思路

明確中心天體，建

立圓周運(yùn)動模型

2、注意問題

區(qū)分中心天體的半徑和環(huán)繞天體的軌道半徑，只有近地環(huán)繞天體的軌道半徑才等于中心天體的半徑。

該類型的題目是求解中心天體的質(zhì)量和密度，是不能求解環(huán)繞天體的質(zhì)量和密度。

3、解題方法

①利用天體表面的重力加速度g和天體半徑Ro

由于G我2=tng,故天體質(zhì)里A/=Q,天體儲度=4nGR°

八'

②通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的周期T和軌道半徑r0

由萬有引力等于向心力，即尊=〃莘廠，得出中心天體質(zhì)量加=霽；若已知天體半徑R,則天體

3冗聲

的平均密度"=M岸=M六=濡5；若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動，可認(rèn)為其軌道半徑r等于

鏟R

天體半徑R,則天體密度/）=券?？梢?，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T,就可估算出中心天體

的密度。

◎接極運(yùn)用

|（202牛北京.高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙

物質(zhì)（星體等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測的結(jié)果都一樣。以某一

點(diǎn)。為觀測點(diǎn)，以質(zhì)量為根的小星體（記為P）為觀測對象。當(dāng)前P到。點(diǎn)的距離為％,宇宙的密度為外。

（1）求小星體P遠(yuǎn)離到2%處時(shí)宇宙的密度"；

（2）以。點(diǎn)為球心，以小星體P到。點(diǎn)的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)量集中于

。點(diǎn)對P的引力。已知質(zhì)量為叫和加一距離為K的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力勢能綜=-G華，G為引力常量。

僅考慮萬有引力和P遠(yuǎn)離。點(diǎn)的徑向運(yùn)動。

a.求小星體尸從“處遠(yuǎn)離到入。處的過程中動能的變化量公線；

b.宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測點(diǎn)的速率v滿足哈勃定律v=無，其中廠為星體到觀測點(diǎn)的距離，”為哈勃系數(shù)。

〃與時(shí)間f有關(guān)但與r無關(guān),分析說明“隨f增大還是減小。

（2024?廣東?模擬預(yù)測）2021年2月10日19時(shí)52分，我國首次火星探測任務(wù)"天間一號"探測

器實(shí)施近火捕獲制動，成功實(shí)現(xiàn)環(huán)繞火星運(yùn)動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。設(shè)想某一天一位宇航員到

達(dá)火星后進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，將支架水平固定在火星表面上，擺軸末端用細(xì)繩連接一質(zhì)量為，〃的小

球。拉直細(xì)繩并給小球一個(gè)垂直細(xì)繩的初速度，讓它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動。在最低點(diǎn)。和最高

點(diǎn)6,細(xì)繩拉力大小分別為7；、Tb,阻力不計(jì)。已知火星的半徑為R,萬有引力常量為G。求：

b

⑴火星表面重力加速度的大小g；

⑵火星的質(zhì)量

題型02衛(wèi)星及其變軌問題

1、該題型常與較新的衛(wèi)星結(jié)合出題，題目一般較長，一般介紹的內(nèi)容可以忽略，本質(zhì)就是圓周運(yùn)動規(guī)

律的應(yīng)用。

2、題型難度不大，考查公式較多，需要學(xué)生具備一定的綜合分析能力。

◎槿卷的毫

一、必備基礎(chǔ)知識

1、衛(wèi)星軌道

衛(wèi)星運(yùn)動的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和傾斜軌道。

NNN

,；?

?

赤道軌道極地軌道逆行軌道順行軌道

傾斜軌道

2、運(yùn)行規(guī)律

衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動。萬有引力提供向心力：即由等=47=機(jī)/32=/^-〃=^^可推導(dǎo)出：①線

2

入MmvGM…、士七〃Mm

速度:G——=m—ny----；②角速度：G——=nuo2r=>co

r2r

23

-Mm4TIr、上、士』-MmGM

CJ——=m——rnT=2兀'----；④向心加速度：G——=ma=>〃=——

r2T2VGMr2r2

3、二種衛(wèi)星

①近地衛(wèi)星：在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于

地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s。

②地球同步衛(wèi)星：地球同步衛(wèi)星，是相對于地面靜止的，這種衛(wèi)星位于赤道上方某一高度的穩(wěn)定軌道

上，且繞地球運(yùn)動的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期。

③極地衛(wèi)星：運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。

4、三大宇宙速度

數(shù)值

宇宙速度意義

(km/s)

第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星

7.9

（環(huán)繞速度）繞地球做圓周運(yùn)動的最大運(yùn)行速度。

第二宇宙速度使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。

11.2

（脫離速度）

第三宇宙速度

16.7使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。

（逃逸速度）

發(fā)射速度為％第一宇宙速度為防,第二宇宙速度為匹，第三宇宙速度為砥，發(fā)射物體的運(yùn)動情況跟宇

宙速度息息相關(guān)，它們的關(guān)系如下表所示:

V<V1發(fā)射物體無法進(jìn)入外太空，最終仍將落回地面；

V]Wv<TV2發(fā)射物體進(jìn)入外太空，環(huán)繞地球運(yùn)動；

V2Wv<V3發(fā)射物體脫離地球引力束縛，環(huán)繞太陽運(yùn)動；

發(fā)射物體脫離太陽系的引力束縛，逃離太陽系中。

5、兩類變軌的比較

兩類變軌離心運(yùn)動近心運(yùn)動

變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小

Mmv2Mmv2

受力分析

G-2~r<rrr~Gr-2r~>rrr~

變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動或在較大半徑圓軌變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動或在較小半徑圓軌

變軌結(jié)果

道上運(yùn)動道上運(yùn)動

應(yīng)用衛(wèi)星的發(fā)射和回收

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

地球同步衛(wèi)星的軌道平面、周期、角速度、高度、速率、繞行方向、向心加速度都是一定的。

軌道平面一定（只能位于赤道上空，軌道平面和赤道平面重合）；

周期一定（與地球自轉(zhuǎn)周期相同，大小為芹24h=8.64X104s。）；

角速度一定（與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同）；

高度一定（根據(jù)G（［亨］（R+，）得力='Kg—尺）=3.6X10,加；

線速度一定（根據(jù)線速度的定義，可得丫=2.（-+4）=3.08km/s,小于第一宇宙速度）；

2

向心加速度一定（根據(jù)貴邛&，可得a尸與冷=統(tǒng)=0.23m/s）,

繞行方向一定（與地球自轉(zhuǎn)的方向一致）。

衛(wèi)星變軌時(shí)半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新軌道上的運(yùn)行速度變

化由v=、片判斷；衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大；衛(wèi)星經(jīng)過不同

軌道相交的同一點(diǎn)時(shí)加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。

3、解題方法

衛(wèi)星變軌的判斷及處理思路方法：①要增大衛(wèi)星的軌道半徑，必須加速；②當(dāng)軌道半徑增大時(shí)，衛(wèi)星

的機(jī)械能隨之增大。

衛(wèi)星向心加速度的不同表述形式：^=?ian；an=?=H?2=隼7。

解決力與運(yùn)動關(guān)系的思想還是動力學(xué)思想，解決力與運(yùn)動的關(guān)系的橋梁還是牛頓第二定律：衛(wèi)星的跖、

v、co、T是相互聯(lián)系的，其中一個(gè)量發(fā)生變化，其他各量也隨之發(fā)生變化；恁、。、MT均與衛(wèi)星的質(zhì)量無

關(guān)，只由軌道半徑r和中心天體質(zhì)量共同決定。

衛(wèi)星變軌解題方法：

軌道漸變問題：當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度逐漸改變時(shí)，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行。

當(dāng)衛(wèi)星的速度逐漸增加時(shí)，尊＜",，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，軌道半徑

變大，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v=、岸可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)減小。

當(dāng)衛(wèi)星的速度逐漸減小時(shí)，尊＞"弓，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動，軌道半

徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v=1岸可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)增大。

離心運(yùn)動：

當(dāng)V增大時(shí)，所需向心力嗎曾大，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，軌道半徑變大，由7='恪口其運(yùn)行速度要

r\lr

減小，此時(shí)重力勢能、機(jī)械能均增加。同一衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑（半長軸）越大，

機(jī)械能越大。

衛(wèi)星向心運(yùn)動：當(dāng)V減小時(shí)，所需向心力乎減小，因此衛(wèi)星將做向心運(yùn)動，軌道半徑變小，由浮

知其運(yùn)行速度將增大，此時(shí)重力勢能、機(jī)械能均減少。情景分析，如下圖所示：

先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道I;使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動，速率為口，變軌時(shí)在尸點(diǎn)處點(diǎn)火加速，短

時(shí)間內(nèi)將速率由也增加到為使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道n；衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)。時(shí)的速率為時(shí)，此時(shí)

進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速，在短時(shí)間內(nèi)將速率由監(jiān)增加到「,使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道III,繞地球做勻速圓周運(yùn)動。

注意：衛(wèi)星在不同軌道相交的同一點(diǎn)處加速度相等，但是外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。中心天體

相同，但是軌道不同（不同圓軌道或橢圓軌道），其周期均滿足開普勒第三定律。

變軌過程物體的分析如下：

速度根據(jù)以上分析可得：V4>V3>V2>V/

加速度在尸點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，所以衛(wèi)星當(dāng)從軌道I或者軌道n上經(jīng)

過尸點(diǎn)時(shí)，衛(wèi)星的加速度是一樣的；同理在。點(diǎn)也一樣。

周期根據(jù)開普勒第三定律條人可得Tl<T2<T3。

機(jī)械能衛(wèi)星在一個(gè)確定的軌道上（圓或者橢圓）運(yùn)動時(shí)機(jī)械能是守恒的，若衛(wèi)星

在I、II、III軌道的機(jī)械能分別為機(jī)、&、E3,則E1<E2<E3。

說明：根據(jù)以上分析可得當(dāng)增大衛(wèi)星的軌道半徑時(shí)必須加速。

?接板運(yùn)用

（2024?江蘇蘇州?三模）人造衛(wèi)星發(fā)射場一般選擇靠近赤道的地方，這樣可以利用地球自轉(zhuǎn)減小

發(fā)射需要的能量，中國文昌航天發(fā)射場是世界上為數(shù)不多的低緯度發(fā)射場之一、已知地球質(zhì)量為半徑

為R,地球自轉(zhuǎn)角速度為。，萬有引力常量為G。若在赤道上發(fā)射一近地衛(wèi)星，求:

（1）發(fā)射前衛(wèi)星在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的速度大小％;

（2）衛(wèi)星相對地面的最小發(fā)射速度V。

（2024?陜西安康?一模）從1970年中國成功發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星東方紅一號起，至2024

年，中國在軌運(yùn)行的衛(wèi)星數(shù)量已超過600顆，這標(biāo)志著中國航天技術(shù)實(shí)現(xiàn)了從跟跑到并跑，乃至領(lǐng)跑的跨

越式發(fā)展。現(xiàn)有一顆在赤道上空運(yùn)行的人造衛(wèi)星，它到地球表面的距離等于地球的半徑，轉(zhuǎn)動的方向與地

球的自轉(zhuǎn)方向相同。若地球的半徑為R,自轉(zhuǎn)的角速度為4,地球表面附近的重力加速度大小為g。求：

⑴該人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的線速度大小V；

⑵該人造衛(wèi)星連續(xù)兩次經(jīng)過赤道上同一處的時(shí)間間隔/=

題型03天體表面重力加速度的相關(guān)問題

重力加速度往往是萬有引力和運(yùn)動學(xué)聯(lián)系的橋梁，通過它可以將天體運(yùn)動和自由落體運(yùn)動、拋體運(yùn)動

相結(jié)合進(jìn)行考查。

一、必備基礎(chǔ)知識

1、地球自轉(zhuǎn)對地表物體重力的影響

GmM

如下圖所示，在緯度為0的地表處，物體所受的萬有引力為尸=

R2

物體隨地球一起繞地軸自轉(zhuǎn)所需的向心力為F^=mRcos（p-co1,方向垂直于地軸指向地軸，這是物體所

受到的萬有引力的一個(gè)分力充當(dāng)?shù)模f有引力的另一個(gè)分力就是通常所說的重力mg,嚴(yán)格地說：除了在

地球的兩個(gè)極點(diǎn)處，地球表面處的物體所受的重力并不等于萬有引力，而只是萬有引力的一個(gè)分力。

地球表面處物體所受到的重力是指地球上的物體由于地球的吸引而使物體受到的力。通過分析地球上

物體受到地球引力產(chǎn)生的效果，可以知道重力是引力的一個(gè)分力，大小等于地面對物體的支持力FN=mg,

方向跟支持力方向相反，垂直該處的水平面豎直向下。引力的另一個(gè)分力是地球上的物體隨同地球自轉(zhuǎn)的

向心力下向=山3酊（這個(gè)向心力也可以看作是物體受到的地球引力與地面支持力的合力）如圖所示。從合力

與分力的關(guān)系來看，重力mg和向心力F向是萬有引力的兩個(gè)效果力，即分力。若從力產(chǎn)生的原因（力的性

質(zhì)）來分析地面上物體的受力情況，則物體只受到萬有引力和地面的支持力，不能同時(shí)再分析重力。但由

于向心力很小，所以在一般計(jì)算中可認(rèn)為重力近似等于引力，重力方向豎直向下（即指向地心）。

2、不忽略地球自轉(zhuǎn)的影響

地球?qū)ξ矬w的萬有引力廠表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力/ng,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力尸向，如

下圖所示。

①在赤道上：C^^—mgi+marRo

②在兩極上：G^^=mg2o

③在一般位置：萬有引力華可分解為兩個(gè)分力：重力，wg與向心力/向。

越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，

GMm

即an一=mg。

3、忽略地球自轉(zhuǎn)影響

在地球表面附近，物體所受重力近似等于地球?qū)λ奈?，?咫=隼?？傻茫?/p>

①地球表面重力加速度8=筌，距地面高h(yuǎn)處重力加速度g，=（黑）2。有竟=a/，即g與到

地心距離的平方成反比。

②地球質(zhì)量知=弊；

CJ

③恒等式：GM=gR2。

以上各式對自轉(zhuǎn)可忽略的其他星球同樣適用。

4、處于地球上空不隨地球自轉(zhuǎn)的物體

在地球表面上，mg二窄,在〃高度處mg'二^^,所以g'隨高度的增加，重力加

速度減小，在計(jì)算時(shí)，這個(gè)因素不能忽略。

二、解題模板

1、解題思路

根據(jù)運(yùn)動學(xué)規(guī)律列方

程，求出重力加速度

2、注意問題

在地球上所有只在重力作用下的運(yùn)動形式，如自由落體運(yùn)動、豎直上拋運(yùn)動、平拋運(yùn)動、斜拋運(yùn)動等，

其運(yùn)動規(guī)律和研究方法同樣適用于在其他星球表面的同類運(yùn)動的分析，只是當(dāng)?shù)刂亓铀俣热≈挡煌选?/p>

3、解題方法

星體表面上的重力加速度問題，計(jì)算重力加速度的方法：

①在地球表面附近的重力加速度g（不考慮地球自轉(zhuǎn)）：mg=d喂,得且=瑾；

②在地球上空距離地心廠=氏+〃處的重力加速度為g，，mg1所以5=程3,隨高度的

增加，重力加速度減小，在計(jì)算時(shí)，這個(gè)因素不能忽略；

③地球表面的物體運(yùn)動規(guī)律的遷移應(yīng)用，在地球上所有只在重力作用下的運(yùn)動形式，如自由落體運(yùn)動、

豎直上拋運(yùn)動、平拋運(yùn)動、斜拋運(yùn)動等，其運(yùn)動規(guī)律和研究方法同樣適用于在其他星球表面的同類運(yùn)動的

分析，只是當(dāng)?shù)刂亓铀俣热≈挡煌选?/p>

牽掇極運(yùn)用

|（2024?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測）火星是距離太陽第四近的行星，也是太陽系中僅次于水星的第二小

的行星，為太陽系里四顆類地行星之一，其半徑R=3400km。我國發(fā)射的火星探測器"天問一號"在登陸火

星之前圍繞火星做圓周運(yùn)動，其環(huán)繞速度v與軌道半徑『之間的關(guān)系如圖甲所示。"天問一號"火星探測器成

功登陸火星表面后，“祝融號"火星車出艙進(jìn)行探測任務(wù)，如圖乙所示。某次任務(wù)時(shí)，火星車以速度物=0.5m/s

沿水平面勻速行駛，前方有一高度九=2m的斷崖，斷崖下方是平坦的地面。求：

⑴火星表面的重力加速度gA；

⑵火星車在斷崖下方地面著陸時(shí)的速度V。

］（2024?全國?模擬預(yù)測）為實(shí)現(xiàn)嫦娥六號探測器在月球背面與地面順利進(jìn)行通信，中國又發(fā)射了

“鵲橋二號"中繼衛(wèi)星，作為嫦娥六號探測器與地面聯(lián)系的橋梁，"鵲橋二號”中繼衛(wèi)星在環(huán)繞月球的大橢圓軌

道上運(yùn)行，其運(yùn)行周期為品。已知嫦娥六號探測器環(huán)繞月球表面飛行的周期為T,月球半徑為R,引力常

量為G,求：

（1）“鵲橋二號”中繼衛(wèi)星的軌道半長軸與月球半徑之比；

⑵月球表面的重力加速度；

⑶月球的密度。

題型04雙星和多星問題

這類題目考查學(xué)生應(yīng)用萬有引力定律、牛頓運(yùn)動定律、圓周運(yùn)動規(guī)律解決天體運(yùn)動問題的能力，對建

模能力、幾何作圖能力和分析推理能力要求較高。

一、必備基礎(chǔ)知識

1、雙星

定義：在天體運(yùn)動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點(diǎn)（公

共圓心）做周期相同的勻速圓周運(yùn)動的行星組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。它們在宇宙中

往往會相距較近，質(zhì)量可以相比，它們離其它星球都較遠(yuǎn)，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計(jì)。

2、雙星模型的條件

①兩顆星彼此相距較近。

②兩顆星利用相互之間的萬有引力做勻速圓周運(yùn)動。

③兩顆星繞同一圓心做圓周運(yùn)動。

3、雙星的特點(diǎn)

①“向心力等大反向”一各自所需的向心力由彼此間的互直引力相互提供，即兩星做勻速圓周運(yùn)動的

向心力相等，都等于兩者之間的萬有引力，故FI=F2,且方向相反，分別作用在兩顆行星上，是一對作用

力和反作用力。所以有號產(chǎn)=電。囹I,絲強(qiáng)=加2022r2。

②“周期、角速度相同”一一兩顆星做勻速圓周運(yùn)動的周期及魚速度都相同，即r=衛(wèi)，（01①2。

③“距離不變”一一兩星之間的距離不變，且兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，n+r2=Lo

④“半徑反比”一一圓心在兩顆行星的連線上，且n+n=L,兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動的半徑與行星

的質(zhì)量成反比，即言=今與星體運(yùn)動的線速度成反比。

￡3

⑤若在雙星模型中，圖中￡、如、7找2、G為已知量，雙星的運(yùn)動周期7=2

Gm\-\-m2°

4冗2/3

⑥若雙星運(yùn)動的周期為T,雙星之間的距離為LG已知，雙星的總質(zhì)量如+儂=啜"，即雙星系統(tǒng)

的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān)，而與雙星個(gè)體的質(zhì)量無關(guān)。

4、多星

多星定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度

或周期相同。

5、三星模型

①如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動，另外兩顆行星圍繞它做圓周運(yùn)動。

這三顆行星始終位于同一直線上，中心行星受力平衡。運(yùn)轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：隼"

,Gm2

ma.兩行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。

②如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動。每顆行

星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來提供。詈x2xcos30。=機(jī)。其中L=2rcos30。。

三顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。

6、四星模型

①如下圖所示，四顆質(zhì)量相等的行星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿外接于正方形的圓軌道做勻速圓周

運(yùn)動，誓x2xcos45。+匿=機(jī)”，其中r=冬。四顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大

小相等。

②如下圖所示,三顆質(zhì)量相等的行星位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，另一顆恒星位于正三角形的中心O點(diǎn)，

三顆行星以。點(diǎn)為圓心，繞正三角形的外接圓做勻速圓周運(yùn)動。詈x2xcos30。+甯GMm=皿。其中L=2rcos

30。。外圍三顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小均相等。（其中一種是四顆質(zhì)量相等的

恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動；另一種是三顆恒星始終位

于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中點(diǎn)O,外圍三顆星繞。做勻速圓周運(yùn)動。）

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

由于雙星和該固定點(diǎn)總保持三點(diǎn)共線，所以在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運(yùn)動

的角速度必相等，因此周期也必然相同。

由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由丹亞石可得

!

rx—,可得〃=——=—L,r2=———L,即固定點(diǎn)離質(zhì)量大的星較近。

mmx+m2mx+m2

列式時(shí)須注意：萬有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是心而向心力表達(dá)式中的

廠表示它們各自做圓周運(yùn)動的半徑，在本題中為不小千萬不可混淆。

當(dāng)我們只研究地球和太陽系統(tǒng)或地球和月亮系統(tǒng)時(shí)（其他星體對它們的萬有引力相比而言都可以忽略

不計(jì)），其實(shí)也是一個(gè)雙星系統(tǒng)，只是中心星球的質(zhì)量遠(yuǎn)大于環(huán)繞星球的質(zhì)量，因此固定點(diǎn)幾乎就在中心

星球的球心?？梢哉J(rèn)為它是固定不動的。

多顆行星在同一軌道繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，每顆行星做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由其它各個(gè)行

星對該行星的萬有引力的合力提供。

每顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，運(yùn)行周期、角速度和線速度大小相等。

注意利用幾何知識求半徑。

3、解題方法

①雙星或多星的特點(diǎn)、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動的軌道半徑。

②星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。

③星體的角速度相等。

④星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬有引力和

向心力。

第一板運(yùn)用

|（2024?廣東?模擬預(yù)測）某雙星系統(tǒng)中A、B兩星球的質(zhì)量都是相，相距工，它們正圍繞兩者連

線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。實(shí)際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值"，且

￥=k（k〈l）,于是有學(xué)者猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為星球C位于星球A、B

的連線正中間，相對星球A、B靜止。引力常量為G。求：

（1）A、B兩星球組成的雙星系統(tǒng)周期理論值7；的表達(dá)式；

（2）星球C的質(zhì)量（用總，〃表示）。

］（2024?廣東?階段練習(xí)）由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運(yùn)動

形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心在

三角形所在的平面內(nèi)做角速度相等的圓周運(yùn)動，如圖所示。已知星體A的質(zhì)量為4機(jī)，星體B、C的質(zhì)量均

為m,三角形邊長為乩求：

（1）星體A所受的合力大小4；

（2）星體A、B、C的向心加速度大小之比%A：%B：a.c。

砂橫極演秣

1.（2024?北京海淀?一模）1610年，伽利略用他制作的望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了木星的四顆主要衛(wèi)星。根據(jù)觀察，他

將其中一顆衛(wèi)星尸的運(yùn)動視為一個(gè)振幅為4周期為T的簡諧運(yùn)動，并據(jù)此推測，他觀察到的衛(wèi)星振動是

衛(wèi)星圓周運(yùn)動在某方向上的投影。如圖所示，是伽利略推測的衛(wèi)星尸運(yùn)動的示意圖，在尤Oy平面內(nèi)，質(zhì)量

為根的衛(wèi)星尸繞坐標(biāo)原點(diǎn)。做勻速圓周運(yùn)動。已知引力常量為G,不考慮各衛(wèi)星之間的相互作用。

（1）若認(rèn)為木星位于坐標(biāo)原點(diǎn)。，根據(jù)伽利略的觀察和推測結(jié)果：

①寫出衛(wèi)星尸做圓周運(yùn)動的向心力大小尸的表達(dá)式。

②求木星的質(zhì)量Mo

③物體做簡諧運(yùn)動時(shí)，回復(fù)力應(yīng)該滿足無-丘。請據(jù)此證明：衛(wèi)星P繞木星做勻速圓周運(yùn)動在x軸上的投

影是簡諧運(yùn)動。

（2）若將木星與衛(wèi)星尸視為雙星系統(tǒng)，彼此圍繞其連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，計(jì)算出的木星質(zhì)量為

請分析比較（1）②中得出的質(zhì)量跖與M的大小關(guān)系。

2.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）嫦娥六號探測器將于2024年6月登月。已知探測器在近月圓軌道運(yùn)行速度

大小為也月球半徑為R，萬有引力常量為G,不考慮月球的自轉(zhuǎn)。求