斜面模型（原卷版）-2023-2024學(xué)年高一物理模型（人教版必修第一冊(cè)）

專題08斜面模型

模型講解

一.斜面模型

斜面模型是高中物理中最常見的模型之一，斜面問題千變?nèi)f化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固

定，也可能運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)又分勻速和變速；斜面上的物體既可以左右相連，也可以上下疊加。物體之間可以

細(xì)繩相連，也可以彈簧相連。求解斜面問題，能否做好斜面上物體的受力分析，尤其是斜面對(duì)物體的作用

力（彈力和摩擦力）是解決問題的關(guān)鍵。

對(duì)沿粗糙斜面自由下滑的物體做受力分析，物體受重力加g、支持力尸心動(dòng)摩擦力/,由于支持力

FN=mgcos0,則動(dòng)摩擦力/=〃"=〃"gcos，，而重力平行斜面向下的分力為加gsin。，所以當(dāng)

加gsin。=〃"gcos。時(shí)，物體沿斜面勻速下滑，由此得sin。=〃cos。，亦即〃=tan。。

1.所以物體在斜面上自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)只取決于摩擦系數(shù)和斜面傾角的關(guān)系。

當(dāng)〃<tan。時(shí)，物體沿斜面加速速下滑，加速度a=g（sin。一〃cos。）；

當(dāng)〃=tan。時(shí)，物體沿斜面勻速下滑，或恰好靜止；

當(dāng)〃〉tan。時(shí)，物體若無初速度將靜止于斜面上；

2.對(duì)于光滑斜面無論物體下滑還是上滑加速度大小均為：a=gsind

3.對(duì)于粗糙斜面物體下滑過程加速度大小為：a=g（sin。-〃cos。）

上沖過程加速度大小為：a=g（sinO+〃cos。）

二.斜面模型的衍生模型----“等時(shí)圓”模型

1.“光滑斜面”模型常用結(jié)論

如圖所示，質(zhì)量為加的物體從傾角為0、高度為人的光滑斜面頂端由靜止下滑，則有如下規(guī)律：

（1）物體從斜面頂端滑到底端所用的時(shí)間t,由斜面的傾角0與斜面的高度/7共同決定，與物體的質(zhì)量無關(guān)。

1

關(guān)系式為t

sin。

（2）物體滑到斜面底端時(shí)的速度大小只由斜面的高度〃決定，與斜面的傾角。、斜面的長(zhǎng)度、物體的質(zhì)量無關(guān)。

關(guān)系式為"=京江

2.“等時(shí)圓”模型及其等時(shí)性的證明

1.三種模型（如圖）

2.等時(shí)性的證明

設(shè)某一條光滑弦與水平方向的夾角為a,圓的直徑為d（如圖）。根據(jù)物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直

2ds[na

線運(yùn)動(dòng)，加速度為。=8$畝位移為x=dsina,所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fo=Al=y1^.

0（\laVgsinag

即沿同一起點(diǎn)（圓的最高點(diǎn)）或終點(diǎn)（圓的最低點(diǎn)）的各條光滑弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短

無關(guān)。

案例剖析1

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【例1].如圖所示,斜面/C長(zhǎng)工=4m,傾角0=37。，CD段為與斜面平滑連接的水平地面。一個(gè)質(zhì)量加=2kg

的小物塊從斜面頂端/處由靜止開始滑下。小物塊與斜面、地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=06。不計(jì)空氣阻

力,g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求：

（1）小物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小

（2）小物塊滑到斜面底端C點(diǎn)時(shí)的速度大小v；

（3）求小物塊在水平地面上滑行的最遠(yuǎn)距離X。

A

k.............0^....................

//////////7/7///////////

CD

【例2】.如圖甲所示，P、。是某豎直面內(nèi)的兩點(diǎn)，它們之間的高度差〃=0.3m,水平距離1=1.2m。將

一根直金屬細(xì)桿沿尸。方向固定。將一個(gè)帶有小孔的珠子套在桿上，孔的直徑略大于桿的直徑。珠子恰好能

沿桿勻速下滑。

(1)求珠子與桿之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)；

(2)若將細(xì)桿彎折成尸N和NK兩段，如圖乙所示。其中PN與水平方向夾角為8,NK水平，P、N兩點(diǎn)

高度差為耳。它們之間由一段極短的圓弧連接。該圓弧只改變珠子的速度方向，不改變其大小。取sin6=0.6,

cose=0.8,g=10m/s2o將珠子從尸點(diǎn)由靜止釋放，若珠子滑到K位置停止滑動(dòng)，求K點(diǎn)到尸點(diǎn)的水平距

【例3].如圖在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，使雨水盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦

地流動(dòng)，試分析：在屋頂寬度(2￡)一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少？

【例4】圖甲是某景點(diǎn)的山坡滑道圖片，為了探究滑行者在滑道直線部分滑行的時(shí)間，技術(shù)人員通過測(cè)

量繪制出如圖乙所示的示意圖。是滑道，。點(diǎn)是/C豎直線上的一點(diǎn)，且有ND=DB=20m,滑道N3可視

為光滑，滑行者從坡頂/點(diǎn)由靜止開始沿滑道N3向下做直線滑動(dòng)，g取10m/s2,則滑行者在滑道N8上滑

行的時(shí)間為多少？

A

EB

圖乙

綜合應(yīng)用

一、單選題

i.如圖所示，一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊先后沿兩光滑斜面I和n從頂端由靜止滑下，到達(dá)底端的時(shí)間分別為力

和〃，斜面I與水平面的夾角為30。，斜面H與水平面的夾角為45。（未標(biāo)出），則（）

A.tx>t2B.￡=GC.D.無法判斷

2.如圖甲所示，在傾角為8=30。的固定斜面頂端靜止一個(gè)質(zhì)量為根的木塊，在斜面底端裝有一個(gè)位移傳

感器，位移傳感器與電腦相連。己知位移傳感器可以測(cè)量木塊與傳感器間的距離x并通過數(shù)據(jù)線輸入電腦。

置于斜面頂端的木塊以某一初速度沿斜面下滑，以x為縱軸，以時(shí)間f為橫軸，得到如圖乙所示的XT圖像,

圖中的斜虛線為圖線的切線，切點(diǎn)為（0,%）。圖中％=lm、X]=0.4m、力=0.5s、4=0.4s。已知重力加

速度為g=10m/s2,則下列判斷正確的是（）

A.木塊的初速度為%="*=L2m/s

,0

B.木塊運(yùn)動(dòng)加速度的大小為2.5m/s2,方向沿斜面向下

C.木塊運(yùn)動(dòng)加速度的大小為2.5m/s2,方向沿斜面向上

D.木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃<tan30°

3.如圖（a）,一物塊在f=0時(shí)刻沖上一固定斜面，其運(yùn)動(dòng)的v-f圖線如圖（b）所示。若重力加速度g及

圖中的％、匕、4均為已知量，則根據(jù)這些信息，不能求出（）

A.物塊的質(zhì)量B.斜面的傾角

C.物塊沿斜面向上滑行的最大距離D.物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)

4.如圖所示，某幼兒園要做一個(gè)兒童滑梯，設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)場(chǎng)地大小確定滑梯的水平跨度為L(zhǎng)滑板和兒童之

間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，假定最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，為使兒童在滑梯中能沿滑板無初速滑下，則滑梯

L

A.RLB-

L

c.一D.+金L

5.如圖所示，豎直平面內(nèi)存在半徑為R的大圓和半徑為r的小圓，兩個(gè)圓的公切線水平，有兩條傾斜的光

滑軌道，一條與大圓相交于/、B兩點(diǎn)，N點(diǎn)為大圓的最高點(diǎn)，另一條軌道一端交于大圓的。點(diǎn).另一端交

于小圓的D點(diǎn)，且過大圓和小圓的公切點(diǎn)?，F(xiàn)讓一物體分別從兩條軌道的頂端/、C由靜止釋放，分別滑

到B點(diǎn)和。點(diǎn)（假設(shè)物體能夠無障礙地穿過CD與圓的交叉點(diǎn)），物體在兩條軌道上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為加、

tCD,重力加速度為g,下列判斷正確的是（）

B.tAB>%D

6.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)自傾角為。的斜面上方定點(diǎn)/,沿光滑斜槽從靜止開始滑下，為了使質(zhì)點(diǎn)在最短時(shí)間到達(dá)斜面,

斜槽與豎直方向的夾角,應(yīng)等于（）

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A.—aB.aC.aD.0

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7.如圖，AC,8c為位于豎直平面內(nèi)的兩根光滑細(xì)桿，AC<BC,A、B、。恰好位于同一圓周上，C為最

低點(diǎn)，a、b為套在細(xì)桿上的兩個(gè)小環(huán)，當(dāng)兩環(huán)同時(shí)從/、2兩點(diǎn)由靜止開始自由下滑到C的過程中，下面

C

A.加速度大小相同B.時(shí)間相同

C.末速度大小相同D.平均速度大小相同

二、多選題

8.如圖所示，1、2、3、4四小球均由靜止開始沿著光滑的斜面從頂端運(yùn)動(dòng)到底端，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為小

t2、t3、t4。已知豎直固定的圓環(huán)的半徑為心。為圓心，固定在水平面上的斜面水平底端的長(zhǎng)度為gr,重

力加速度為g,下列說法正確的是（)

A.wt?

三、解答題

9.伽利略被譽(yù)為“經(jīng)典物理學(xué)的奠基人”，他認(rèn)為將A、B兩個(gè)斜面對(duì)接起來，讓小球沿斜面A從靜止?jié)L下,

小球滾上另一斜面B。如果無摩擦，無論斜面B比斜面A陡些還是緩些，小球最后總會(huì)在斜面B上的某點(diǎn)

速度變?yōu)榱?，這點(diǎn)據(jù)斜面底端的豎直高度與它出發(fā)時(shí)的高度相同。如圖所示，設(shè)起點(diǎn)為P終點(diǎn)為“，已知

a=45°,p=30°,試求：

(1)小球在A、B兩斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小之比；

(2)小球從尸到g的過程中，在A、B兩斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比。

10.一足夠長(zhǎng)的斜面固定在水平地面上，斜面傾角。=30。，斜面分為粗糙程度不同的段和BC段。NB段

長(zhǎng)22.5m,與物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃-5c段足夠長(zhǎng)，與物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃?，4重力加速

度g=10m/s2。質(zhì)量機(jī)=2kg的物體恰好能在斜面的48段勻速下滑。

(1)求斜面段的動(dòng)摩擦因數(shù)M；

(2)如圖所示，如果給物體一個(gè)方向沿斜面向上的拉力尸=30N,使物體從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)

時(shí)立即撤去拉力F,求物體再次回到B點(diǎn)時(shí)的速度。

11.一質(zhì)量為/=lkg的滑塊能在傾角為8=37。的足夠長(zhǎng)的斜面上以Zm/s?勻加速下滑。如圖所示，若用一

水平向右的恒力尸作用于滑塊，使之由靜止開始在f=2s內(nèi)能沿斜面運(yùn)動(dòng)的位移為x=hn,求：（取

g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）滑塊和斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃；

（2）恒力尸的大小。

12.傾角6=30。的斜面固定在水平地面上，有一質(zhì)量加=3kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止于斜面底端，將

一平行于斜面向上的恒力b=45N作用于小物塊上，使其由靜止開始沿斜面向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小物塊

運(yùn)動(dòng)。=2s后撤去恒力尸，再經(jīng)過時(shí)間A2（大小未知）小物塊靜止且剛好到達(dá)斜面的頂端。已知小物塊與斜

面間的動(dòng)摩擦因數(shù)必=￡,取重力加速度大小g=10m/s2,求：

（1）t2；

（2）斜面的長(zhǎng)度

13.如圖甲，天臺(tái)安科村滑草場(chǎng)驚險(xiǎn)刺激，深受人們喜愛。簡(jiǎn)化圖像如圖乙所示，假設(shè)某人坐在滑板上從

斜坡的高處/點(diǎn)由靜止開始滑下，滑到斜坡底端2點(diǎn)后，沿水平的滑道再滑一段距離到。點(diǎn)停下來。如果

人和滑板的總質(zhì)量機(jī)=60kg,滑板與斜坡滑道和水平滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=0.5,斜坡的傾角。=37。

（sin37°=0.6,cos37°=0.8）,斜坡與水平滑道間是平滑連接的，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中空氣阻力忽略不計(jì)，重

力加速度為g=10m/s2。求：

（1）人從斜坡上滑下的加速度為多大？

（2）若距離為10m,求人和滑板滑到斜面底端的速度大小？

（3）若由于場(chǎng)地的限制，水平滑道的最大距離為C=20.0m,則人在斜坡上滑下的距離應(yīng)不超過多

少？

14.一個(gè)小物塊以初速度%=10m/s沖上足夠長(zhǎng)的粗糙斜面，斜面傾角0,物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，

小物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的V—圖像如圖所示，重力加速度g取10m/s?，求斜面傾角0的正弦值sin。及物塊與

斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃。

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