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2025屆南京市重點(diǎn)中學(xué)高三第二學(xué)期期終學(xué)習(xí)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列選項(xiàng)中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件2.已知直線:與圓:交于,兩點(diǎn),與平行的直線與圓交于,兩點(diǎn),且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④3.閱讀如圖的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.6.馬林●梅森是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物,梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作,人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn),將形如2P﹣1(其中p是素?cái)?shù))的素?cái)?shù),稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.67.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.8.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.9.如圖,中,點(diǎn)D在BC上,,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,,則,的大小關(guān)系是()A. B.C.,兩種情況都存在 D.存在某一位置使得10.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個(gè)向量,它的長(zhǎng)度,若,,則()A. B.C.6 D.11.若的內(nèi)角滿足,則的值為()A. B. C. D.12.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的焦距為,若過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為,則雙曲線的離心率為____________.15.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a216.已知數(shù)列滿足:點(diǎn)在直線上,若使、、構(gòu)成等比數(shù)列,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意恒成立.18.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.19.(12分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,且.(I)求角的大??;(Ⅱ)若,求面積的取值范圍.20.(12分)已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、,焦距為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、,設(shè)為直線上一點(diǎn),且直線、的斜率的積為.證明:點(diǎn)在軸上.21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.22.(10分)已知數(shù)列滿足,,,且.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.2.D【解析】
求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時(shí)滿足條件,根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點(diǎn)到直線的距離公式.3.C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,計(jì)算前幾次的運(yùn)算規(guī)律,得出運(yùn)算的周期性,確定跳出循環(huán)時(shí)的n的值,進(jìn)而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項(xiàng)為周期的計(jì)算規(guī)律,所以當(dāng)時(shí),跳出循環(huán),此時(shí)和時(shí)的值對(duì)應(yīng)的相同,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問題,其中解答中認(rèn)真審題,得出程序運(yùn)行時(shí)的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力.4.A【解析】
設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問題,一般求橢圓離心率的問題時(shí),通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.6.C【解析】
模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運(yùn)行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時(shí),不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.8.B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.9.A【解析】
根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案.【詳解】由題可得過點(diǎn)作交于點(diǎn),過作的垂線,垂足為,則易得,.設(shè),則有,,,可得,.,,;,;,,,.綜上可得,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10.D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,引入新定義,屬于簡(jiǎn)單題目.11.A【解析】
由,得到,得出,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由題意,角滿足,則,又由角A是三角形的內(nèi)角,所以,所以,因?yàn)?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì),以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問題,著重考查了推理與計(jì)算能力.12.C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
求導(dǎo),研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題14.【解析】
利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為,過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn),則,,由已知,,即,所以,離心率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式,是一道容易題.15.-2【解析】試題分析:∵a2考點(diǎn):等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式16.13【解析】
根據(jù)點(diǎn)在直線上可求得,由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上,,成等比數(shù)列,,即,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問題,涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)見解析【解析】
(1)因?yàn)?,可得,即可求得答案;?)要證對(duì)任意恒成立,即證對(duì)任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時(shí),,即可求得答案.【詳解】(1),,,函數(shù)在處的切線方程為.(2)要證對(duì)任意恒成立.即證對(duì)任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時(shí),,,令,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,即當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵是掌握由導(dǎo)數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證不等式恒成立的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.18.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點(diǎn)M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點(diǎn)M,連接ME,則.因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)槠矫鍭BC,所以點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點(diǎn),連接,OB.因?yàn)闉檎切?,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點(diǎn)到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行,計(jì)算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題型,一般證明線面平行的方法1.證明線線平行,則線面平行,2.證明面面平行,則線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對(duì)邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線.19.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【詳解】(I)因?yàn)椋?,,,或,或,因?yàn)椋运?;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),又因?yàn)椋?,所以【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20.(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知條件得出、的值,進(jìn)而可得出的值,由此可求得橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn),可得,且,,求出直線的斜率,進(jìn)而可求得直線與的方程,將直線直線與的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題設(shè),得,所以,即.故橢圓的方程為;(2)設(shè),則,,.所以直線的斜率為,因?yàn)橹本€、的斜率的積為,所以直線的斜率為.直線的方程為,直線的方程為.聯(lián)立,解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,則,所以點(diǎn)在軸上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線的證明,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中等題.21.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.第(Ⅰ)問,對(duì)求導(dǎo),再對(duì)a進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)問,構(gòu)造函數(shù)=(),
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