2025屆陜西省榆林市第十二中學(xué)高三摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題文試題

2025屆陜西省榆林市第十二中學(xué)高三摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題文試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，使得是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．3．中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或4．設(shè)命題函數(shù)在上遞增，命題在中，，下列為真命題的是（）A． B． C． D．5．在滿足，的實(shí)數(shù)對中，使得成立的正整數(shù)的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．96．若,,,則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．7．的展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點(diǎn)在線段上，以為直徑的圓過點(diǎn).若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．9．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．10．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．1311．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．12．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為該拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，則球的體積為__________．14．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)的一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率取值范圍為_________.15．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a216．已知在等差數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，圓過且斜率為的直線交圓于兩點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，已知當(dāng)時(shí)，（1）求橢圓的方程.（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.18．（12分）如圖，是正方形，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）在中，．（1）求的值；（2）點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），設(shè)，求的取值范圍．21．（12分）如圖1，在邊長為4的正方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可知，可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上，即曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)取得極大值，也即為最大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿足條件．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.2、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.3、A【解析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論：

①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有：②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯(cuò)誤答案．4、C【解析】

命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可判斷出真假．命題：在中，利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假．【詳解】解：命題：函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此是假命題．命題：在中，在上單調(diào)遞減，所以，是真命題．則下列命題為真命題的是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

由題可知：，且可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即整理得，令，設(shè)，則，令,則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)?，，由題可知：時(shí)，則，所以，所以，當(dāng)無限接近時(shí)，滿足條件，所以，所以要使得故當(dāng)時(shí)，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.6、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論．【詳解】由題意展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開式中某項(xiàng)系數(shù)．同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式．8、C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關(guān)系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè)，，則.因?yàn)槠矫妫矫?，所?又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡得.在中，，.所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬中檔題.9、C【解析】因?yàn)?，所以的虛部是，故選C.10、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運(yùn)算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，求出正方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.【詳解】解：因?yàn)椋瑸檎切?，所以，因?yàn)椋匀忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的對角線長為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題.14、【解析】

設(shè)，設(shè)出直線AB的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到，據(jù)此求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，直線AB的參數(shù)方程為，(為參數(shù))代入圓，化簡得：，，，，存在點(diǎn)，使得，，即，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題.15、-2【解析】試題分析：∵a2考點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式16、39【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,再利用基本量法列式求解公差與首項(xiàng),進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,根據(jù)題意可得,解得,所以.故答案為：39【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前n項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先求出圓心到直線的距離為，再根據(jù)得到，解之即得a的值，再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出，，再求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且斜率.所以直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，又因?yàn)?，圓的半徑為，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率，則點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，所以，即，把代入橢圓方程得，，因?yàn)橹本€的斜率，所以，因?yàn)橹本€經(jīng)過和，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組得，解得或，所以，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得，由此證得平面.（2）判斷出三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，所以.又，所以平面.（2）解：顯然，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，三棱錐的體積也最大.不妨設(shè)，記中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）或；（2）【解析】

（1）使用零點(diǎn)分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為.①當(dāng)時(shí)，則，所以；②當(dāng)時(shí)，則，所以；⑧當(dāng)時(shí)，則，所以.綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應(yīng)用，同時(shí)掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可；（2）在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:（1）在中,,所以,所以（2）由（1）可知,所以,在中,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應(yīng)用.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用線面平行的定義證明即可（2）取的中點(diǎn)，并分別連接，，然后，證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明：（1）在圖1中，連接.又，分別為，中點(diǎn)，所以.即圖2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在圖2中，取的中點(diǎn)，并分別連接，.分析知，，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，，.分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)