四川省眉山市第一中學(xué)2025年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題周練二不含附加題

四川省眉山市第一中學(xué)2025年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題周練二不含附加題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在中，，則=（）A． B．C． D．4．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A． B． C． D．6．雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)交兩漸近線(xiàn)于兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的其中一個(gè)交點(diǎn)為，若，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A． B． C． D．7．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)8．記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，且對(duì)中的任意兩項(xiàng)與（），其和，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則（）A． B．C． D．9．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則=（）A． B．C． D．10．如圖，在正方體中，已知、、分別是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且.則下列直線(xiàn)與平面平行的是（）A． B． C． D．11．在等腰直角三角形中，，為的中點(diǎn)，將它沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．12．已知集合，則集合的非空子集個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．7 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有以下四個(gè)命題：①在中，的充要條件是；②函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)的充要條件是；③對(duì)于函數(shù)，若，則必不是奇函數(shù)；④函數(shù)與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.14．已知數(shù)列滿(mǎn)足：點(diǎn)在直線(xiàn)上，若使、、構(gòu)成等比數(shù)列，則______15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則滿(mǎn)足的正整數(shù)的值為_(kāi)_____.16．已知a，b均為正數(shù)，且，的最小值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為；（1）求直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；(2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，求的值．19．（12分）已知橢圓，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使成立，說(shuō)明理由.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程是為參數(shù)），曲線(xiàn)的參數(shù)方程是為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線(xiàn)和曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（2）已知射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，射線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若的面積為1，求的值和弦長(zhǎng)．21．（12分）車(chē)工劉師傅利用數(shù)控車(chē)床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘的概率.22．（10分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由已知向量的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，設(shè)與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.2、A【解析】

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，求直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增；根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時(shí)，得，解得；當(dāng)與（）相切時(shí)，滿(mǎn)足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題3、B【解析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件,即該重卦沒(méi)有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻的概率,再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”的對(duì)立事件是“該重卦沒(méi)有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻”,其中,沒(méi)有陽(yáng)爻（即6個(gè)全部是陰爻）的情況有1種,只有1個(gè)陽(yáng)爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.6、D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的交點(diǎn)，再利用，求出點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線(xiàn)方程整理得：，又因?yàn)?，即可得到，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計(jì)算雙曲線(xiàn)的離心率或范圍，屬于中檔題．7、B【解析】

圓心在的中垂線(xiàn)上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與相切的圓的圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，圓心在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于2個(gè)點(diǎn)，得到2個(gè)圓．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，又焦點(diǎn)，，由拋物線(xiàn)的定義知，過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓的圓心即為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，這樣的交點(diǎn)共有2個(gè)，故過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線(xiàn)上，且在垂直平分線(xiàn)上．8、D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng)，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，，，，只有是該數(shù)列中的項(xiàng)，同理可以得到，，，也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有，，或（舍，，根據(jù)，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．9、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

連接，使交于點(diǎn)，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．11、D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線(xiàn)中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設(shè)外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線(xiàn)中點(diǎn)，設(shè)幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.12、C【解析】

先確定集合中元素，可得非空子集個(gè)數(shù)．【詳解】由題意，共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有7個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有個(gè)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】

由三角形的正弦定理和邊角關(guān)系可判斷①；由零點(diǎn)存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②；由，結(jié)合奇函數(shù)的定義，可判斷③；由函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)可判斷④．【詳解】解：①在中，，故①正確；②函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，比如在存在零點(diǎn)，但是，故②錯(cuò)誤；③對(duì)于函數(shù)，若，滿(mǎn)足，但可能為奇函數(shù)，故③錯(cuò)誤；④函數(shù)與的圖象，可令，即，即有和的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即對(duì)稱(chēng)，故④錯(cuò)誤．故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和對(duì)稱(chēng)性、奇偶性的判斷，考查判斷能力和推理能力，屬于中檔題．14、13【解析】

根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)上可求得，由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上，，成等比數(shù)列，，即，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問(wèn)題，涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、6【解析】

已知，利用，求出通項(xiàng)，然后即可求解【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，故數(shù)列是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列，∴.又，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡(jiǎn)為，然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為，在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.（2）由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加，可得，即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題..18、（Ⅰ）,曲線(xiàn)（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）消去參數(shù)可得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)系方程，由可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）將（為參數(shù)）代入曲線(xiàn)的方程得：，，利用韋達(dá)定理求解即可.試題解析：（1），曲線(xiàn)，（2）將（為參數(shù)）代入曲線(xiàn)的方程得：.所以.所以.19、（1）（2）存在；詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)得，解得后可得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)為，代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入＝0由恒成立問(wèn)題可求得．驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也適合即得．【詳解】解：（1）由題易知解得，所以橢圓方程為（2）設(shè)當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)為與橢圓方程聯(lián)立得，顯然所以因?yàn)榛?jiǎn)解得即所以此時(shí)存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題意當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，顯然也滿(mǎn)足綜上所述，存在定點(diǎn)，使成立【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題中的定點(diǎn)問(wèn)題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法．設(shè)而不求思想方法是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題中常用方法，只要涉及交點(diǎn)坐標(biāo)，一般就用此法．20、（1）,；（2）.【解析】

（1）先把直線(xiàn)和曲線(xiàn)的參數(shù)方程化成普通方程，再化成極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立極坐標(biāo)方程，根據(jù)極徑的幾何意義可得，再由面積可解得極角，從而可得．【詳解】（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程是為參數(shù)），消去參數(shù)得直角坐標(biāo)方程為：．轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為：，即．曲線(xiàn)的參數(shù)方程是（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：，化為一般式得化為極坐標(biāo)方程為：．

（2）由于，得，．所以，所以，由于，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.21、（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出劉師傅講座及加工個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率.【詳解】（1）的分布列如下：202530350.150