(4)-專題04 探索規(guī)律（43題）

2024年小升初數(shù)學(xué)重難點(diǎn)&壓軸題專練

第四講探索規(guī)律（43題）

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)一：比算術(shù)中的規(guī)律

1．（2023?隆昌市）如表，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，

使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等。若取最左端3個(gè)格子中的后兩個(gè)記作

x、y，那么x﹣y＝。

8xy74……

2．（2023?海曙區(qū)）如圖，張亮在計(jì)算機(jī)課上編制了一個(gè)計(jì)算小程序，輸入一個(gè)數(shù)后，小程序

通過計(jì)算會(huì)輸出另一個(gè)數(shù)。請(qǐng)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題。

①輸入3，輸出11

②輸入7，輸出27

③輸入10，輸出39

（1）輸入，輸出47；

（2）如果輸入a，輸出。

3．（2022?宜昌）如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的

結(jié)果為24，第2次輸出的結(jié)果為12，……，第2022次輸出的結(jié)果為。

4．“次方之美”。當(dāng)你把相同的數(shù)進(jìn)行重復(fù)相乘，你就會(huì)使用到次方來進(jìn)行描述。

比如：8×8×8×8＝84（4個(gè)8相乘）

7×7×7×7×7×7＝76（6個(gè)7相乘）

根據(jù)以上信息判斷對(duì)錯(cuò)。對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”。

（1）816是815的8倍。

（2）810是8的10倍。

下面是7的1﹣9次方。請(qǐng)留心數(shù)變化的規(guī)律!這些數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字遵循了一個(gè)規(guī)律。

研究該規(guī)律并回答如下的問題。

71＝7

72＝49

73＝343

第1頁共40頁

74＝2401

75＝16807

76＝117649

77＝823543

78＝5764801

79＝40353607

那么7190的最后一個(gè)數(shù)字是。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)二：數(shù)列中的規(guī)律

5．（2023?大渡口區(qū)）有一列數(shù)：1，，，，，，，，，，，，，，

，……，則是第（）個(gè)數(shù)。

A．88B．94C．88或94D．81或88

6．（2023?阿城區(qū)）找規(guī)律填數(shù)。

3，11，20，30，，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，，……

7．（2023?鐵西區(qū)）有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是100，第二個(gè)數(shù)是90，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都

是它前面兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．第三十個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是．

8．（2023?金安區(qū)）數(shù)學(xué)老師巴爾末成功的從光譜數(shù)據(jù)，，，……中得到巴爾末公

式，從而打開了光譜奧秘大門。請(qǐng)你按照這種規(guī)律，寫出第7個(gè)數(shù)據(jù)是。

9．（2023?上虞區(qū)）找規(guī)律，填一填。

（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，這列數(shù)的每一項(xiàng)越來越大，越來越接近。

（2），……，這列數(shù)的每一項(xiàng)越來越小，越來越接近。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)三：“式”的規(guī)律

10．（2023?如東縣）“142857”是個(gè)神奇的數(shù)，它的2倍至6倍，都是由1、4、2、8、5、7

這六個(gè)數(shù)字組成的。比如：142857×4＝571428，142857×6＝857142，更神奇的是，單位

是的幾個(gè)真分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字也是由這些數(shù)字組成的。比如：＝

0.714285714285714285……，請(qǐng)你推算一下，化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第40位上的數(shù)字

是，小數(shù)點(diǎn)后面前40位數(shù)字的和是。

11．（2023?南京）

第2頁共40頁

＝4+2+1＝﹣1＝7

4n+2n+n＝﹣＝7n

12．（2023?如皋市）思考與探究。

（1）我來算一算：

62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（+）×（﹣）

a2﹣b2＝（+）×（﹣）

（2）按照上面的規(guī)律計(jì)算：

252+232﹣242﹣222＝

＝

＝

13．（2023?鳳城市）根據(jù)算式的規(guī)律填空：，，……在計(jì)算＝

中，寫出〇、□表示的整數(shù)：〇＝，□＝。

14．（2023?錫山區(qū)）數(shù)的計(jì)算中有一些有趣的對(duì)稱形式，如：12×231＝132×21；23×352＝

253×32。現(xiàn)在有兩個(gè)與此規(guī)律相同的等式，請(qǐng)完成填空。

（1）45×594＝×；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)四：數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律

15．（2023?余干縣）如圖，第一個(gè)圖形需要3根火柴，第（2）（3）（4）個(gè)圖形各需要5、7、

9根火柴。則第50個(gè)圖形需要火柴（）根。

A．101B．51C．201D．103

16．（2023?禮泉縣）下面是由完全相同的正方形按規(guī)律擺成的圖形，第1個(gè)圖中有1個(gè)正方

形，第2個(gè)圖中有3個(gè)正方形，第3個(gè)圖中有6個(gè)正方形，第4個(gè)圖中有10個(gè)正方

形，……，按此規(guī)律，第8個(gè)圖中有（）個(gè)正方形

A．42B．40C．38D．36

第3頁共40頁

17．（2023?淥口區(qū)）如圖（單位：厘米），用完全相同的等腰梯形拼圖形，照這樣的規(guī)律地拼

下去，拼出的第7個(gè)圖形是形，拼出的第6個(gè)圖形的周長是厘米。

18．（2023?榮昌區(qū)）找規(guī)律：

（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝2，……，1+3+5+7+9+11+13＝2。

（2）如圖，1張桌子可坐6人，2張桌子可坐10人。照這樣擺下去，8張桌子可坐

人，n張桌子可以坐人。

19．（2023?石柱縣）如圖的每一個(gè)圖形都是由△、□、〇中的兩個(gè)組成的。觀察各個(gè)圖形，

根據(jù)圖形下面的數(shù)找出規(guī)律，畫出表示“31”和“12”的圖形。

113221133112

20．（2023?浦口區(qū)）別有“動(dòng)”天。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常對(duì)一些非常規(guī)問題束手無策，因?yàn)榱?xí)慣了常規(guī)地想問題，不會(huì)變通。

如果用運(yùn)動(dòng)的眼光來觀察，可能會(huì)有不一樣的發(fā)現(xiàn)。

如圖1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面

積。

軒軒思考涂色部分是三角形BEC，這個(gè)三角形的底和高都不知道，正當(dāng)他一籌莫展時(shí)，點(diǎn)

B動(dòng)起來了，它沿著BA向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，形成三角形ADE（如圖2）。這時(shí)三

角形ADE和圖1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面積相等，形成的大三角形ADC

的面積和圖1涂色部分的三角形BCE面積相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘

米，面積是平方厘米，即涂色部分面積。

通過點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，形成新的圖形，問題迎刃而解。既然點(diǎn)可以動(dòng)起來，那么線段呢？

如圖3，一個(gè)長方形被分成四個(gè)小長方形，其中涂色部分長方形的周長分別是14厘米和8

第4頁共40頁

厘米。原來長方形的周長是多少厘米？

線段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。

發(fā)現(xiàn)原來長方形的周長就是兩個(gè)涂色部分周長的，從而巧妙解題。

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、線的運(yùn)動(dòng)……運(yùn)動(dòng)的對(duì)象不同，解題思路卻異曲同工。

靜中有動(dòng)，動(dòng)中有靜，動(dòng)靜變換之中靈感無限。請(qǐng)嘗試解決圖4和圖5中的問題。

（1）圖4中涂色部分是一個(gè)正方形，那么長方形ABCD的周長是厘米。

（2）圖5大正方形邊長為14厘米，涂色部分正方形的面積是平方厘米。

圖形里的“點(diǎn)、線、面”活潑好“動(dòng)”，讓解題思路別有“動(dòng)”天，令人茅塞頓開，如入

“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”之境。

通過上面的學(xué)習(xí)，令人印象深刻的有。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)五：數(shù)表中的規(guī)律

21．（2023?漳平市）觀察如圖①，尋找規(guī)律。如圖②、如圖③分別是從如圖①中截取的一部

分，其中a的值為，b的值為。

22．用下面的形狀在右邊數(shù)表中任意框出5個(gè)數(shù)，連續(xù)框幾次，找一找其中的規(guī)律。

（1）如果用a表示框中涂色位置的數(shù)，用T表示5個(gè)數(shù)的和，你能用含有字母的式子表

示出其中的規(guī)律嗎？

（2）小明說：“他框出5個(gè)數(shù)的和是270?！蹦阏J(rèn)為對(duì)嗎？如果對(duì)，算一算a是多少？如果

不對(duì)，請(qǐng)說明理由。

第5頁共40頁

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)六：事物的間隔排列規(guī)律

23．（2022?英德市）海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規(guī)律發(fā)出亮光，如圖是表示前15秒燈

光明暗的變化情況：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是的。

24．（2022?拜泉縣）有同樣大小的紅、白、黑珠共180顆，按5個(gè)紅、4個(gè)白、3個(gè)黑的順序

排列，第56顆珠子是色，前73顆珠中共有黑珠顆。

25．（2023?海淀區(qū)）中心公園掛有甲、乙兩款燈籠串，每款燈籠串都是由大燈籠和小燈籠組

合而成的（如圖1）。大燈籠共有16個(gè)，小燈籠共有46個(gè)。甲、乙燈籠串各有多少串？

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)七：事物的簡單搭配規(guī)律

26．（2023?鄭州）如圖，〇、△、□各表示一個(gè)兩位數(shù)中的其中一個(gè)數(shù)字，觀察下面圖與數(shù)

的關(guān)系，第4圖形表示的兩位數(shù)是（）

A．54B．43C．34

27．（2023?慶云縣）下列圖形是由一些小正方形和實(shí)心圓按一定規(guī)律排列而成的，如圖所示，

按此規(guī)律排列下去，第n個(gè)圖形有個(gè)實(shí)心圓。

第6頁共40頁

28．（2021?威遠(yuǎn)縣）李老師要把語文、數(shù)學(xué)、英語、科學(xué)4本書（各1本）分給麗麗、陽陽、

聰聰三個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少分其中的一本，一共有種不同的分法。

29．（2023?樂陵市）足球世界杯每四年舉行一次，國際足聯(lián)規(guī)定冠軍獎(jiǎng)品為大力神杯，此杯

為流動(dòng)獎(jiǎng)品，1974年第十屆足球世界杯第一次啟用。

（1）在大力神杯的底座下面有能容納鐫刻17個(gè)冠軍隊(duì)名字的銘牌，此杯可以持續(xù)使用到

第多少屆，是哪一年？

（2）足球一般是用黑白兩種顏色的皮子縫制而成的，黑色皮子是五邊形，白色皮子是六邊

形（如圖），每一塊黑色皮子都與5塊白色皮子相接，每一塊白色皮子都連接3塊黑色皮子。

已知一個(gè)足球上黑色皮子共有12塊，請(qǐng)你計(jì)算白色皮子共有多少塊？

（3）北京時(shí)間2023年3月14日晚，國際足聯(lián)官方確認(rèn)，2026年世界杯比賽賽制做出調(diào)

整：首度擴(kuò)軍48支球隊(duì)，將被分為12個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)進(jìn)行比賽。小組賽采用

單循環(huán)賽（小組內(nèi)所有參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，每兩隊(duì)之間只賽一場）。每組前2名及

8支成績最好的小組第3名，將晉級(jí)32強(qiáng)，此后采用淘汰賽（兩個(gè)參賽隊(duì)伍用一場比賽定

勝負(fù)），產(chǎn)生16強(qiáng)、8強(qiáng)、4強(qiáng)、2強(qiáng)，最后決出冠亞軍、第3和4名。至此，本屆世界杯

的所有比賽結(jié)束。

根據(jù)以上信息，算一算，每個(gè)小組內(nèi)一共要比賽幾場？整個(gè)小組賽一共有多少場？2026年

世界杯足球賽全程共有多少場？

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)八：簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律

30．（2023?深州市）六一兒童節(jié)，一年級(jí)（2）班的學(xué)生用彩燈布置教室，按“兩紅、三藍(lán)、

兩紫”的順序排列，第57盞燈是（）

A．紅色B．藍(lán)色C．紫色

31．（2023?漣水縣）化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第2000位上的數(shù)字是（）

A．4B．2C．8D．5

32．海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規(guī)律發(fā)出亮光，下圖表示前15秒燈光明暗的變化規(guī)律，

第7頁共40頁

第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第36秒是的，第52秒是的。

33．（2023?襄城區(qū)）如圖，“楊輝聚六圖”是由我國南宋杰出的數(shù)學(xué)家楊輝所研究出來的，它

是由1，2，3，……，35，36無重復(fù)排列而成的圖形，“楊輝聚六環(huán)”其每一環(huán)6個(gè)數(shù)之

和均相等，則這個(gè)和為，其中一環(huán)中還差個(gè)數(shù)，它是。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)九：簡單圖形覆蓋現(xiàn)象中的規(guī)律

34．用在如圖數(shù)表中任意框出4個(gè)數(shù)，如果用a表示框中涂色位置的數(shù)，框中4

個(gè)數(shù)的和是；如果框中的4個(gè)數(shù)的和是142，那么a是。

35．（2021?溧陽市）觀察2021年5月的月歷卡。如果用形如的方框去框月歷卡中的日

期數(shù)，a表示框中的第一個(gè)數(shù)，則？處表示的數(shù)是；小明一家外出旅游5天

回家這5天的日期數(shù)之和是20，小明一家號(hào)回家。

第8頁共40頁

36．（2021?灌南縣）如圖，是一扎某品牌瓶裝飲用水。這扎飲用水被取走了瓶。

37．（2021?姜堰區(qū)）如圖是今年六月份的月歷，用形如長方形平行移動(dòng)去框月歷卡

里的日期數(shù)，每次同時(shí)框出3個(gè)數(shù)。觀察月歷完成下面問題。

（1）在這張?jiān)職v上，畫出用這個(gè)長方形框出和是42的3個(gè)數(shù)；

（2）如果用a表示框中的第一個(gè)數(shù)，框出的3個(gè)數(shù)和是；

（3）在這張?jiān)職v上，能框出和是57的3個(gè)數(shù)嗎？，84呢？。（在橫線

上填“能”或“不能”）

38．（2021?東?？h）圖1是2021年6月的月歷表。小明用如圖2所示的“十字”型框圖放置

到月歷表合適的位置上，可以框中5個(gè)數(shù)。

（1）如圖1所示，若框中的5個(gè)數(shù)中，正中間的數(shù)是10，則框中5個(gè)數(shù)的和是；

（2）若框中的5個(gè)數(shù)中，正中間的數(shù)為n，則這5個(gè)數(shù)的和為；

（3）按照上面的框法，框中5個(gè)數(shù)的和可以是100嗎？為什么？

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十：通過操作實(shí)驗(yàn)探索規(guī)律

第9頁共40頁

39．（2022?玉環(huán)市）桌上有1張紙，第一次把它剪成3塊放回桌上；第二次從桌上拿起1塊

剪成3塊后放回桌上；…．進(jìn)行了這樣的8次操作后，桌上一共有（）塊紙．

A．24B．21C．19D．17

40．（2023?石城縣）一個(gè)運(yùn)算程序、運(yùn)算規(guī)則如右圖，如果輸入13，那么結(jié)果是；

如果輸入15，那么結(jié)果是。

41．（2023?固鎮(zhèn)縣）數(shù)形結(jié)合的思想貫穿了小學(xué)數(shù)學(xué)始終，我們也體驗(yàn)過列舉、畫圖等策略。

請(qǐng)你利用所掌握的方法解決下面的問題：

校園一角原有一個(gè)正方形花圃，后來因?yàn)閳龅卦?，把正方形的一邊長增加3米，同時(shí)相

鄰的邊長減少了3米，這樣花圓變成了一個(gè)長方形。和原來的正方形比，這個(gè)長方形的面

積是否有變化？如果有變化，改變了多少？

（1）列舉找規(guī)律：嘗試再舉2個(gè)例子，然后發(fā)現(xiàn)并猜想規(guī)律。

正方形邊長正方形面積（m3）長方形的長（m）長方形的寬（m）長方形面積（m3）

309003327891

猜想：和正方形的面積比，長方形的面積的變化情況是。

（2）畫圖觀察：在如圖正方形的基礎(chǔ)上畫出長方形，如果面積有變化，請(qǐng)用陰影表示面積

改變的部分。

（3）運(yùn)用推廣：請(qǐng)你用上面得到的結(jié)論計(jì)算（200+3）×（200﹣3）

第10頁共40頁

42．（2021?海淀區(qū)）探究與發(fā)現(xiàn)。

（1）以等邊三角形的中心點(diǎn)為圓心畫圓，根據(jù)所畫的圓與等邊三角形各邊交點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，

可以畫出不同的圓，請(qǐng)你試著畫一畫并填空。

（2）連接交點(diǎn)與中心點(diǎn)，最多有條相等的線段。

（3）如果分別以正方形、正五邊形、正六邊形的中心點(diǎn)為圓心畫圓，連接交點(diǎn)與中心點(diǎn)，

最多有多少條相等的線段？試著畫一畫并填表。

圖形……

最多相等線段的條數(shù)

通過以上研究，我發(fā)現(xiàn)：。

43．（2020?江都區(qū)）數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。轉(zhuǎn)化思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，

在我們的學(xué)習(xí)生活中無處不在。如，在“曹沖稱象”的故事里，把大象的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為石頭

的質(zhì)量；又如，推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式時(shí)，把圓轉(zhuǎn)化為長方形……

（1）如圖1有一種有意思的推導(dǎo)圓的面積方法，讀一讀，填一填。

這時(shí)，三角形的面積相當(dāng)于圓的面積。

①觀察這個(gè)三角形，底相當(dāng)于圓的，高相當(dāng)于圓的。

②如果圓的半徑是r，三角形的面積：S＝a×h÷2

那么圓的面積：S＝×÷2＝

（2）你還能用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來解決以下數(shù)學(xué)問題嗎？如圖2，一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里裝

了一些水，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可以算出瓶中水的體積占瓶子容積的。

A.B.C.D.

第11頁共40頁

2024年小升初數(shù)學(xué)重難點(diǎn)&壓軸題專練

第四講探索規(guī)律（43題）

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)一：比算術(shù)中的規(guī)律

1．（2023?隆昌市）如表，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，

使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等。若取最左端3個(gè)格子中的后兩個(gè)記作

x、y，那么x﹣y＝。

8xy74……

試題思路分析：根據(jù)任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，則從左向右8+x+y＝第2

個(gè)數(shù)+第3個(gè)數(shù)+第4個(gè)數(shù)＝x+y+第4個(gè)數(shù)，據(jù)此可知第4個(gè)數(shù)為8，即可找出格子數(shù)按照

8、7、4的規(guī)律依次排列，據(jù)此求解。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：根據(jù)任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，且4÷3＝1（組）……

1（個(gè)）

又從左向右前3個(gè)數(shù)是8、x、y，則從左向右第4個(gè)數(shù)為8，結(jié)合從左向右第5個(gè)數(shù)是7，

第6個(gè)數(shù)是4，可知：

格子數(shù)是按照8、7、4、8、7、4、……的規(guī)律排列的，即x＝7，y＝4。

所以x﹣y＝7﹣4＝3。故答案為：3。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：此題在于考查學(xué)生總結(jié)規(guī)律的能力。

2．（2023?海曙區(qū)）如圖，張亮在計(jì)算機(jī)課上編制了一個(gè)計(jì)算小程序，輸入一個(gè)數(shù)后，小程序

通過計(jì)算會(huì)輸出另一個(gè)數(shù)。請(qǐng)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題。

①輸入3，輸出11

②輸入7，輸出27

③輸入10，輸出39

（1）輸入，輸出47；

（2）如果輸入a，輸出。

試題思路分析：①輸入3，輸出11；②輸入7，輸出27；③輸入10，輸出39，通過這三個(gè)

小程序可以看出，輸出的數(shù)為輸入的數(shù)的4倍減去1，所以輸出是47時(shí)，那輸入的數(shù)就是：

（47+1）÷4，據(jù)此解答即可；如果輸入a，那就輸出4a﹣1。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（1）（47+1）÷4

＝48÷4

＝12

第12頁共40頁

答：輸入12，輸出47。

（2）由分析可知：輸入a，輸出4a﹣1。故答案為：12；4a﹣1。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：對(duì)于這種規(guī)律性的題目，要仔細(xì)觀察，從中找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解

決問題。

3．（2022?宜昌）如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的

結(jié)果為24，第2次輸出的結(jié)果為12，……，第2022次輸出的結(jié)果為。

試題思路分析：初始輸入值48后

第1次輸出值為：＝24

第2次輸出值為：＝12

第3次輸出值為：＝6

第4次輸出值為：＝3

第5次輸出值為：3+3＝6

第6次輸出值為：＝3

第7次輸出值為：3+3＝6

第8次輸出值為：＝3

……

即從第3次開始，奇數(shù)次輸出6，偶數(shù)次輸出3，據(jù)此解答。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：初始輸入值48后

第1次輸出值為：＝24

第2次輸出值為：＝12

第3次輸出值為：＝6

第4次輸出值為：＝3

第5次輸出值為：3+3＝6

第6次輸出值為：＝3

第13頁共40頁

第7次輸出值為：3+3＝6

第8次輸出值為：＝3

……

即從第3次開始，奇數(shù)次輸出6，偶數(shù)次輸出3。

2022時(shí)偶數(shù)，偶數(shù)次輸出3。

答：第2022次輸出的結(jié)果為3。故答案為：3。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：此題在于考查學(xué)生總結(jié)規(guī)律的能力。

4．“次方之美”。當(dāng)你把相同的數(shù)進(jìn)行重復(fù)相乘，你就會(huì)使用到次方來進(jìn)行描述。

比如：8×8×8×8＝84（4個(gè)8相乘）

7×7×7×7×7×7＝76（6個(gè)7相乘）

根據(jù)以上信息判斷對(duì)錯(cuò)。對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”。

（1）816是815的8倍。

（2）810是8的10倍。

下面是7的1﹣9次方。請(qǐng)留心數(shù)變化的規(guī)律!這些數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字遵循了一個(gè)規(guī)律。

研究該規(guī)律并回答如下的問題。

71＝7

72＝49

73＝343

74＝2401

75＝16807

76＝117649

77＝823543

78＝5764801

79＝40353607

那么7190的最后一個(gè)數(shù)字是。

試題思路分析：（1）816是16個(gè)8相乘，815是15個(gè)8相乘，816比815乘數(shù)中多一個(gè)8，積

就是8倍。

（2）810表示10個(gè)8相乘，則810是8的89倍。

根據(jù)7的1﹣9次方的結(jié)果可得規(guī)律：結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是7、9、3、1重復(fù)重現(xiàn)。則7190的

結(jié)果的個(gè)位數(shù)字即可求。

第14頁共40頁

詳細(xì)規(guī)范解答：解：由分析可得：（1）816是815的8倍。√

（2）810是8的10倍。×

190÷4＝47……2

那么7190的最后一個(gè)數(shù)字是7、9、3、1重復(fù)循環(huán)了47次，是第48組7、9、3、1的第二

個(gè)數(shù)字9。故答案為：√，×，9。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：仔細(xì)觀察，找到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)二：數(shù)列中的規(guī)律

5．（2023?大渡口區(qū)）有一列數(shù)：1，，，，，，，，，，，，，，

，……，則是第（）個(gè)數(shù)。

A．88B．94C．88或94D．81或88

試題思路分析：這列數(shù)排到分母是9時(shí)共有數(shù)字是：（1+3+5+7+9+11+13+15+17）＝81（個(gè)）

分母是10的分?jǐn)?shù)有19個(gè)，在這19個(gè)中的第7和13位，

因?yàn)?1+7＝88，81+13＝94

所以是排列在第88位和94位。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：由分析可知，是第88或94個(gè)數(shù)。故選：C。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列中的規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

6．（2023?阿城區(qū)）找規(guī)律填數(shù)。

3，11，20，30，41，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，24.3，……

試題思路分析：（1）依次加8、9、10、11、12；

（2）依次乘3。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：3，11，20，30，41，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，24.3，……

故答案為：41；24.3。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問

題是應(yīng)該具備的基本能力。

7．（2023?鐵西區(qū)）有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是100，第二個(gè)數(shù)是90，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都

是它前面兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．第三十個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是．

試題思路分析：根據(jù)題目要求求出部分?jǐn)?shù)值的平均數(shù)，找到規(guī)律．

第15頁共40頁

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（100+90）÷2＝95，（90+95）÷2＝92.5，（95+92.5）÷2＝93.75，（92.5+93.75）

÷2＝93.125，（93.75+93.125）÷2＝93.4375，（93.125+93.4375）÷2＝93.28125，

前面兩個(gè)數(shù)一定都是90多，其平均數(shù)一定也是90多，所以無論第幾個(gè)整數(shù)部分都是93

（除了第一組，第二組）；即從第五個(gè)數(shù)起每個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是93．

故答案為：93．

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：通過計(jì)算找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解．

8．（2023?金安區(qū)）數(shù)學(xué)老師巴爾末成功的從光譜數(shù)據(jù)，，，……中得到巴爾末公

式，從而打開了光譜奧秘大門。請(qǐng)你按照這種規(guī)律，寫出第7個(gè)數(shù)據(jù)是。

試題思路分析：分子的規(guī)律依次是，3、4、5、6的平方……分母的規(guī)律是：1×5，2×6，

3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，所以第七個(gè)數(shù)據(jù)是。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：由已知數(shù)據(jù)可得規(guī)律：

分子依次是3、4、5、6的平方……，分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7

×11…，所以第七個(gè)數(shù)據(jù)是。

故答案為：。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題主要考查了學(xué)生的分析、總結(jié)、歸納能力，規(guī)律型的習(xí)題一般

是從所給的數(shù)據(jù)和運(yùn)算方法進(jìn)行分析，從特殊值的規(guī)律上總結(jié)出一般性的規(guī)律。

9．（2023?上虞區(qū)）找規(guī)律，填一填。

（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，這列數(shù)的每一項(xiàng)越來越大，越來越接近。

（2），……，這列數(shù)的每一項(xiàng)越來越小，越來越接近。

試題思路分析：（1）觀察數(shù)列可知：這個(gè)數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的整數(shù)部分都是0，小數(shù)部分末

尾依次添上一個(gè)9，這樣這個(gè)數(shù)就越來越大，越來約接近1；

（1）分子是1，分母越大，分?jǐn)?shù)值越小。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，這列數(shù)的每一項(xiàng)越來越大，越

來越接近1。

（2），，，，……，這列數(shù)的每一項(xiàng)越來越小，越來越接近0。

故答案為：（1）1；（2）0。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題是一道有關(guān)分?jǐn)?shù)的意義、小數(shù)的意義的題目。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)三：“式”的規(guī)律

第16頁共40頁

10．（2023?如東縣）“142857”是個(gè)神奇的數(shù)，它的2倍至6倍，都是由1、4、2、8、5、7

這六個(gè)數(shù)字組成的。比如：142857×4＝571428，142857×6＝857142，更神奇的是，單位

是的幾個(gè)真分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字也是由這些數(shù)字組成的。比如：＝

0.714285714285714285……，請(qǐng)你推算一下，化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第40位上的數(shù)字

是，小數(shù)點(diǎn)后面前40位數(shù)字的和是。

試題思路分析：0.714285714285714285……的循環(huán)節(jié)是714285，共6個(gè)數(shù)字；先用40除以

6，余數(shù)是4，然后從循環(huán)節(jié)的第1個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)到第4個(gè)數(shù)字，即可確定出化成小數(shù)后，小

數(shù)點(diǎn)后面第40位上的數(shù)字是幾；循環(huán)節(jié)各個(gè)數(shù)字的和是（7+1+4+2+8+5），40除以6的商

是6，用（7+1+4+2+8+5）的和乘6，再加上循環(huán)節(jié)的前4個(gè)數(shù)字，即可求出小數(shù)點(diǎn)后面前

40位數(shù)字的和，據(jù)此解答。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：40÷6＝6……4，循環(huán)節(jié)714285的第4個(gè)數(shù)字是2，所以小數(shù)點(diǎn)后面

第40位上的數(shù)字是2；

7+1+4+2+8+5＝27，27×6+7+1+4+2＝176，所以小數(shù)點(diǎn)后面前40位數(shù)字的和是176。

答：化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第40位上的數(shù)字是2，小數(shù)點(diǎn)后面前40位數(shù)字的和是

176。

故答案為：2；176。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：解答本題需準(zhǔn)確分析循環(huán)小數(shù)中數(shù)字存在的規(guī)律，靈活解答。

11．（2023?南京）

＝4+2+1＝﹣1＝7

4n+2n+n＝﹣＝7n

試題思路分析：根據(jù)已給出的加法算式的運(yùn)算方法，找出其中的規(guī)律為：加法算式的第一

個(gè)加數(shù)乘2減去最后一個(gè)加數(shù)即是計(jì)算結(jié)果。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：因?yàn)?/p>

所以＝2×2

4+2+1＝4×2﹣1＝7

4n+2n+n＝4n×2﹣n＝7n

第17頁共40頁

故答案為：2×2；4×2；4n×2；n。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：解答此題的關(guān)鍵是觀察所給出的算式，找出算式之間數(shù)與數(shù)的關(guān)系，

得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解決問題。

12．（2023?如皋市）思考與探究。

（1）我來算一算：

62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（+）×（﹣）

a2﹣b2＝（+）×（﹣）

（2）按照上面的規(guī)律計(jì)算：

252+232﹣242﹣222＝（25+24）×（25﹣24）+（23+22）×（23﹣22）

＝49+45

＝

試題思路分析：根據(jù)題意可知，甲數(shù)的平方減乙數(shù)的平方等于甲數(shù)與乙數(shù)的和乘甲數(shù)與乙

數(shù)的差，也就是a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b），據(jù)此解答即可。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（1）62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（35+15）×（35﹣15）

a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b）

（2）252+232﹣242﹣222

＝（25+24）×（25﹣24）+（23+22）×（23﹣22）

＝49+45

＝94

故答案為：35；15；35；15；a；b；a；b；（2）94。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題考查了平方差公式的靈活運(yùn)用，結(jié)合題意分析解答即可。

13．（2023?鳳城市）根據(jù)算式的規(guī)律填空：，，……在計(jì)算＝

中，寫出〇、□表示的整數(shù)：〇＝，□＝。

試題思路分析：根據(jù)題意，，，……可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：＝

+，據(jù)此解答即可。

第18頁共40頁

詳細(xì)規(guī)范解答：解：分析可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：＝+，所以在計(jì)算＝

中，寫出〇、□表示的整數(shù)：〇＝7，□＝42。故答案為：7；42。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題考查了算式中的規(guī)律知識(shí)，結(jié)合題意分析解答即可。

14．（2023?錫山區(qū)）數(shù)的計(jì)算中有一些有趣的對(duì)稱形式，如：12×231＝132×21；23×352＝

253×32。現(xiàn)在有兩個(gè)與此規(guī)律相同的等式，請(qǐng)完成填空。

（1）45×594＝×；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝。

試題思路分析：觀察可得規(guī)律是，兩位數(shù)乘三位數(shù)，兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字與三位

數(shù)的個(gè)位數(shù)字和百威數(shù)字相同，三位數(shù)的十位數(shù)字是它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和。這樣

的兩個(gè)數(shù)相乘等于把三位數(shù)的十位數(shù)字加進(jìn)兩位數(shù)的中間使兩位數(shù)成為三位數(shù)而三位數(shù)變

成兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)相乘。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：根據(jù)12×231＝132×21；23×352＝253×32，可得，

（1）45×594＝495×54；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝693。故答案為：495，54，693。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：仔細(xì)觀察，找到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)四：數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律

15．（2023?余干縣）如圖，第一個(gè)圖形需要3根火柴，第（2）（3）（4）個(gè)圖形各需要5、7、

9根火柴。則第50個(gè)圖形需要火柴（）根。

A．101B．51C．201D．103

試題思路分析：由圖可知，第（1）個(gè)圖形需要（2×1+1）根火柴，第（2）個(gè)圖形需要

（2×2+1）根火柴，第（3）個(gè)圖形需要（2×3+1）根火柴……，則第（n）個(gè)圖形需要

（2n+1）根火柴，據(jù)此解答。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：2×50+1

＝100+1

＝101（根）答：第50個(gè)圖形需要火柴101根。故選：A。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：解答本題需準(zhǔn)確分析需要的火柴根數(shù)與圖形序數(shù)之間的關(guān)系，靈活

根據(jù)找到的規(guī)律解決問題。

16．（2023?禮泉縣）下面是由完全相同的正方形按規(guī)律擺成的圖形，第1個(gè)圖中有1個(gè)正方

形，第2個(gè)圖中有3個(gè)正方形，第3個(gè)圖中有6個(gè)正方形，第4個(gè)圖中有10個(gè)正方

形，……，按此規(guī)律，第8個(gè)圖中有（）個(gè)正方形

第19頁共40頁

A．42B．40C．38D．36

試題思路分析：觀察可得規(guī)律，第1個(gè)圖有1個(gè)正方形，第2個(gè)圖有（1+2）個(gè)正方形，

第3個(gè)圖有（1+2+3）個(gè)正方形，第4個(gè)圖有（1+2+3+4）個(gè)正方形……第8個(gè)圖中的正方

形個(gè)數(shù)即可求。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：第1個(gè)圖有1個(gè)正方形，第2個(gè)圖有（1+2）個(gè)正方形，第3個(gè)圖有

（1+2+3）個(gè)正方形，第4個(gè)圖有（1+2+3+4）個(gè)正方形……第8個(gè)圖中的正方形個(gè)數(shù)：

1+2+3+4+5+6+7+8

＝（1+8）×8÷2

＝72÷2

＝36（個(gè)）故選：D。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：仔細(xì)觀察，比較總結(jié)出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。

17．（2023?淥口區(qū)）如圖（單位：厘米），用完全相同的等腰梯形拼圖形，照這樣的規(guī)律地拼

下去，拼出的第7個(gè)圖形是形，拼出的第6個(gè)圖形的周長是厘米。

試題思路分析：根據(jù)數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)梯形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，拼出的大圖形是梯形，當(dāng)梯形

的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，拼出的大圖形是平行四邊形。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（2+1）×（6÷2）×2+1×2

＝3×3×2+2

＝18+2

＝20（厘米）答：拼出的第7個(gè)圖形是梯形，拼出的第6個(gè)圖形的周長是20厘米。

故答案為：梯，20。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題考查了圖形的變化類問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和總結(jié)能

力。

18．（2023?榮昌區(qū)）找規(guī)律：

（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝2，……，1+3+5+7+9+11+13＝2。

（2）如圖，1張桌子可坐6人，2張桌子可坐10人。照這樣擺下去，8張桌子可坐

第20頁共40頁

人，n張桌子可以坐人。

試題思路分析：（1）由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32……可知，算式的結(jié)果等于加數(shù)個(gè)數(shù)的

平方，據(jù)此解答；

（2）由圖可知，每增加一張桌子，就能增加4人；1張桌子坐可坐6人，2張桌子可坐

（6+4×1）人，3張桌子可坐（6+4×2）人，根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算出8張桌子和n張桌子可

以坐的人數(shù)即可。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，……，1+3+5+7+9+11+13

＝72。

（2）6+4×（8﹣1）

＝6+28

＝34（人）

6+4×（n﹣1）

＝6+4×n﹣4

＝（4n+2）（人）

答：8張桌子可坐34人，n張桌子可以坐8張桌子可坐人，n張桌子可以坐（4n+2）人。

故答案為：34；（4n+2）。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：解答本題需準(zhǔn)確分析出各題的規(guī)律，靈活根據(jù)找到的規(guī)律解決問題。

19．（2023?石柱縣）如圖的每一個(gè)圖形都是由△、□、〇中的兩個(gè)組成的。觀察各個(gè)圖形，

根據(jù)圖形下面的數(shù)找出規(guī)律，畫出表示“31”和“12”的圖形。

113221133112

試題思路分析：由圖可知：△表示1，□表示3，〇表示2，據(jù)此畫圖即可。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：

第21頁共40頁

故答案為：，。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：解答本題需準(zhǔn)確分析△、□、〇表示的數(shù)，靈活根據(jù)圖形表示的十

位上的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)的內(nèi)外位置解答。

20．（2023?浦口區(qū)）別有“動(dòng)”天。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常對(duì)一些非常規(guī)問題束手無策，因?yàn)榱?xí)慣了常規(guī)地想問題，不會(huì)變通。

如果用運(yùn)動(dòng)的眼光來觀察，可能會(huì)有不一樣的發(fā)現(xiàn)。

如圖1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面

積。

軒軒思考涂色部分是三角形BEC，這個(gè)三角形的底和高都不知道，正當(dāng)他一籌莫展時(shí)，點(diǎn)

B動(dòng)起來了，它沿著BA向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，形成三角形ADE（如圖2）。這時(shí)三

角形ADE和圖1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面積相等，形成的大三角形ADC

的面積和圖1涂色部分的三角形BCE面積相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘

米，面積是32平方厘米，即涂色部分面積。

通過點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，形成新的圖形，問題迎刃而解。既然點(diǎn)可以動(dòng)起來，那么線段呢？

如圖3，一個(gè)長方形被分成四個(gè)小長方形，其中涂色部分長方形的周長分別是14厘米和8

厘米。原來長方形的周長是多少厘米？

線段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。

發(fā)現(xiàn)原來長方形的周長就是兩個(gè)涂色部分周長的，從而巧妙解題。

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、線的運(yùn)動(dòng)……運(yùn)動(dòng)的對(duì)象不同，解題思路卻異曲同工。

靜中有動(dòng)，動(dòng)中有靜，動(dòng)靜變換之中靈感無限。請(qǐng)嘗試解決圖4和圖5中的問題。

（1）圖4中涂色部分是一個(gè)正方形，那么長方形ABCD的周長是厘米。

（2）圖5大正方形邊長為14厘米，涂色部分正方形的面積是平方厘米。

第22頁共40頁

圖形里的“點(diǎn)、線、面”活潑好“動(dòng)”，讓解題思路別有“動(dòng)”天，令人茅塞頓開，如入

“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”之境。

通過上面的學(xué)習(xí)，令人印象深刻的有。

試題思路分析：對(duì)于第一空，結(jié)合題干中的分析，大三角形ADC的面積和圖1涂色部分的

三角形BCE面積相等，通過大三角形ADC的底和高求出其面積即可；

對(duì)于第二空，結(jié)合題干中的分析，長方形ABCD的周長＝

AG+GB+BF+FC+HC+HD+DE+EA，其中AG＝EN，AE＝GN，CF＝NH，CH＝NF，由此可

知長方形ABCD的周長就是兩個(gè)涂色部分周長的和；

（1）觀察圖片發(fā)現(xiàn)，，ED＝EF+FD＝10cm，BH＝BG+GH＝

6cm，ED+BH＝EF+FD+BG+GH，而BG＝AE，GH＝EG＝AB，所以ED+BH＝AE+EF+FD+AB

＝AD+AB，而（AB+AD）是長方形ABCD周長的一半，據(jù)此可以求出長方形ABCD的周長；

（2）大正方形的面積由兩個(gè)梯形和小正方形面積組成，兩個(gè)梯形的底和高都相等，因此面

積相等，大正方形的邊長已知，據(jù)此可以求出小正方形的面積。

對(duì)于最后一空，答案不唯一，言之有理即可。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：S△ADC＝8×8÷2

＝64÷2

＝32（cm2）

S△BEC＝S△ADC＝32cm2

長方形ABCD的周長＝兩個(gè)涂色部分周長的和；

（1）長方形ABCD的周長＝2×（AB+AD）

＝2×（ED+AH）

＝2×（10+6）

＝2×16

＝32cm

（2）涂色部分面積＝14×14﹣2×90

＝196﹣180

＝16（cm2）

第23頁共40頁

（答案不唯一）在解題過程中要學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的眼光來觀察。

故答案為：32，和；（1）32；（2）16；（答案不唯一）在解題過程中要學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的眼光來

觀察。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題具有很強(qiáng)的靈活性，注意觀察題干中的思想方法可以有效的幫

助解決后續(xù)的問題。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)五：數(shù)表中的規(guī)律

21．（2023?漳平市）觀察如圖①，尋找規(guī)律。如圖②、如圖③分別是從如圖①中截取的一部

分，其中a的值為，b的值為。

試題思路分析：第一行和第一列分別是從1開始的自然數(shù)，對(duì)應(yīng)的行、列是每行、列開頭

兩個(gè)數(shù)的積。根據(jù)數(shù)表中各數(shù)的排列規(guī)律填空即可。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：4×7＝28

4×8＝32

a：5×7＝35

5×8＝40

7×8＝56

6×6＝36

b：7×7＝49

故答案為：40；49。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題主要考查數(shù)表中的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)數(shù)表中各數(shù)排列的規(guī)律做題。

22．用下面的形狀在右邊數(shù)表中任意框出5個(gè)數(shù)，連續(xù)框幾次，找一找其中的規(guī)律。

（1）如果用a表示框中涂色位置的數(shù)，用T表示5個(gè)數(shù)的和，你能用含有字母的式子表

示出其中的規(guī)律嗎？

（2）小明說：“他框出5個(gè)數(shù)的和是270?！蹦阏J(rèn)為對(duì)嗎？如果對(duì)，算一算a是多少？如果

不對(duì)，請(qǐng)說明理由。

第24頁共40頁

試題思路分析：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，和是30，當(dāng)a＝3時(shí)，和是35，當(dāng)a＝4時(shí)，和是40……

可得規(guī)律是：T＝（a﹣2）×5+30。（2）當(dāng)T＝270時(shí)，代入T＝（a﹣2）×5+30算式，求

出a的值判斷。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，和是30，當(dāng)a＝3時(shí)，和是35，當(dāng)a＝4時(shí)，和是

40……可得規(guī)律是：

（a﹣2）×5+30

＝5a﹣10+30

＝5a+20

（2）當(dāng)T＝270時(shí)，代入T＝5a+20可得

270＝5a+20

5a＝250

a＝50

a不在中間位置，小明的說法錯(cuò)誤。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：仔細(xì)觀察，找到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)六：事物的間隔排列規(guī)律

23．（2022?英德市）海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規(guī)律發(fā)出亮光，如圖是表示前15秒燈

光明暗的變化情況：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是的。

試題思路分析：根據(jù)題意，照明燈是按照“第1秒是亮的，第2、3秒是暗的，第5、6秒

是亮，第7秒是暗……”每6個(gè)一循環(huán)，計(jì)算第47秒是第幾組零幾個(gè)，即可判斷明暗。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：47÷6＝7（組）???????5（秒）

答：第47秒是亮。故答案為：亮。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：明確排列的周期特點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵，解答本題先找到規(guī)律，

再根據(jù)規(guī)律求解。

24．（2022?拜泉縣）有同樣大小的紅、白、黑珠共180顆，按5個(gè)紅、4個(gè)白、3個(gè)黑的順序

第25頁共40頁

排列，第56顆珠子是白色，前73顆珠中共有黑珠18顆。

試題思路分析：分別計(jì)算底56顆、第73顆是第幾組循環(huán)零幾顆，幾顆判斷最后一顆是什

么顏色，再根據(jù)每組黑色珠子的顆數(shù)，求黑珠子的顆數(shù)。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：56÷（5+4+3）

＝56÷12

＝4（組）……8（個(gè)）

73÷12＝6（組）……1（顆）

6×3＝18（顆）

答：第56顆珠子是白色，前73顆珠中共有黑珠18顆。故答案為：白，18。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題主要考查簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律，關(guān)鍵是根據(jù)珠子的排列規(guī)律

做題。

25．（2023?海淀區(qū)）中心公園掛有甲、乙兩款燈籠串，每款燈籠串都是由大燈籠和小燈籠組

合而成的（如圖1）。大燈籠共有16個(gè)，小燈籠共有46個(gè)。甲、乙燈籠串各有多少串？

試題思路分析：根據(jù)圖示可知，每串甲有1個(gè)大燈籠和4個(gè)小燈籠組成；每串乙由1個(gè)大

燈籠和2個(gè)小燈籠組成。據(jù)此設(shè)甲有x串，則乙有（16﹣x）串，根據(jù)小燈籠的個(gè)數(shù)列方程

求解即可。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：

（方法不唯一）

設(shè)甲有x串，則乙有（16﹣x）串。

4x+2（16﹣x）＝46

4x+32﹣2x＝46

第26頁共40頁

2x＝14

x＝7

16﹣7＝9（串）答：甲有7串，乙有9串。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題關(guān)鍵是利用關(guān)系式列方程解答。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)七：事物的簡單搭配規(guī)律

26．（2023?鄭州）如圖，〇、△、□各表示一個(gè)兩位數(shù)中的其中一個(gè)數(shù)字，觀察下面圖與數(shù)

的關(guān)系，第4圖形表示的兩位數(shù)是（）

A．54B．43C．34

試題思路分析：前3個(gè)圖中都有圓，表示的數(shù)字中都有5，即5表示圓形；進(jìn)而可以得出3

表示三角形；4表示正方形；而且第一個(gè)數(shù)字表示的圖形在外面，第二個(gè)數(shù)字表示圖形在

第一個(gè)數(shù)字表示圖形的里面．

詳細(xì)規(guī)范解答：解：圖形中有一個(gè)正方形和一個(gè)三角形，正方形在外，三角形在內(nèi)，

所以用數(shù)字：43表示．故選：B．

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：根據(jù)第一幅、第二幅和第三幅圖中的數(shù)字，得出：〇△□各表示的

數(shù)字是解決本題的關(guān)鍵．

27．（2023?慶云縣）下列圖形是由一些小正方形和實(shí)心圓按一定規(guī)律排列而成的，如圖所示，

按此規(guī)律排列下去，第n個(gè)圖形有個(gè)實(shí)心圓。

試題思路分析：由圖形可知：第1個(gè)圖形中有4個(gè)實(shí)心圓，第2個(gè)圖形中有6個(gè)實(shí)心圓，

第3個(gè)圖形中有8個(gè)實(shí)心圓，…由此得出第n個(gè)圖形中有2（n+1）個(gè)實(shí)心圓。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：∵第1個(gè)圖形中有4個(gè)實(shí)心圓，

第2個(gè)圖形中有6個(gè)實(shí)心圓，

第3個(gè)圖形中有8個(gè)實(shí)心圓，

…

第27頁共40頁

∴第n個(gè)圖形中有2（n+1）＝2n+2個(gè)實(shí)心圓。故答案為：2n+2．

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律

解決問題．

28．（2021?威遠(yuǎn)縣）李老師要把語文、數(shù)學(xué)、英語、科學(xué)4本書（各1本）分給麗麗、陽陽、

聰聰三個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少分其中的一本，一共有種不同的分法。

試題思路分析：把語文、數(shù)學(xué)、英語、科學(xué)4本書分給麗麗、陽陽、聰聰三個(gè)同學(xué)，這里

既要考慮書的不同，也要考慮人的區(qū)別，而每個(gè)同學(xué)至少分其中的一本，那么只能是把4

本書按照1、1、2進(jìn)行分配，然后考慮人數(shù)的不同進(jìn)行枚舉。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：先考慮把4本書按照1、1、2進(jìn)行分配，有6種情況；

語文和數(shù)學(xué)、英語、科學(xué)；語文和英語、數(shù)學(xué)、科學(xué)；語文和科學(xué)、數(shù)學(xué)、英語。

數(shù)學(xué)和英語、語文、科學(xué)；數(shù)學(xué)和科學(xué)、語文、英語；英語和科學(xué)、語文、數(shù)學(xué)。

比如第一種情況，按照語文和數(shù)學(xué)、英語、科學(xué)分組，然后考慮人數(shù)的不同，又有6種不

同的情況：（從左往右依次是麗麗、陽陽、聰聰?shù)玫降臅?/p>

①語文和數(shù)學(xué)，英語，科學(xué)；

②語文和數(shù)學(xué)，科學(xué)，英語；

③英語，語文和數(shù)學(xué)，科學(xué)；

④英語，科學(xué)，語文和數(shù)學(xué)；

⑤科學(xué)，語文和數(shù)學(xué)，英語；

⑤科學(xué)，英語，語文和數(shù)學(xué)；

其余每種情況都是類似的，6×6＝36，總共有36種不同的分法。故答案為：36。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題考查的是計(jì)數(shù)問題，枚舉法是求解此類問題最基礎(chǔ)的方法，這

里需要考慮順序的影響。

29．（2023?樂陵市）足球世界杯每四年舉行一次，國際足聯(lián)規(guī)定冠軍獎(jiǎng)品為大力神杯，此杯

為流動(dòng)獎(jiǎng)品，1974年第十屆足球世界杯第一次啟用。

（1）在大力神杯的底座下面有能容納鐫刻17個(gè)冠軍隊(duì)名字的銘牌，此杯可以持續(xù)使用到

第多少屆，是哪一年？

（2）足球一般是用黑白兩種顏色的皮子縫制而成的，黑色皮子是五邊形，白色皮子是六邊

形（如圖），每一塊黑色皮子都與5塊白色皮子相接，每一塊白色皮子都連接3塊黑色皮子。

已知一個(gè)足球上黑色皮子共有12塊，請(qǐng)你計(jì)算白色皮子共有多少塊？

（3）北京時(shí)間2023年3月14日晚，國際足聯(lián)官方確認(rèn)，2026年世界杯比賽賽制做出調(diào)

第28頁共40頁

整：首度擴(kuò)軍48支球隊(duì)，將被分為12個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)進(jìn)行比賽。小組賽采用

單循環(huán)賽（小組內(nèi)所有參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，每兩隊(duì)之間只賽一場）。每組前2名及

8支成績最好的小組第3名，將晉級(jí)32強(qiáng)，此后采用淘汰賽（兩個(gè)參賽隊(duì)伍用一場比賽定

勝負(fù)），產(chǎn)生16強(qiáng)、8強(qiáng)、4強(qiáng)、2強(qiáng)，最后決出冠亞軍、第3和4名。至此，本屆世界杯

的所有比賽結(jié)束。

根據(jù)以上信息，算一算，每個(gè)小組內(nèi)一共要比賽幾場？整個(gè)小組賽一共有多少場？2026年

世界杯足球賽全程共有多少場？

試題思路分析：（1）因?yàn)榇罅ι癖澘?7個(gè)冠軍隊(duì)名字，且1974年第十屆足球世界杯第

一次啟用，那么除去1974年第十屆世界杯后，還可以使用16次，據(jù)此推算出可以持續(xù)使

用到第多少屆；又因?yàn)槭澜绫?年一屆，求出還可以使用的年數(shù)，根據(jù)起點(diǎn)時(shí)間+經(jīng)過時(shí)

間＝終點(diǎn)時(shí)間，推算出年數(shù)即可；

（2）黑色皮子數(shù)量×邊數(shù)＝黑色皮子總邊數(shù)，每一塊白色皮子都有3條黑邊，黑色皮子總

邊數(shù)÷3＝白色皮子數(shù)量，據(jù)此列式解答；

（3）球隊(duì)總支數(shù)÷小組數(shù)＝每個(gè)小組球隊(duì)支數(shù)，小組內(nèi)所有參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，

每兩隊(duì)之間只賽一場，每個(gè)小組球隊(duì)支數(shù)×（每個(gè)小組球隊(duì)支數(shù)﹣1）÷2＝每個(gè)小組比賽場

數(shù)；每個(gè)小組比賽場數(shù)×小組數(shù)＝整個(gè)小組賽一共有多少場；淘汰賽有32支球隊(duì)，兩個(gè)參

賽隊(duì)伍用一場比賽定勝負(fù)，每比一場就淘汰一支球隊(duì)，所以需要比（32﹣1）場，還要決出

第3和4名，再加一場，即淘汰賽共32場，整個(gè)小組賽總場數(shù)+淘汰賽總場數(shù)＝世界杯足

球賽全程總場數(shù)。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：（1）10+（17﹣1）

＝10+16

＝26（屆）

1974+4×16

＝1974+64

＝2038（年）答：此杯可以持續(xù)使用到第26屆，是2038年。

（2）12×5÷3

＝60÷3

第29頁共40頁

＝20（塊）答：白色皮子共有20塊。

（3）48÷12＝4（支）

4×（4﹣1）÷2

＝4×3÷2

＝6（場）

6×12＝72（場）

32﹣1＝31（場）

31+1＝32（場）

72+32＝104（場）答：每個(gè)小組內(nèi)一共要比賽6場，整個(gè)小組賽一共有72場，2026年世

界杯足球賽全程共有104場。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：關(guān)鍵是理解搭配問題的解題方法，注意理解單循環(huán)和淘汰賽的比賽

規(guī)則。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)八：簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律

30．（2023?深州市）六一兒童節(jié)，一年級(jí)（2）班的學(xué)生用彩燈布置教室，按“兩紅、三藍(lán)、

兩紫”的順序排列，第57盞燈是（）

A．紅色B．藍(lán)色C．紫色

試題思路分析：由題意可知，循環(huán)周期是7，用57除以循環(huán)周期，計(jì)算出商和余數(shù)，找出

第57盞燈是什么顏色即可。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：57÷7＝8（組）……1（盞）

答：第57盞燈是紅色。故選：A。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題考查了簡單的周期現(xiàn)象，找出循環(huán)周期是幾是解題的關(guān)鍵。

31．（2023?漣水縣）化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第2000位上的數(shù)字是（）

A．4B．2C．8D．5

試題思路分析：化成小數(shù)后是0.2857，循環(huán)節(jié)是428571，有6位數(shù)，2000÷6＝333

（個(gè)）……2，所以小數(shù)部分的第2000位數(shù)字是333個(gè)循環(huán)節(jié)后的334個(gè)循環(huán)節(jié)上的第2

個(gè)數(shù)字，循環(huán)節(jié)的第2個(gè)數(shù)字是2，據(jù)此解答。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：2000÷6＝333（個(gè)）……2

答：化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第2000位上的數(shù)字是2。故選：B。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題主要利用循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，找出循環(huán)節(jié)及循環(huán)節(jié)的數(shù)字，用

第30頁共40頁

2000除以循環(huán)節(jié)的位數(shù)得出是第幾個(gè)循環(huán)節(jié)，然后看余數(shù)是幾就是循環(huán)節(jié)的第幾個(gè)數(shù)字，

沒有余數(shù)就是循環(huán)節(jié)的最后一個(gè)數(shù)字。

32．海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規(guī)律發(fā)出亮光，下圖表示前15秒燈光明暗的變化規(guī)律，

第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第36秒是的，第52秒是的。

試題思路分析：根據(jù)前15秒燈光明暗變化的情況，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：第1秒亮，第2秒暗，

第3秒暗……每6秒一循環(huán)；根據(jù)這一規(guī)律，計(jì)算第36和52秒是多少循環(huán)零多少秒，即

可得出照明燈的明暗狀態(tài)。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：第1秒亮，第2秒暗，第3秒暗……，每6秒一循環(huán)。

36÷6＝6（個(gè)）

52÷6＝8（個(gè)）……4（秒）

所以第36秒為6個(gè)循環(huán)，與第6秒一樣為暗；第52秒為6個(gè)循環(huán)零4秒，與第4秒一樣

為亮。

答：第36秒是暗的，第52秒是亮的。故答案為：暗；亮。

考察注意點(diǎn)與重難點(diǎn)：本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)所給圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形

的規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律做題。

33．（2023?襄城區(qū)）如圖，“楊輝聚六圖”是由我國南宋杰出的數(shù)學(xué)家楊輝所研究出來的，它

是由1，2，3，……，35，36無重復(fù)排列而成的圖形，“楊輝聚六環(huán)”其每一環(huán)6個(gè)數(shù)之

和均相等，則這個(gè)和為，其中一環(huán)中還差個(gè)數(shù)，它是。

試題思路分析：根據(jù)，“楊輝聚六環(huán)”其每一環(huán)6個(gè)數(shù)之和均相等，選取其中的一環(huán)，把6

個(gè)數(shù)加起來就是和；用和減去其它5個(gè)數(shù)的和就是其中一環(huán)中還差的那個(gè)數(shù)。

詳細(xì)規(guī)范解答：解：2+6+30+34+22+17