平面向量與解三角形（原題版）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯(cuò)題（新高考）

專題06平面向量與解三角形

目錄

題型一：平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)平面向量的基本概念理解不到位

易錯(cuò)點(diǎn)02忽略平面向量夾角的范圍與方向性

易錯(cuò)點(diǎn)03忽略向量共線時(shí)的兩種情況

易錯(cuò)點(diǎn)04錯(cuò)用平面向量的運(yùn)算律

題型二：解三角形

易錯(cuò)點(diǎn)05解三角形時(shí)錯(cuò)判解的個(gè)數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)06忽略邊角互化條件

易錯(cuò)點(diǎn)07忽略三角形中的隱含條件

題型一：平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)平面向量的基本概念理解不到位

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）在下列結(jié)論中，其中正確的是（）

A.若向量B共線，則向量B所在的直線平行

B.若向量3所在的直線為異面直線，則向量苕，B一定不共面

C.若三個(gè)向量b,2兩兩共面，則向量1,b,1共面

D.已知空間的兩個(gè)不共線向量I,b,對(duì)于空間的一個(gè)向量力，存在實(shí)數(shù)x,乃使得力=法+＞行，則

向量力與向量石，B共面

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共線共面的判斷，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A,向量共線，則向量用B所在的直線平行或重合，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,根據(jù)空間向量的意義知，空間任意兩個(gè)向量用3都共面，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)c,由于三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，但是a不一定共面，故c錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D,已知向量｛工同是空間的一個(gè)基底，p=xa+yb,則向量扇力共面，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【易錯(cuò)剖析】

在解題時(shí)容易混淆向量平行與直線平行的不同而出錯(cuò)，另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避錯(cuò)攻略】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量，向量的大小叫作向量的模.

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.

(3)單位向量：模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)共線向量：若兩個(gè)非零向量a,A的方向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量為共線向量或平行向量，規(guī)定:

零向量與任一向量共線.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

(1)交換律：

a~\~b=b~\~a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

(2)結(jié)合律：

三角形法則平行四邊形法則

(a+〃)+c=a+(〃+c)

求。與分的相反向量一6

減法的和的運(yùn)算叫做。與b的xya一〃=〃+(—b)

三角形法則

差

(1)|筋|=囚同；(2)當(dāng)＞0時(shí)，福

a)=(%〃)〃；

求實(shí)數(shù)4與向量。的積的的方向與。的方向相同；當(dāng)ko

數(shù)乘a；

運(yùn)算時(shí)，加的方向與〃的方向相反；

A(a+b)=Aa+Ab

當(dāng)2=0時(shí)，2?=0

【解讀】（1）利用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同的起點(diǎn).

（2）當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用.

3.共線向量定理

向量。（aWO）與b共線的充要條件是：存在唯---個(gè)實(shí)數(shù)人使6=瓶.

【解讀】共線向量定理中規(guī)定。加原因：（1）當(dāng)。=0時(shí)，若厚0,則不存在實(shí)數(shù)人使得/>=篇，但此時(shí)

向量。與6共線；（2）當(dāng)。=0時(shí)，若b=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)人都有6=相，與有唯---個(gè)實(shí)數(shù)力矛盾.

因此限定火0的目的是保證實(shí)數(shù)力的存在性和唯一性.

易錯(cuò)提醒：（1）注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且網(wǎng)=0;（2）單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它

們的模相等，但方向不一定相同；（3）零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向

不確定，因此在解題時(shí)要注意它們的特殊性；（4）任一組平行向量都可以平移到同一直線上；（5）向量平行

與向量共線是完全相同的一個(gè)概念，指兩個(gè)向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直線可以平行，也可

以重合；但直線平行不包含直線重合的情況.

舉一反三

1.（2024高三?北京?專題練習(xí)）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動(dòng)，零向量的長(zhǎng)度為零，方

向是任意的；②若心B都是單位向量，則③向量血與直相等.其中正確命題的序號(hào)為（）

A.①B.③C.①③D.①②

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若￡與B都是單位向量，則￡=認(rèn)

B.“同=「”是”的必要不充分條件

ab-

c.若行都為非零向量，則使同+同=°成立的條件是々與刃反向共線.

D.若a=B》=c,則.=。.

3.（23-24高一下?四川?期中）下列命題正確的是（）

A.若&與B都是單位向量，則。

B.方向?yàn)槟掀?0。的向量與北偏東60。的向量是共線向量

C.若Z與B是平行向量，則

D.若用有向線段表示的向量N應(yīng)與/N不相等，則點(diǎn)Af與N不重合

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2024高三?北京?專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的

D.方〃①就是與所在的直線平行于麗所在的直線

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知非零向量￡與刃共線，下列說(shuō)法不正確的是（）

A.a=3或4=-石

B.￡與?平行

C.￡與辦方向相同或相反

D.存在實(shí)數(shù)幾，使得￡=幾否

3.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若，［W，則a=3B.若卜|>W，則a>加

C.若4=3,則D.若a//51//c,則al1c

4.設(shè)￡是非零向量，4是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.々與入々的方向相反B.￡與萬(wàn)公的方向相同

c.|-Aa|>|cz|D.|-2fl|>|2|a

5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）（多選）下列命題中錯(cuò)誤的有（）

A.平行向量就是共線向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.0與］同向，且卜|>W，則

D.兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

6.（23-24高二上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）（多選）給出下列命題，其中假命題為（）

A.向量方的長(zhǎng)度與向量防的長(zhǎng)度相等

B.向量￡與否平行，則￡與辦的方向相同或相反

c.同+問巾與B方向相反

D.若非零向量￡與非零向量否的方向相同或相反，則￡+3與Z，刃之一的方向相同

7.（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.若aw61w6,a〃彼，則a與3的方向相同或者相反

ab

B.若"，B為非零向量，且同=同，貝!與B共線

C.若a/區(qū)，則存在唯一的實(shí)數(shù)X使得￡=宓

D.若qg是兩個(gè)單位向量，且,1-02卜1,貝41+02卜加

8.（多選）下列敘述中正確的是（）

A.若Z成弧,則￡//1

B.若a=3,貝13a>2^

C.已知非零向量￡與刃且￡//5，則￡與否的方向相同或相反

D.對(duì)任一非零向量。，尸j'是一個(gè)單位向量

9.（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.方〃麗就是刀所在的直線平行于函所在的直線

B.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量

C.零向量的長(zhǎng)度等于0

D.2§+G4+5C=6

易錯(cuò)點(diǎn)02:忽略平面向量夾角的范圍與方向性

,易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（23-24高三上?山東聊城?期末）已知向量Z=（3/+l,2）,各=（1J）,若￡與否所成的角為鈍角，則實(shí)數(shù)

，的取值范圍：.

【答案】（-8,-1）。（-1,一）

【分析】￡與B所成的角為鈍角即且￡與方不平行，列式求解即可.

【詳解】々與刃所成的角為鈍角即鼠3<0且Z與刃不平行，

1

3%+1+2t<0t<——

即（37+1）1*20'5

3t之十/—2w0

所以才￡（一.一1）D卜1,一（

故答案為：（-e,-l）。［-1,-1

【易錯(cuò)剖析】

本題容易誤認(rèn)為7辦<0是Z與3夾角為鈍角的充要條件而出錯(cuò)，因?yàn)楫?dāng)鼠B<0時(shí)々與.夾角可能為萬(wàn).

【避錯(cuò)攻略】

1.向量的模

（1）向量的大小叫向量的模.向量1=（%,耳）的模為。=.

⑵若/（西,弘）,8（%,力）,則向量商的模卜5卜ja—/J,

2.向量的夾角

（1）已知兩個(gè)非零向量用以如圖），。是平面上的任意一點(diǎn)，作a=a,OB=b,則N4O8=6?（0W6W兀）叫

做向量。與b的夾角.

（2）當(dāng)夕=0時(shí)，〃與〃同向；當(dāng)。=九時(shí)，a與〃反向.

1

（3）設(shè)￡=?,“）［=（%,8）是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為。，貝Jcos，=i^=—Kx,x2+y,y2

|4忖西‘+療M+y；

71

3.垂直：如果。與分的夾角是則稱。與6垂直，記作"_L4

2

易錯(cuò)提醒：（1）兩個(gè)向量只有起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是向量的夾角（2）向量的夾角是指向量方向的夾

角；（3）向量的夾角范圍是［0,乃］,這一點(diǎn)是與直線的夾角范圍是不同的，要注意區(qū)分.

叁舉一反三

1.（23-24高三下?湖南湘潭?階段練習(xí)）已知向量方=（〃?+1,〃2）,^=（2,-1）,若￡與B所成的角為銳角，則

實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

2.（24-25高三上?北京順義?期中）設(shè)點(diǎn)A,B,。不共線，貝V方與就的夾角為銳角”是

方+就|>|萬(wàn)一就的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?湖南常德?階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形4BC中，。為2C的中點(diǎn),

4

C.—2D.—

3

,易錯(cuò)題通關(guān)

1.（23-24高三上?北京?開學(xué)考試）已知不共線的兩個(gè)非零向量％b,貝『力+B與萬(wàn)所成角為鈍角''是

“|&|<|/|”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高三上?河南安陽(yáng)?期中）設(shè)非零向量的夾角為。，若同=胴=2,貝廣。為鈍角”是

“卜_司>岳的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?山西大同?期中）已知向量￡,否,"滿足a+5+c=0,卜|=2,呵=內(nèi)，且￡與g的夾角為弓，則

cos（b,c]=（）

A271302萬(wàn)八2>/39「2V39

13131313

4.（24-25高三上?湖南?階段練習(xí)）已知ZUBC為單位圓。的內(nèi)接正三角形，貝U礪.前（）

33

A.—B.—C.1D.—1

22

5.（2024?云南貴州?二模）設(shè)向量1=（1,2）,分=（加,1）,且歸+可小-可，則〃?=,1和B所成角為

6.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）平面向量Z與B相互垂直，已知方=（6,-8）,⑸=5,且B與向量（1,0）的夾角

是鈍角，則6=.

7.（24-25高三上?福建福州?期中）已知同=6,高為單位向量，且3在》上的投影向量為一3五G，貝與營(yíng)

的夾角為.

8.（24-25高三上?福建福州?階段練習(xí)）己知）=（1,2）,6=（x,-4）,若萬(wàn)與B的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)x的取

值范圍是.

易錯(cuò)點(diǎn)03：忽略向量共線時(shí)的兩種情況

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）已知單位向量及與向量石=（1,2）共線，則向量G的坐標(biāo)

是.

【答案】（@,撞

55

【解析】根據(jù)與向量共線的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，單位向量值與向量石=（1,2）共線，

貝向量。=土自=±gl,即向量。的坐標(biāo)是（個(gè),半）或（一手

【易錯(cuò)剖析】共線向量的定義指出方向相同或相反的非零向量稱為共線向量，并規(guī)定零向量與任意向量共

線，本題容易忽略方向相反的情況而造成漏解.

【避錯(cuò)攻略】

1.向量數(shù)乘的定義

規(guī)定實(shí)數(shù)4與向量。的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：Aa,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如

下：①|(zhì)幾。|=|無(wú)||。|；②當(dāng)4>0時(shí)，Xa的方向與"的方向相同；當(dāng)彳<0時(shí)，急z的方向與。的方向相

反.當(dāng)4=0或a=0時(shí)，2a=0.

2.向量共線（平行）定理

向量a（awO）與力共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使〃=4a.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

（1）設(shè)a=（西，％）"=（%，％），其中bw0,a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)幾，使a=/l從

（2）如果用坐標(biāo)表示，向量a，b（bwO）共線的充要條件是西%-％%=0.

易錯(cuò)提醒：處理平面向量的共線問題一般有兩個(gè)思路：一是從幾何的角度，二是從坐標(biāo)的角度，這類問題

的求解過(guò)程有兩類特殊情況需要特別注意，一種是向量為零向量的情況；二是要考慮向量方向相同或相反

的情況.

舉一反三

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知向量aB不共線，^c=Aa+b,d=a+（2A-^b,若E與2反共線，貝U

實(shí)數(shù)力的值為（）

1-1―1

A.1B.—C.1或—D.—1或—

222

2.（24-25高二上?河南?階段練習(xí)）已知直線I的方向向量為1=住,1）,直線4的方向向量為％=（2-左㈤,

若4〃4，貝隈=（）

A.-2B.1C.-2或1D.0或2

3.（24-25高一下?四川瀘州?期中）（多選）與2=（3,-4）共線的單位向量有（）

友易錯(cuò)題通關(guān)

1.（24-25高三上?山東日照?階段練習(xí)）已知向量3,3不共線，S.c=Aa+b，才=3+（24+1,，若］與2

同向共線，則實(shí)數(shù)彳的值為（）

A.1B.7

c1或-;D.一1或：

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量Z=（3,-l）,單位向量］與向量石=（2,1）同向共線，則向量己在向量2方向

上的投影向量為（）

375⑹（3A/5垂）\A/23a}

,c.D.

l（rTo-jB-［記「司I/2'/2j

3.（23-24高一下?全國(guó)?隨堂練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是（）

A.若向量B都是單位向量，則0=3

B.若向量￡,刃都是單位向量，則而用向=1

C.任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量

D.平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共線

4.（24-25高一下?江蘇連云港?階段練習(xí)）已知向量礪=（2,2）,則與方共線且反向的單位向量為（）

（V2⑺

A.B.

[22J

C.D.（2,2）

5.（24-25高一上?云南?期末）（多選）設(shè)￡,g是互相垂直的單位向量，AB=Aa+2b，AC=a+（A-1）b,

下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若點(diǎn)。在線段45上，則4=2

2

B.若AB/AC,則2=§

C.當(dāng)2=1時(shí)，與刀共線的單位向量是好Z+拽B

55

1_2-

D.當(dāng)2=-1時(shí)，￡在/C上的投影向量為9-⑥

6.（24-25高一上?上海?課前預(yù)習(xí)）設(shè)q、是兩個(gè)不平行的向量，則向量加=-6+左（左eR）與向量

1=平行的充要條件是

7.（24-25高一下?河南?期末）已知向量2=（2,2）,與及共線且方向相反的單位向量B.

8.（23-24高一下?廣東佛山?期中）已知同=&，慟=1,￡與g的夾角為45。.

⑴求Z在刃方向上的投影向量；

⑵求歸+2可的值；

⑶若向量（2【應(yīng)與（茄-3可平行且方向相同，求實(shí)數(shù)X.

易錯(cuò)點(diǎn)04：錯(cuò)用平面向量的運(yùn)算律

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高二上?山東青島?期中）已知"石=石?"，下列關(guān)系一定正確的是（）

A.b=0B.Q=°C.（6/—c）_LZ?D.（Q—c）〃/）

【答案】C

【解析】由已知4坊=,所以B?c=O，即—c)=0,所以(Q—C)_L_B,故選C.

【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆了向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)的積的概念而出錯(cuò)，如由房坂二點(diǎn)〉兩邊同除以所

以。二c?

【避錯(cuò)攻略】

1.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)2,B都是非零向量，工是單位向量，。為Z與B(或工)的夾角.貝IJ

(1)a-e-e-a=|a|cos^；

(2)Q_1_B=Q.B=0；

(3)當(dāng)a與B同向時(shí)，=當(dāng)a與B反向時(shí)，a?坂=

(5)|叫第W

2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)a-b=b-a；

(2)(4Q"=/1(Q.坂)=a.(4)(2為實(shí)數(shù))；

(3)(a+B)c=a.c+B.c；

(4)常用公式

a-\-by\a-b\=a-b\a+b\=a+2a-b+b{a-b\=a-2a*b+b

易錯(cuò)提醒：(1)在實(shí)數(shù)中：若QWO,且Qb=O,則6=0,但在向量的數(shù)量積中，若Iwi，且

7B=o,不能推出1=0.

(2)已知實(shí)數(shù)〃也。修。0),且ab=bc,則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有Q/=B.

(3)在實(shí)數(shù)中有(a-b)-c=a?僅0,但是在向量的數(shù)量積中僅看"wZ?僅號(hào)，這是因?yàn)樽筮吺?/p>

與工共線的向量，而右邊是與￡共線的向量.

舉一反三

1.（24-25高三?河北石家莊期末）已知均為非零向量，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.若—Q.C=0,則B=c

B.若|a_c|=|7-c|,則2=I

C.若0>向，則（a+B）.（a-3）〉0

D.若21M=|司=2,鼠3=0,且|1+1-2）|=1,則|句的最大值與最小值之和為石

2.（2025全國(guó)高三第一次模擬）已知用B忑為非零平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.a-Lboa-b=0B.a//b<=>32GR^b=Aa

C.若萬(wàn)工=3工,則N=BD.（a-b）-C=a-（b-C）

3.（2025?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí)）已知平面向量。=0,3）,W=2,>|a-5|=V10,則儂+孫（,-町=（）

A.1B.14C.7l4D.y/10

易錯(cuò)題通關(guān)

I.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)￡,否為非零向量：X,〃eR,則下列命題為真命題的是（）

A.若“”q=0,則［=3

B.若否=花，則忖+忖=,+目

C.若比+癡=。，貝1|2=〃=0

D.若M>W，則（。+可-（a-?>。

2.（24-25高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是：（）

①若a，b，工為平面向量,則（晨昨=平封；

②向量&3卜-伍⑹在與￡垂直；

③3=（-3,%），3=（4,3）,若￡與否的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是加<4

b一

④.記回=e,則向量￡在向量刃上的投影向量為伍福前

A.0B.1C.2D.3

3.（24-25高三上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）若向量a行滿足W=l,+（5+2^15,則同=（

A.V2B.V3C.2D.3

4.（24-25高三上?山西太原?期中）（多選）已知非零向量￡,反乙則下列結(jié)論正確的是（）

A.若q（=c）=6,貝

B.若0+楊，（"-楊，則|￡|=歷|

C.向量可?5）c-（a?c）5與向量°垂直

D.若七=尤,則￡

題型二：解三角形

易錯(cuò)點(diǎn)05:解三角形時(shí)錯(cuò)判解的個(gè)數(shù)

叁易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）在三角形A8C中，。=2,/=￡,b=2拒,則/C=（）

6

兀7171r；,71

A.B.c鴻D.；或彳

632

【答案】c

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

,2_273

【詳解】由號(hào)=1彳可得：T=而萬(wàn),

sinAsinn一

2

所以sin8=4^,又b>a,

2

所以5=g或斗，

33

7T71

結(jié)合內(nèi)角和定理，所以/c=+或V，

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，容易忽略對(duì)解的個(gè)數(shù)的討論而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

在“8。中，已知a,6和/時(shí)，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

ccc

X

圖形-A

AB\：..-BA.......BAB

AB

bsinA<aa>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個(gè)

一解兩解一解一解無(wú)解

數(shù)

由上表可以得出：已知兩邊一對(duì)角:

大角求小角一解（銳）

"兩解一sin/<1（一銳角、一鈍角）

小角求大角一一解一sin/=1（直角）

無(wú)解一sin/>1

易錯(cuò)提醒：兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角時(shí)，由于正弦函數(shù)在在區(qū)間（0/）內(nèi)不單調(diào)，此時(shí)三角

形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，此時(shí)可通過(guò)大邊對(duì)大角進(jìn)行分析，也通過(guò)幾何法來(lái)判斷三角形解的

個(gè)數(shù)。

舉一反三

1.（24-25高二上?河南洛陽(yáng)?期末）在△4BC中,已知4=60°,a-2^3,b=2,則5=()

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

2.（24-25高二上?山西晉城?階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若

a=5b=2后,C=|,則角3的大小為（）

兀兀71

A.—B.一D.-

62c鴻4

3.（24-25高三下?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試）在△4BC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、6、c,根據(jù)下列條

件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（)

A.a=8,b=10,A-45°B.a=60,6=81,8=60°

C.a=7,b=5,A=80°D."14,6=20,/=45°

易錯(cuò)題通關(guān)

1.在A4BC中，2=30。,6=2,c=2①，則角/的大小為（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

TT

2.（24-25高二上?重慶?開學(xué)考試）若滿足=丁,/C=6,2C=上的△/BC恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)上的取值范

4

圍是（）

A.（0,6]B.（0,6]U{6A/2}C.[6,60]D.（6,672）

3.（24-25高三上?江蘇淮安?期中）在外接圓半徑為4的△N8C中，ZABC=30°,若符合上述條件的三角形

有兩個(gè)，則邊的長(zhǎng)可能為（）

A.2B.3C.4D.5

4.在中，AC=\,ZACB=3,延長(zhǎng)A4到點(diǎn)。，使得/。=也，ZADC=^,則48的長(zhǎng)為____.

46

5.已知的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為Q,b,C,若。=2,-4=y,且sin（5-C）=sin23,

則AABC面積為.

易錯(cuò)點(diǎn)06：忽略邊角互化條件

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例在zJ5c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,已知74cos8=6（c-7cos/）.

（1）求6;

TT

（2）。為邊N3上一點(diǎn)，AD=2DB=2BC,ZBDC=~,求AASC的面積.

【答案】⑴6=7

4

【分析】（1）通過(guò)正弦定理將74cos5=6（c-7cos/）中的邊化為角，可求出6的值；

（2）由題可知AMC為等邊三角形，|CD|=a,在中運(yùn)用余弦定理可求出。的值，進(jìn)而求得“3C

的面積.

【詳解】（1）:7acos5=6（。-7cos4）,由正弦定理得：7siiL4cos5=sin5（c-7cos/）,

7siiL4cos3+7siaBcos4=csin3,即7sin（4+5）=bsinC=7sinC,

貝1=7.

（2）由題可知ABOC為等邊三角形，則|CZ）|=a,AADC=y,

?.?|/。|=2。，在440。中，由余弦定理可得：

|/C「=\AD^+\DC[-2\AD\■\DC\■cosZADC,

2兀

2

即49=（2ci）+/-2?2ci?a,cos—^―,解得Q=V7,

”BC的面積為工xJ7X3A/7xsin'=.

234

【易錯(cuò)剖析】

本題在對(duì)題設(shè)條件的應(yīng)用過(guò)程中容易錯(cuò)用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，將7加053=6（°-785/）化為

7sinAcosB=51116（5畝0-785?1）而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.正弦定理

在AIBC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為A42C外接圓半徑

工=工=上=2R

sinAsinBsinC

2.正弦定理的變形

①asin3=bsin/；6sinC=csin5；asinC=csin/；

②sin/:sin5:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c

（3）-----=-----=------=--------------------=-------------=-------------=-------------

sin/sin5sinCsin24+sin5+sinCsin4+sin5sin/+sinCsin5+sinC

④。=27?sin/,b=2RsinB,c-2RsinC（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）

cihc

⑤sin/=——,sin5=——,sinC=——（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）

2R2R2R

3.正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:b:c=sin/:sin5:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊a>b=4>5=sin/>sin8=cosA<cosB

a+b+ca+b_b+c_a+cabc

③合分比:=2R

sin/+sin5+sinCsin4+sin8sin5+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

易錯(cuò)提醒：若等式中每一項(xiàng)的邊或者三角的正弦（特指sin4sin8sinC）的個(gè)數(shù)相同，可以考慮直接改成對(duì)

應(yīng)角的正弦或者對(duì)應(yīng)角的邊，否則就得利用2人進(jìn)行等量代換.

舉一反三

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知△NBC的內(nèi)角C所對(duì)的邊分別為凡4c,若

c-a）siiL4=csinC-6siii8,6=3,則NC邊上中線長(zhǎng)度的最大值為（）

A3V2c4拒r373n4收

2323

2.（23-24高一下?江蘇鹽城?期中）在八42。中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若

acosB+bcosA=a,則AJ8C一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

3.（23-24高一下?廣西南寧?期末）已知△ABC的內(nèi)角/,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,點(diǎn)。是48的中

16

點(diǎn).若a+-=ccos3且/C=l,CD=——，則48=.

22

易錯(cuò)題通關(guān).

1.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知△N8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且產(chǎn)=.5m「，

b+csin24+sinC

則/=（）.

7i7i27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

2.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在△48C中，角Z,BC所對(duì)的邊分別為a,6,c,c（sin4-sinC）=（a-6）（sin4+sin3）,

若△NSC的面積為周長(zhǎng)為%,則/C邊上的高為（）

4

A."B.走C.GD.2A/3

32

3.（2024?全國(guó)?二模）在ZkABC中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2acosN=bcosC+ccosB,且

a=4sin/,則△/8C周長(zhǎng)的最大值為（）

A.4V2B.672C.473D.6A/3

4.（24-25高三上?廣東東莞?階段練習(xí)）在A/BC中，若sin?/+sin?8+sin/sin8=sin?C,且NB邊上的中

線長(zhǎng)為2,則△NBC面積的最大值為.

5.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）△4BC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若人=2asin8,be=4,則△/BC

的面積為.

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.="，

ncos8=（3c-6）cos/,貝！l/UBC面積的最大值為.

7.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在△4BC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為風(fēng)瓦c,

2b=a（2cosC-cosB）-6cos4.

⑴求A；

(2)若△ABC的面積為46，。為NC的中點(diǎn)，當(dāng)2。取得最小值時(shí)，求8c的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)07:忽略三角形中的隱含條件

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(2025高三?全國(guó)?期末)設(shè)銳角。5c的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若C=24,則女生

a

的取值范圍是.

【答案】(272+1,273+2)

【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換將目標(biāo)式化為角A的函數(shù)關(guān)系，再求A

的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镃=2N,!^sinC=sin2/=2sin/cos/,cosC=cos2T1=2cos2/I-1,

又sinB=sin(Z+C)=sinAcosC+cosAsinC,

故由正弦定理可得：

2c+bsin5+2sinCsinAcosC+cos24sinC+4sinAcosA.._cosAsinC

-------=------------------=-----------------------；-------------------------=4cosA+cosCH-------；--------

asinAsinAsinA

=4cos/+2cos之J-l+2cos2A

=4cos2Z+4cos4-l，

又zU5C為銳角三角形，故可得AG(09,C=2AG(0,立*=兀-3/￡(09,

解得力￡(/，；)，則，

由于》=4COS2Z+4COSN-1=4(COSZ+；1-2,在cos/G(乎,5)上單調(diào)遞增，

當(dāng)cosZ=￥，＞=1+2后,當(dāng)354=等,》=2+2百，

4cos2+4cos-1e(2V2+1,273+2),

即行+1,2用2).

a

故答案為：(20+1,26+2).

【易錯(cuò)剖析】

本題在求解過(guò)程中容易忽略條件中三角形是銳角三角形這一限制條件，以致求錯(cuò)/的取值范圍而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

[△Z5C內(nèi)角和定理：A+B+C=71

①sinC=sin(Z+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=QcosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,6=ccos4+QCOSC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC=tan(Z+B)='+tanB=tan4+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tan-tanB