冪指對函數(shù)（8題型+高分技法+限時(shí)提升練）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升

熱點(diǎn)04幕指對函數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2024年對數(shù)函數(shù)的定義域

2022年幕函數(shù)的反函數(shù)對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)

熱點(diǎn)題型解讀

題型5對數(shù)函數(shù)的定義域遜1幕明數(shù)的概念與圖象應(yīng)用

酬6對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點(diǎn)題型2指數(shù)幕的

幕指對函數(shù)

轆7對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值壁3指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

題型8反函數(shù)壁4對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

題型1幕函數(shù)的概念與圖象應(yīng)用

(1)對于賽函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x=l,7=1,y=x所

分區(qū)域.根據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

(2)在比較賽值的大小時(shí)，必須結(jié)合森值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

1.(2024?崇明區(qū)二模)已知哥函數(shù)>=/(無)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則/(3)=—.

【分析】設(shè)出幕函數(shù)y=/(x)的解析式，根據(jù)其圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),求函數(shù)的解析式，再計(jì)算/(3)

的值.

【解答】解：設(shè)累函數(shù)y=/(x)—xa(aeR),

其圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),

；.2。=4,

解得a=2,

(x)=/；

：.f(3)=32=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評】本題考查了求募函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的解析式求函數(shù)值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

I2112I

2.(2024?上海長寧?一模)已知ae卜1,-§,-§,了§,1,2,3卜函數(shù)y=x"的大致圖像如圖所示，則“=

【知識(shí)點(diǎn)】暴函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用

【分析】根據(jù)圖像的對稱性，可得到函數(shù)的奇偶性；再由圖像與坐標(biāo)軸的關(guān)系，即可判斷。的取值.

【詳解】因?yàn)閳D像關(guān)于丁軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)；

2

又因?yàn)閳D像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，所以指數(shù)。為負(fù)數(shù).綜上所述，?=-1，

2

故答案為：

(X-1)3,0<X<2,

3.(2024?上海青浦?二模)對于函數(shù)y=/(x),其中/(x)=2，若關(guān)于x的方程〃x)=依有

一,x22

、x

兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

【答案】(o,￡|

【知識(shí)點(diǎn)】幕函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

【分析】將方程有兩個(gè)不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得答案.

【詳解】將函數(shù)7=d向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=(x-l)3,

作出函數(shù)》=/(x)的圖象如下：

要關(guān)于x的方程=區(qū)有兩個(gè)不同的根，

則函數(shù)歹=/(%)和函數(shù)歹=點(diǎn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

當(dāng)歹=人:過點(diǎn)(2,1)時(shí)，攵=/，

所以當(dāng)函數(shù)了=/(x)和函數(shù)y=履有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，。(后<g.

題型2指數(shù)幕的運(yùn)算

—?

（1）指數(shù)賽的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)需統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)霹，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：

①必須同底數(shù)賽相乘，指數(shù)才能相加.

②運(yùn)算的先后順序.

（2）運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

1.（2024.上海普陀?二模）若實(shí)數(shù)。，6滿足。-2障0,則2〃+好的最小值為.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、比較指數(shù)累的大小、指數(shù)哥的運(yùn)算

【分析】由已知2。>0,*0,a-2b>0,然后利用基本不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)?">0,不a—2b>0,

所以2°++=2。+522yp^=2LZ2"=2,

當(dāng)且僅當(dāng)2。=/，即。=6=0時(shí)等號成立，

所以2"+"的最小值為2.

故答案為：2.

2.（2024,上海閔行?三模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng),

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今

天大致相同.若2"+2=1，則（4"+1）（46+1）的最小值為.

25

【答案】記

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)暴的運(yùn)算、基本不等式求積的最大值

【分析】令機(jī)=2。，〃=2J結(jié)合基本不等式可得0〈加"三，（4"+1乂4'1）可化為（""—Ip+l,求二次函

數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.

【詳解】不妨設(shè)機(jī)=2°,n=2b,則機(jī)>0,〃>0,

所以1=加+〃22〃石，當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=1■時(shí)取等號，

BP0<mz?<—,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=工時(shí)取等號，

42

所以（4"+1）（4"+1）=（加2+1）（/+1）=（加〃）2+加2+〃2+]=（加〃）2+（加+〃）2_2mn+|

={mn^—2mn+2=（mn-1）2+1,（0<mn-）

所以當(dāng)加”;時(shí)，（平++1）取得最小值II.

25

故答案為：

16

題型3指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

------------------------------------------------------------------------------------------------------J

00后0

⑴利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間

量.

⑵求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，

要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

1.（2024?上海嘉定?一模）已知。為正數(shù)，則"。>3"是〃的（

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)給定條件，當(dāng)。>3時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，當(dāng)屋時(shí)，分類討論，最后利用

充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】當(dāng)。>3時(shí)，所以丁=優(yōu)為增函數(shù)，所以

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則a>3,當(dāng)0<a<l時(shí)，則a<3,此時(shí)0<a<l；

所以"a>3"是"廢>/〃的充分非必要條件.

故選：A.

2.（2024?上海閔行?一模）下列函數(shù)中，在區(qū)間（。,+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)的為（）

11

A._?2B.j=—：—C.y=21D.y=lg|x|

y_xx2+i

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、判斷一般基函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接

判斷函數(shù)的單調(diào)性

【分析】利用解析式直接判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在（0,+8）上的單調(diào)性即可.

【詳解】對于A,函數(shù)了=?在（°，+8）上是嚴(yán)格增函數(shù)，A不是；

對于B,函數(shù)了在（0,+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)，B是；

X+1

對于C,函數(shù)》=2,在（0,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù)，C不是；

對于D,當(dāng)x＞0時(shí)，＞=啕劃=恒工在（0,+00）上是嚴(yán)格增函數(shù)，D不是.

故選：B.

n

3.（2024?浦東新區(qū)校級四模）設(shè)力＞0,"＞0,若直線I：+5y=2過曲線y=〃-l+l（。＞0,且a=l）

11

的定點(diǎn)，則一+一的最小值為

mn---

【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：因?yàn)榍€y=/7+l過定點(diǎn)（1,2）,

m+n

所以加+〃=2,即---=l（m＞0,幾＞0）,

1111m+n1nm1r.一—1

則盛+:=（羌+3.h=5（1+1+/+刀25＞＜（2+23布.方）=5'（2+2）=2，

nm

當(dāng)且僅當(dāng)/=即冽=〃=1時(shí)取“=”，

11

所以一m+一n的最小值為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

4.（2023?上海浦東新?二模）已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為9,公比為;的等比數(shù)列.

11111,,一

（）求—+―+—+—+—的值；

1a

%a2a3&s

（2）設(shè)數(shù)列｛logs"｝的前"項(xiàng)和為S“，求S”的最大值，并指出S“取最大值時(shí)”的取值.

【答案】⑴1祟21

（2）當(dāng)〃=2或3時(shí)，，取得最大值3

【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值、對數(shù)的

運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】(1)求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的前"項(xiàng)和求解即可；

(2)記“fog、％,由(1)知”=3-〃，由等差數(shù)列的前力項(xiàng)和求出S“，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答

案.

I1,

【詳解】⑴由題%=96嚴(yán)=3”,則7=3"、

=3^+3-1+1+3+32=—

%a2a3a4a59

(2)記”=log3%,由(1)知b〃=3—幾，

二匚I、12+(3—〃)512

所以凡c=----

S=—%竺,

〃22228

當(dāng)〃=2或3時(shí)，S”取得最大值3.

5.(2024?上海黃浦?二模)設(shè)。eR,函數(shù)〃x)=-----.

2X-1

(1)求。的值，使得了=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若/(2)=a,求滿足＞a的實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【答案】(1)"=1

(2)(0,2)

【知識(shí)點(diǎn)】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得=⑴，代入解方程即可得出答案;

X

(2)由/(2)=a,可得。=2,則2二+上2＞2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出答案.

2X-1

【詳解】(1)由f(x)為奇函數(shù)，可知〃-1)=-7'⑴，

即—(1+2a)=—(2+a),解得”=1,

當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=-—,/(-%)=——=--=—/(x)對一切非零實(shí)數(shù)x恒成立,

2'—12*—11—2,

故a=l時(shí)，y=/(x)為奇函數(shù).

(2)由/(2)=a,可得44-<=。，解得a=2,

+7?x-4-

所以/(x)>a=----->2=-----<0=1<2*<4

2X-12X-1

解得：0<x<2,所以滿足〃尤)>。的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(0,2).

題型4對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

0o日e

解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法

（1）將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)賽的形式進(jìn)行化簡.

⑵將同底對數(shù)的和、差、倍合并.

（3）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.

二-----1-

1.（2024?奉賢區(qū)二模）若1g2=a,1g,=6,則/g98=.（結(jié)果用a,6的代數(shù)式表示）

【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

1

【解答】解：若lg2=a,lff^=b,

則/g7=-b,

貝/g98=7g2+2/g7=a-2b.

故答案為:a-2b.

【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

,11

2.（2024?長寧區(qū)二模）若3a=2占=6,則一+7=

ab

【分析】由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【解答】解：若3。=2'=6,則a=log36,&=log26,

11

%+石=log63+log62=log66=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化及對數(shù)的換底公式及運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

ab

3.（2024?寶山區(qū)校級四模）已知正實(shí)數(shù)a、b^^logab+logba=-|,a=b,則q+b=.

【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得/b的關(guān)系，然后結(jié)合指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

、51

【解答】解：因?yàn)檎^數(shù)〃、b滿足log/+/ogm=]=log/+/Oga》，

一1

解得，log，=2或log）=

所以或a=b2,

當(dāng)b=a1時(shí)，aa=bb-a2a之，

c113

所以2a2=q,gp,b=—,a+b=7,

113

當(dāng)a=y時(shí)，aa=bb=b2t）2即b〃=T，a+b="7，

N44

3

則a+b=7.

4

3

故答案為：T.

【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2024?浦東新區(qū)校級模擬)函數(shù)/(x)=log2(2x)4og8(8x)的最小值為.

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，換元后再由二次函數(shù)求最值.

【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

1

,

f(x)=log2(2x)log8(8x)=(l+log2x)(1+-log2x)

174

=-(log2xy+-log2x+l,

令％=log2X,則正R,

1o4

原函數(shù)化為g(力=+-t+1,

141

則當(dāng)/=-2時(shí)，g⑺有最小值為4+§x(-2)+1=

1

故答案為：-

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用換元法及二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題.

5.(2024?上海嘉定?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=|1%工|,若。<6,且/(〃)=/(6),則〃+2〃的取值范圍是.

【答案】(3,+8)

【知識(shí)點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值

2

【分析】畫出/(x)=|log3x|的圖象，數(shù)形結(jié)合可得0<a<1]>1,ab=l,故a+26=a+—,然后利用對勾

a

函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.

因?yàn)?<Q<6且/(a)=/(b),所以|log3al=|log3。且

2

所以一Iog3a=log3b,所以。6=1,故。+26=。+—，

a

22

由對勾函數(shù)y=—在(0,1)上單調(diào)遞減，所以a+2b=ad—>1+2=3,

xa

所以〃+2方的取值范圍是(3,+8).

故答案為：(3,+“)

6.（2023?上海浦東新?二模）已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為9,公比為;的等比數(shù)列.

11111

（1）求一+—+—+—+—的值；

aa

axa2%4s

⑵設(shè)數(shù)列｛logsg｝的前"項(xiàng)和為S,,求S”的最大值，并指出S“取最大值時(shí)〃的取值.

【答案】⑴1祟21

（2）當(dāng)"=2或3時(shí)，S”取得最大值3

【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值、對數(shù)的

運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】（1）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和求解即可；

（2）記由（1）知”=3-〃，由等差數(shù)列的前”項(xiàng)和求出S.，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答

案.

【詳解】⑴由題%=9?《尸=廣”，則;=3"\

a

3n

=3-2+3-1+1+3+32=—

Cl-yd?^^4^59

(2)記"=1083%,由(1)知6〃=3-幾，

二匚［、［02+(3—〃)512

所以S,=------------n=-n--n

邑=3二二=」(〃一與+”,

22228

當(dāng)〃=2或3時(shí)，S〃取得最大值3.

題型5對數(shù)函數(shù)的定義域

1.（2024?上海）log?x的定義域.

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)真數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：log）的定義域?yàn)椋?,+oo）.

故答案為：（0,+8）.

【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2+x

2.（2024?金山區(qū)二模）函數(shù)y=log2匚^的定義域是.

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可.

24-x

【解答】解：丫=1。92匚.

則；一>0,解得-2<無<1,

1—X

故函數(shù)y的定義域?yàn)?-2,1).

故答案為：(-2,1).

【點(diǎn)評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時(shí)應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題

目.

3.(2024?上海虹口?一模)函數(shù)y=ln——的定義域是_____.

x-1

【答案】(一8,0)口(1,+8)

【知識(shí)點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義可得」7>0,解不等式即可得出答案.

x-1

【詳解】函數(shù)y=ln上的定義域是上；〉。，

x-1X-1

所以x(x-l)>0,解得：X>1或x<0.

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?-co,0)u(l,+co).

故答案為：(-00,0)<J(1,4-00).

2+x

4.(2024?上海徐匯?二模)己知函數(shù)丁=/(x),其中/(x)=logi口■.

⑴求證:丁=/(乃是奇函數(shù)；

(2)若關(guān)于x的方程“X)=四工(X+左)在區(qū)間［3,4］上有解，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

2

【答案】①證明見解析

⑵［T2］

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

【分析】(1)結(jié)合奇偶性的定義以及對數(shù)函數(shù)運(yùn)算法則即可得證；

(2)分離參數(shù)，將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為左=±7+1在［3,4］上有解，由此轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值域問題.

x—2

2+Y

【詳解】(1)函數(shù)片1叫三的定義域?yàn)?=(-8,-2)52,+8),

在。中任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,都有-xe。，M/(-%)=logt=logt=logtf］=-/?.

2-x-2］%+2y—

2+x

因此，V=logi1是奇函數(shù).

2x—2

(2)/(尤)=1。82(苫+左)等價(jià)于》+/=葉2即左=讓2-工=/--》+1在［3,4］上有解.

2x-2x-2x-2

4「i

記g(x)=」\-x+l,因?yàn)間(x)在［3,4］上為嚴(yán)格減函數(shù)，

x—2

所以，gOOmax=gG)=2,g(X)mM=g(4)=-1,

故g(X)的值域?yàn)椋?1,2］,因此，實(shí)數(shù)上的取值范圍為［T2］.

題型6對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點(diǎn)

對數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法

(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最

低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

1.(2024?上海虹口?一模)設(shè)。>0且"1,則函數(shù)y=2+log戶的圖像恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】(1,2)

【知識(shí)點(diǎn)】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

【分析】令x=l,求得了=2恒成立，進(jìn)而得到函數(shù)恒過定點(diǎn)，得到答案.

【詳解】令x=l,可得y=2+log“l(fā)=2恒成立，

所以函數(shù)>=2+log,x的圖象恒過定點(diǎn)(1,2).

故答案為：(1,2).

2.(2024?上海普陀?模擬預(yù)測)函數(shù)y=log"(x+2)-l(a>0,且。片1)的圖像恒過定點(diǎn)，，若點(diǎn)/在直線

〃江+即+2=0上，其中機(jī)>0,?>0,貝!］,+工的最小值為.

mn

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】先由題意結(jié)合iog(,i=0求出點(diǎn)a進(jìn)而由點(diǎn)/在直線上得加+〃=2,再結(jié)合基本不等式常數(shù)"1"的

妙用即可求解.

【詳解】因?yàn)閘og“l(fā)=0,所以函數(shù)》=1。8。(》+2)-1(0>0且。片1)的圖象恒過定點(diǎn)(-1,-1),

即^(-1,-1),

又點(diǎn)N在直線加x+"V+2=0上,故機(jī)+〃=2,

,,c八11(1I、、1(n加、1/八入M晟)一

又加所以一+一=一一+一(加+〃)=—2+—+—>—2+2、-X—=2,

mn2\mn)2(mnJ2(Vmn,

當(dāng)且僅當(dāng)己='即加="=1時(shí)等號成立,

mn

所以--H—的最小值為2.

mn

故答案為：2.

3.(2023?上海?模擬預(yù)測)已知/(x)=怎ln(l+x).記g(x)=W(ox),其中常數(shù)加，a>0.

(1)證明：對任意加，a>0,曲線>=g(x)過定點(diǎn)；

(2)證明：對任意s,t>0,/(s+/)>/(s)+/(。；

⑶若對一切x21和一切使得g⑴=1的函數(shù)y=g(x),yN/bc恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶(f1].

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、

對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

【分析】(1)常數(shù)加，°>0,當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=W(0)=0,故曲線>=g(x)過原點(diǎn).

(2)"0)=0,由〃s+，)>/(s)+/0等價(jià)于〃s+。一〃s)>/(。一”0),用作差法構(gòu)造函數(shù)

A(x)=/(x+z)-/(x),對函數(shù)〃(x)進(jìn)行求導(dǎo),判斷函數(shù)〃(力的單調(diào)性,得力(可>〃(0)=0,從而可得證.

2〃

(3)用作差法證明對數(shù)平均不等式，函數(shù)歹=ln(l+〃)-一,通過求導(dǎo)和基本不等式可得出歹20,得出結(jié)

論；

【詳解】(1)g(o)=可'(0)=0,故曲線y=g(x)過原點(diǎn).

(2)當(dāng)尤=0時(shí),/(0)=0,故++等價(jià)于〃s+/)-—

考慮/z(x)=f+.貝I]h\x)=QX+,^ln(l+x+Z)+-1—e*(ln(l+x)+^—].

令尸e'-(l+0，_/=S-l,

當(dāng)f>0時(shí)，e'>1,所以y'=e'>0,尸e'-(1+f)在(0,+s)單調(diào)遞增，y>y\t=0=e°-0-1=0,

所以夕=e'-(l+f)>0,gpe'>l+t,

所以e‘卜11(1+x+t}-\----——|>(1+?)ln(l+x+f)H———>ln(l+x)H———,

I1+x+)1+x+El+x+,

而xNO,且，〉0時(shí)，------>----,

l+x+/1+x

故〃(x)>0,函數(shù)>=力(尤)在[0,+動(dòng)上嚴(yán)格增.

因此當(dāng)x>0時(shí)，〃(尤)>%(0)=0.特別地,〃s+f)-〃s)>〃。一/⑼.證畢.

2〃

(3)首先證明對數(shù)平均不等式：當(dāng)〃之0時(shí)，ln(l+w)>-—.

2+〃

147/2

考慮函數(shù)y=ln(l+〃)-J-,則——-一~~^>0,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)0=0.

2+〃1+〃(2+〃)(1+〃)(2+〃)

2〃

故當(dāng)〃之0時(shí)，ln(l+w)--------->0.

2+u

因?yàn)間(l)=l,所以由g(l)N彳/得2WL

下證當(dāng)241時(shí)，yN/lx對任意X21和一切使得g⑴=1的函數(shù)y=g(x)成立.

由題意，l=g6=me"ln(l+a),故加=”1：-----

令左=加。ln(l+a),考慮函數(shù)y=e"ln(l+ax)-kx.

貝Uyr=ae"|ln(l+ax)+-~--)-A:>qe"|ln(l+ax)+----|-ealn(l+a).

I\+ax)I\+ax)

當(dāng)a〉0且時(shí)，辦〉0.由對數(shù)平均不等式，ln(l+^)>^->-^.

2+ax\+ax

故V2aeax|ln(l+ax)+—-—\-ealn(l+a)>aea-ealn(l+a)>0,

I\+ax)

從而函數(shù)〉=e"1n(l+ax)一依在［l,+8)上嚴(yán)格增，得y20,即證.

綜上，所求范圍為(-8』.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：用作差法構(gòu)造函數(shù)和對數(shù)平均不等式是解題的關(guān)鍵，通過求出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性討論

及最值，從而得出結(jié)論，考查分類討論思想，整體思想，屬于較難題.

題型7對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

|一?.④.一一一

求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1

的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.

1.(2024?寶山區(qū)二模)已知a>6>0,貝!|()

A.a2>b2B.2a<2b

ii

C.a7<b^D.logia>logib

22

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【解答］解：a>b>Q,

則/〉廬，故/正確；

2a>2"故8錯(cuò)誤；

11

至＞成，故C錯(cuò)誤；

logia＜logib^故。錯(cuò)誤.

22

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024?上海?三模）不等式lg（x+l）＞l的解集為.

【答案】（9,+8）

【知識(shí)點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出不等式的解集.

【詳解】由不等式+得x+l＞10,解得x＞9,

所以不等式電仃+1）＞1的解集為（9,+8）.

故答案為：（9,+勸

3.（2024上海?模擬預(yù)測）設(shè)集合4=上｝=五京右｝,8=伸。83（X-1）＜1｝,則.

【答案】。,2]

【知識(shí)點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、交集的概念及運(yùn)算

【分析】求1=J-X2+4X的值域得到集合A,解不等式1唱（》-1）＜1得到集合B,再求交集即可.

【詳解】當(dāng)x=2時(shí)，--+以有最大值4,所以4+4尤e[0,4],

尸J*+4xe[0,2],所以/=[0,2],

logs等價(jià)于logs（x-l）＜logs3,則0＜x-l＜3,

xe（l,4）,所以3=（1,4）,故/口3=（1,2].

故答案為：（1,2].

4.（2024?上海?模擬預(yù)測）函數(shù)/口）=1。82（2打唾8（8X）的最小值為.

【答案】-:

【知識(shí)點(diǎn)】求對數(shù)函數(shù)的最值、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)化簡為/（x）=?log2X+2）2-;，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

［詳解)因?yàn)?(X)=log2(2x)-log8(8x)=(log22+log2x)?(log88+log8x)

=(1+log2x)fl+|log2x

2

=|(^2^)+11082^+1

2

=1(log2x+2)-1,

當(dāng)log2A-2,即x=：時(shí)，〃x)取到最小值，且/⑺而廣一.

故答案為：

5.(2024?上海靜安,一模)已知1%1酩、1酩、贖4、1酩是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且(1酩『<1阱?1聯(lián)，則X]

的最小值為.

【答案】100000

【知識(shí)點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】令lgX3=%,根據(jù)給定信息列出不等式，求出左的范圍即可得解.

【詳解】設(shè)lg》3=尼左?N*,依題意，lgXi="+2,lgX4=，T』gX5=L-2,k>3,

/93

由(IgxjJg%，得(左-1)2<(左+2)(左-2),解得左>],因此人23,

則1g無125,Xj>100000,所以外的最小值為100000.

故答案為：100000

6.(2024?上海青浦?二模)己知〃x)=lgx-l,g(x)=lgx-3,若|〃x)|+|g(x)|=|/(x)+g(尤)|,則滿足條

件的x的取值范圍是.

【答案】(0,10]U[1000,+8)；

【知識(shí)點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、分類討論證明絕對值不等式、對數(shù)的運(yùn)算

【分析】由絕對值等式可知/(x)g(x”0,代入函數(shù)后解不等式再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算和取值范圍求出結(jié)果即

可.

【詳解】因?yàn)閨/(x)|+|g(x)|=|/(x)+g(x)|,

所以〃x)g(x"0,BP(lgx-l)(lgx-3)>0,

解得IgxWl或lgxN3,

所以x的取值范圍是(o』o]U[iooo,+8),

故答案為:(0,10]U[1000,+oo).

7.(2025?上海?模擬預(yù)測)己知函數(shù)>=/(x)的定義域是。.對于/e。，定義集合S4)=卜|/(同2/(3.

S

(l)/(x)=log2x,求f(l6)；

⑵對于集合A,若對任意xe/都有-xeN,則稱A是對稱集.若。是對稱集，證明："函數(shù)/=/(》)是偶函

數(shù)”的充要條件是"對任意teD,S.是對稱集"；

⑶若xeR,〃x)=e—4加/.求優(yōu)的取值范圍，使得對于任意「<馬e。，都有$%)=$%).

【答案】⑴{無|尤216}

⑵證明見詳解

⑶[0，e]

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、

集合新定義

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(2)根據(jù)偶函數(shù)的定義和對稱集的定義即可證明必要性和充分性；

(3)根據(jù)定義判斷出函數(shù)單調(diào)不減，得到導(dǎo)函數(shù)大于等于。恒成立即可求解.

【詳解】(1)由定義得，5/(16)={x|/(x)>/(16)}={x|log2x>log216)={x|x>16}.

(2)證明：

必要性：因?yàn)楹瘮?shù)>=/(x)是偶函數(shù)，所以對任意尤e。，/(x)=/(-x),

對任意若f”G即則=

所以-xeS/0,所以對任意fe。，S/(,)是對稱集.

充分性：若對任意除。，當(dāng)(,)是對稱集，

因?yàn)閷θ我鈌e。，所以TeS/(,),即/(T)之/⑴①，

又一小邑㈠，所以，eS/一)，即②.

由①②得，對任意fe。，/。)=/(-4，

所以函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù).

綜上，"函數(shù)>=/(x)是偶函數(shù)”的充要條件是"對任意te。，S/(,)是對稱集"，得證.

(3)因?yàn)閷τ谌我鈚a與e。，都有斗⑹

所以若xeS/?,則xeS禽),即若則

所以所以/(X)在R上單調(diào)不減，

所以對任意xeR,/〈x)=e，-mxNO恒成立.

當(dāng)x=O時(shí)，顯然成立，meR；

當(dāng)x>0時(shí)，加《《恒成立，令g(x)=g，g,xU，

XXX

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,(1,+8)單調(diào)遞增,所以加Vg(x)mm=g6=e；

當(dāng)x<0時(shí)，加恒成立，此時(shí)<0

因?yàn)間(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，當(dāng)X-—8時(shí)，g(x)f0,g(x)<0,

x<0,xf0時(shí)，g(x)f-co,

所以加20；

綜上，we[0,e].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)不減等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于等于0恒成立.

題型8反函數(shù)

1.(2022?上海)設(shè)函薪〃無)=X3而彘薪其廣(x),則尸(27)=.

【分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值.

【解答】解：函數(shù)〃x)=x3的反函數(shù)為7一(X),

整理得廣(x)=加；

所以廣(27)=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基

礎(chǔ)題.

2.(2023?浦東新區(qū)校級一模)設(shè)函數(shù)y=/(x)=2工+<?的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,5),則y=/(x)的反函數(shù)

(%)=.

【分析】由/(2)=5,解得c=l,得y=/(x)=2X+1,然后反解x后，對調(diào)x與/(x)可得.

【解答】解：依題意有：/(2)=22+C=5,解得：C=1,所以/(x)=2X+1,

.'.2x—f(X)-1,X=log2(/(x)-1),'.f1(x)=log2(X-1)

故答案為：log2(X-1)

【點(diǎn)評】本題考查了反函數(shù).屬基礎(chǔ)題.

限時(shí)提升練

(建議用時(shí)：60分鐘)

一、單選題

1.(2024?上海寶山?一模)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)且存在零點(diǎn)的是()

A.y=exB.y=s[x+2

C.V=Tog[D.y=(x-2)2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、判斷一般哥函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的零點(diǎn)

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，結(jié)合解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案.

【詳解】對于A：因?yàn)閥=e￡＞0,所以不存在零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對于B：令＞=?+2=0n6=-2沒有實(shí)數(shù)解，所以不存在零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

對于C：令夕=-1。8產(chǎn)=0=工=1,所以零點(diǎn)為1,又因?yàn)閥=-logy=log2x,

22

所以＞=Tog『在(0,+劃為增函數(shù)，故c正確；

對于D：尸(x-2『在(2,+8)單調(diào)遞增，在(-8,2)單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.(2024?上海徐匯?二模)在下列函數(shù)中，值域?yàn)镽的偶函數(shù)是()

xx3

A.y-x3B.y=lg|x|C.y=Q+eD.y=xcosx

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、函數(shù)奇偶性的定義與判斷

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷，利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和基本不等式確定偶函數(shù)的值域.

【詳解】ACD三個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)定義域是R,

函數(shù)了=lg|x|的定義域是{x|x*0},lgf|=lg|x|,y=lg|x|為偶函數(shù)，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知其值域?yàn)镽,B符

合；

(-X)3=-?大?止匕/'3，Ad彳寸，

e-'+e—s)=er+eX=e'+eT,因此y=1+?一、是偶函數(shù)，但-=?-2點(diǎn).《-"=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取

等號，因此函數(shù)值域不是R,C不符；

(-x)3cos(-x)=-x3cosX,y=/cosx是奇函數(shù)，D不符.

故選：B.

3.(2025?上海?模擬預(yù)測)塞函數(shù)尸上在(0,+")上是嚴(yán)格減函數(shù),且經(jīng)過則。的值可能是().

211

A.—B.—C.-D.3

333

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)塞的化簡、求值、由塞函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)的單調(diào)性可排除C和D；根據(jù)基函數(shù)過點(diǎn)可排除A.

【詳解】因?yàn)榧魏瘮?shù),v=x"在(0,+8)上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以。＜0,故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；

22

對于A,若。=一§,則y=/w，當(dāng)％=-1時(shí)1

所以塞函數(shù)y=X9過點(diǎn)(一LD，故A錯(cuò)誤;

對于B,若<2=-，，則?=尸，當(dāng)x=-l時(shí)，，=(T)3=^一口=—1,

3V-x(-1)3

所以暴函數(shù)>=；3過點(diǎn)(T,-l),故B正確.

故選：B.

4.(2024?上海閔行?二模)已知y=/(x),xeR為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log2x-l,則集合

｛x"(-x)-/(x)<0｝可表示為()

A.(2,+oo)B.(-<?,-2)

C.(-S,-2)U(2,+8)D.(-2,0)U(2,+?)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求函數(shù)解析式

【分析】利用函數(shù)奇偶性可得不等式/■(-x)-/(x)<0等價(jià)于〃尤)>0,再求出函數(shù)解析式，利用對數(shù)函數(shù)單

調(diào)性解不等式可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榱?/(x)為奇函數(shù)，所以解-X)-"x)<0等價(jià)于-2〃尤)<0,BP/(x)>0;

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log2x-l,gp/(x)=log2x-l>0,解得x>2；

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,nJf(-x)=-f(x)=log2(-x)-1,所以〃x)=l-log2(-x),

解不等式/(x)=l-bg2(-x)>0,可得-2<x<0,

綜上可得集合｛xI〃-尤)-〃x)<0｝可表示為(-2,0)U(2,+8).

故選：D

5.(2024?上海靜安?一模)污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產(chǎn)肥料.該廠的污水處理裝

置每小時(shí)從處理池清除掉12%的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的10%,大約需要的時(shí)間

為()(參考數(shù)據(jù)：lg0.88y-0.0555)

A.14小時(shí)B.18小時(shí)C.20小時(shí)D.24小時(shí)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用(1)、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算

【分析】分析可知，/小時(shí)后，處理池中的殘留物為“1-12%)’，根據(jù)題意可得出關(guān)于/的等式，解之即可.

【詳解】設(shè)處理池中的殘留物初始時(shí)為。，則》小時(shí)后，處理池中的殘留物為

根據(jù)題意可得“(1-0.12)'=0.1°,即0.88'=0.1,解得，Togo.88°」=空與-18.

因此，要使處理池中的污染物水平降到最初的10%,大約需要的時(shí)間為18小時(shí).

故選：B.

6.(2024?上海青浦?一模)對于數(shù)列｛%｝,設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，給出下列兩個(gè)命題:①存在函數(shù)

y=/(x),使得S“=/(a”)：②存在函數(shù)N=g(x),使得"=g(a").則①是②的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、函數(shù)關(guān)系的判斷、反函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用、數(shù)列的概念及辨析

【分析】取特例可知①推不出②，根據(jù)反函數(shù)可知滿足②能推出①，結(jié)合充分條件、必要條件的概念得

解.

【詳解】取s.=%=o,存在y=/(x)=o,使得成立，

此時(shí)由函數(shù)定義知，不存在函數(shù)y=g(x),使得"=g(a“)，

當(dāng)存在函數(shù)y=g(x),使得〃=g(a.)成立時(shí)，

由于"與凡為一一對應(yīng)關(guān)系，所以巴就可以寫成y=g(x)的反函數(shù)，

即％可以用”表示，即存在函數(shù)%=gT("),

所以存在S“=帥)=/(%)=/{gT(")}，

綜上可知，①是②的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于新概念問題需要去理解，本題理解了之后，可以根據(jù)函數(shù)的概念去判斷

①②之間的推出關(guān)系得解.

二、填空題

7.(2024?上海?模擬預(yù)測)函數(shù)V=bg/的定義域?yàn)?

【答案】(。,+⑹

【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、求對數(shù)函數(shù)的定義域

【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得.

【詳解】由題意可得x>0,即>=logzx的定義域?yàn)?0,+s).

故答案為：(0,+°0).

8.(2024?上海嘉定?一模)函數(shù)y=log2(>2T)的定