解三角形必用的定理-高考數(shù)學二輪復習

考點精煉-解三角形必用的定理

高考數(shù)學二輪復習備考

一、單選題

DetanA

1.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃，A,c且滿足牛=1+角A的內(nèi)角平分線交

btanB

2C于點若BM=2CM,則槳=（）

BC

A.—B.—C.-D.2

322

2.在VABC中，AB=4,E是BC邊中點，線段AE長為由，NB4c=120。，。是BC邊上一點，AD

是/BAC的角平分線，則AD的長為（）

A.-B.-C.2D.-

333

3.在VA3C中，若/是VABC的內(nèi)心，〃的延長線交2C于O,則有*=黑稱之為三角形的

AC

內(nèi)角平分線定理，現(xiàn)已知AC=2,BC=3,AB=4&AI=xA^+yACf貝快數(shù)x+y=（）

12

A.1B.—C.—D.2

33

4.古希臘的數(shù)學家海倫在他的著作《測地術》中最早記錄了“海倫公式"：S=Mp-G（p-bXp-c）,

其中p=￡±|±￡,a,b,c分別為VABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，該公式具有輪換對稱的

特點.已知在VABC中，sinA:sinS:sinC=8:7:3,且VABC的面積為126，則3C邊上的中線長度為

()

A.372B.4C.774D.726

二、多選題

5.已知VABC中，AB=l,AC=4,/BAC=60o,AE為NR4C的角平分線，交BC于點瓦。為AC中點,

下列結論正確的是（）

A.BE=—

5

4A/2

BR.AE=-----

5

C.AABE的面積為走

5

D.尸在△ABD的外接圓上，則+的最大值為近

三、填空題

6.在VABC中，若sin2A+sin23+sinAsin8=sin2c,且AB邊上的中線長為2,則VABC面積的最

大值為?

2兀

7.已知VABC中，ZA=y,ZA的角平分線交2C于點。，AD=1且C￡>=23D,則VABC的面積

為.

8.在AABC中，角AB,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足反osC+c8sB=2acosA,若VABC的中線

AD=y[3,且6+c=4,則VABC的面積為.

3

9.在VABC中，/BAC的平分線為與5C交于點。,cosNB4C=—,AB=5,AC=2,貝Ij

4

AD=?

10.在VABC中，。為邊8C上一點，且滿足4。，47,85/&4。=-；,"=3直,4。=3,則8=

四、解答題

11.已知在VA3C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且atanB-JTSbcosC=JFccosB.

(1)求tan8；

⑵若8。為AC邊上的中線，且BD=2,求VABC面積的最大值.

12.在VABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c.己知2ccosA=26—a.

⑴求角C的大小；

⑵設M為AB邊的中點，若,=而，a-b=l,求|兩的大小.

13.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知acos3—bcosA=a-c.

⑴求8;

(2)若a=l,c=3,。為AC邊的中點，求8。的長.

14.在VABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,cosB-bsinA='j3c,c=2,

⑴求A的大?。?/p>

(2)點。在BC上,

(I)當AD1AB,且AD=1時，求AC的長；

(II)當BD=2DC,且AT>=1時，求VA3C的面積S?Bc.

15.在VABC中，AB,C分別為邊a,6,c所對的角，且滿足2a+c=2&cosC.

⑴求的大小；

(2)/A的角平分線AZ)交3C邊于點￡),當c=2,|AD|=J7時，求|C4.

16.在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且bsinBtanA=\/^asinBcosC+A^sinCcosA.

⑴求A；

(2)若。在邊BC上，S.BD=2DC,b=3,AD=2^,求VABC的周長.

參考答案

1.A

sinA

2sinCcosA1sinAcosBsinBcosA+sinAcosBsin(A+B)

由條件有:；=]1H；-1H■="=~"

sin3sm6sinBcosAsinBcosAsinBcosA

cosB

又sin(A+B)=sin(7r-C)=sinC,sinB>0,sinC>0,貝"窩二色=‘融。

sinBsinBcosA

即cosA=g,又Ae(O,0,則A=?

由AM為NC鉆的角平分線，則逆=典=2,即鉆=2AC

ACCM

則NC4M=NR4M=30°

AC2+AM2_CM2

在八4。1中,cosZCAM==B

2-AC-AM一3

即4。2+4河2一c/=G4c①

CM2+AM--AC2

在zMCM中,cosACMA=------------------------

2CMAM

BM2+AM2-AB24CM2+AM2-4AC2

在AABM中，cosZBMA=------------------------=-----------------------------

2BMAMArCMAM

,ioco?CM2+AM--AC24CM2+AM2-4AC2

由ZBMA+ZCMA=180°,則n------------------+--------------------=0M

2CMAMArCMAM

化簡得到：AM2=2AC2-2CM~②

將②代入①可得:4手C③

將③代入②可得:CM=—AC,所以BC=Vi4C

3

*AC_2

所以4”

BCV3AC3

故選：A

2.B

.1.

E是5c邊中點，則AE=5(A3+AC),

所以理2=-(AB+AC)2=-(AB+2AB-AC+AC),

44

即3=L16+2X4-ACCOS120°+AC2),解得AC=2,

4

BC=A/42+22-2X2X4COS120°=2不，

AD是/54C的平分線，則黑=E=t，BD=巫,CD="

CDAC233

cT+CB?_AB?4+28-162

cosC=

2CACB2x2x2幣~"

AD=y/CA2+CD2-2CA-CDcosC=j4+--2x2x^^x^=-,

在AC4O中,

V93773

故選：B.

3.C

__.1.2__-

由角平分線定理可得出麗=2覺，^AD=-AB+-ACf再由角平分線定理可得

A/=|AD=|AB+|AC,由向量相等的性質(zhì)可得結果.

因為/是VABC的內(nèi)心，A7的延長線交3c于。，AC=2,BC=3,AB=4,

由角平分線定理可得黑=*=2,可得=BD=2DC，

即而_覆=2（/_而），則蒞=；通+|正，

又因為3c=3,BD=2,且也為NA5D的角平分線，

所以，所以,國號由H出+|5小

2

x=—

92

又屈=%通+丁工，且向量通、*不共線，所以，＜:,所以尤+y=f

y二一一

9

故選：C.

4.D

先求得cosAsinA,然后利用三角形的面積公式、向量法求得5c邊上的中線長度.

設。是5c的中點，連接AD.

依題意，在VABC中，sinA:sinB:sinC=6z:Z?:c=8:7:3,

設a=8左,Z?=7左,c=3左,左＞0,由余弦定理得cosA=--------------=——

2x7x37

所以A為鈍角，所以sinA=由一cos24=拽,

7

所以SAMc=gx3左X7左X理=12指,％2=2,

兩邊平方得詬2=：+AC+2AB-AC^

=-|9+49-2x3x7x-k2=13^2=26,

所以|麗=圓.

故選：D

5.ACD

在VABC中，由余弦定理得BC2=l+42-2xlx4xcos]=13,BC=ViI,

由角平分線定理得：BE:EC=BA:AC=1:4,BE:BC=1:5,BE=±BC=誓,所以A正確；

由S“BE+S_MCE=SAABC得:xAExlxsinF+gxAEx4xsinB=gxlx4xsinm,解得AE=^^,所以B

2o2o235

錯誤；

SABE=—xAExlxsin—=^-,所以C正確；

“BE265

在AED尸中,BD=.l+22-2x2xcos~=y/3,ZBPD=~,

\33

cPDBPBD也?

設NPBD=e,則/尸。2=下一，，由正弦定理得：sine一.，2兀一.兀一名

3sin（------⑺sin一—_

332

:.PB+-PD=2sin（——。）+sin。=6cos。+2sin0=近sin（0+（p）,其中tan0=3,所以D正確.

232

故選：ACD.

6.4月

22222

因sinA+sinB+sinAsinB=sinC,由正弦定理可得〃？-\-b+ab=cJ

222

Z7_1_A_r1

^a2+b2-c2=-ab,所以cosC:一二—，,又OVCVTL,

lab2

所以C=@,sinC=sin—=^,設AB邊上的中線為C￡>,

332

則麗=：(無+岳)，則|①『=^(CA+CB)2=^a2+b2-ab)=4,

=a1+b2—ab>lab-ab=ab，當且僅當a=8=4時等號成立,

所以(S-ABC)max=1(ab)max.sinC=4A/3.

故答案為：473.

因為NA的角平分線交BC于點。，且CD=23D,

ABBD

在△ABD中，由正弦定理得

sinZADB~sinZBAD'

ACCD

在AACD中，由正弦定理得

sinZADC-sinZG4￡>’

因為/RW=NC4D,^.ZADB+ZADC=n,所以sinNAD8=sin/ADC,

可得=y，所以AC=2AB,

2T.CzCU

2兀

又因為“ABD+S^ACD=，且/A=可，AD為角A的平分線，

1jr1jr127r

可得一xA5xAOxsin—+—xACxADxsin—=—xA5xACxsin——,

232323

因為AZ>=1,且AC=2AB,

B\^-xABxlx—+-x2ABxlx—=-xABx2ABx—,解得,

2222222

所以54口o=''ABxACsinA=-x—x3x=2211..

“BC22228

故答案為：巫.

8

由ZTCOSC+ccosB=2acosA,得sin3cosC+sinCcos5=2sinAcosA,

即sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,因為sinAwO,所以cosA=4，

2

因為Ae(O,兀)，所以A=g,

由2通=麗+/，兩邊平方12=〃+，+Z?c=(Z?+c)2-bc=16-bc,

所以bc=4,則S，4Bc=g0csinA=石.

故答案為：V3

5A/14

Qy.----

7

方法一：i^ZBAD=ZCAD=3f

因為可那。=^^BAD+AD,

所以:?A3ACsin2e=；A3AOsin8+gACA￡)sin。，

sin26sin。sin。

化簡得,-:--=——+——，

ADABAC

2sin6cosesin。sin。

故---------=----h，

ADABAC

2cos。11

因為sin（9wO,所以_______I___

AD~ABAC9

2cos011720

所以—____I_____一—,則AD=，cos6.

AD~52一107

因為儂2*2后1。2匹（。,兀）,所以c°sO=坐

所以A八型cos*嗎巫=也

7747

故答案為：生但

7

方法二：由余弦定理得3C=96+3—2AB-ACcosZBAC=，25+4—2X5X2X、=7S,

由角平分線定理得爺=怒=3,

所以吟g平，“%沉尸=上幫當

所以A。=VAB2+BD2-2AB-BDcosB=J25+1^^|一2義5義斗4義殍=,

故答案為：處.

10.3A/3

根據(jù)SAABC=S^BD+S&ACD計算可得.

B

DC

如圖，因為cos/a4C=-2，所以sin/BAC=一cos?NBAC=述,

33

由SMe=$ABD+SACD，知‘A3?ACsinABAC=-ABADsinABAD+-ACADsinCAD,

?-■-1A/iQ"A/IC"，/，，222，

sin"ACsin/BADsinZDAC

化簡得---------1---------

-AD-ACAB

「一述sinfzBAC--^

SAD±AC,AB=30,AD=3,則有3_I2乙1,

3AC3A/2

因sin4c—=一cos/BAC=，故得半=1+七，解得AC=3版.

在RtAADC中，CD7Abi+AC"=3百.

故答案為：3A/3.

11.(l)tanB=A/15

⑵平.

(1)H^Jd;tanB-V15Z?cosC=y/15ccosB,

n

所以"si'_括務cosC=V15ccosB,

cosB

即^^sinB-^/15Z?cosBcosC=^/15ccos2B,

由正弦定理得sinAsin3=^/15sinBcosBcosC+A/15sinCcos2B,

即sinAsinB=V15cosB(sinBcosC+sinCcosB)=y/15cosBsin(B+C),

LUsinAsinB=^/15cosBsinA，

由sinAW0,得sin5=y/15cosB,即tanB=A/15.

(2)因為皿=岳，sin2B+cos2B=l,

cosB

所以sin8=姮，cosB-4.

44

因為BD為AC邊上的中線，所以麗=g(麗+團)，

又因為班>=2,所以麗丁，麗+前y=4,^16=BA+2BA-BC+BC\

所以<?+工x2ac+a2=16,

4

由基本不等式得16=0?+/—ac之2QCH—etc,

22

解得acW當，當且僅當a=c=W適時等號成立.

55

痂a_1.吟1327154715

HA3AA一一etcsinB工-x—x--------------,

△ABC22545

所以VABC面積的最大值為止.

5

12.(l)y

⑵2

(1)用正弦定理將邊化角，再用兩角和的正弦公式化簡即可求出cosC=1,進而可得角C的大小;

2

(2)用余弦定理結合題目所給條件可求出而及/+〃，再用向量即可求解.

(1)?.?2ccosA=2b—a,

2sinCbosA=2sinB-sinA,

2sinCcosA=2sin(A+C)-sinA,

2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC-sinA,

/.2sinAcosC=sinA,

sinAw0,/.cosC=—

2

(2)在AABC中，由余弦定理得|AB|2=|AC|2+|BC|2_2-|ACH3C|COSC,

6—+a?—ab,

又因為a-Z?=l,

所以2"=1,

聯(lián)立解得ab=5,a2+b2=11,

因為加為48邊的中點，所以2恐而=互+函，

所以4|兩閆列2+|西2+2|CA||C^COSC,

^4\CM\1=b2+a2+ab=ll+5=l6,

所以|國|=2

c

Q)叵

2

1jr

(1)由正弦定理和sinC=sin(A+5)=sinAcos_B+sin5cosA得到COSB=5,求出B=y；

(2)由向量基本定理得到訪=!(麗+前)，兩邊平方，結合8=與，求出而2=￥，得至史.

2、,342

（1）acosB-bcosA=a-c,由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sinA-sinC,

由于sinC=sin[ji—（A+5）]=sin（A+5）=sinAcosB+sinBcosA,

故sinAcosB-sinBcosA=sinA-sinAcosB-sinBcosA,

所以2sinAcosB=sinA,

因為A?0,兀），所以sinA>0,故2cos3=1,cosB=^,

因為3?0,兀），所以B=g；

（2）。為AC邊的中點，故麗=；（麗+就），

兩邊平方得~BD=1（而2+BC+2BA-BC^=^c2+a2+2accosB）,

又a=l,c=3,B=-|,所以8。=：（9+1+6*；）=?,故B￡）=|而

../_,、.2兀

14.⑴4=可

⑵AC=7-S

（1）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得tanA的值，結合Ac（0,乃）即可求解

A的值；

（2）（I）根據(jù)銳角三角函數(shù)和差角公式可得cos及C=^=*sin4BC=^=W，sinC=-$+^

BD75BD.5105

正弦定理即可求解.

(II)采用面積分割的方法以及正弦定理即可解決.

（1）因為6acosB-bsinA=6c，

所以由正弦定理可得百sinAcosK-sinBsinA=A/5sinC，

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以-sinBsinA=^cosAsinB，

因為8為三角形內(nèi)角，sinB>0,

所以-sinA=若cosA,可得tanA=-A/^,

因為Ae(。，兀),所以A=石；

(2)(I)止匕時AB=2=2AD,ADJ.AB,

所以的=y/AB2+AD2=卡),所以

cosZABC=—=AZABC=—=^=,sinC=sin[B+—

sinLV5UI2J—V52音10+姮5

BD75BD75I3.

2義忑8g+4

ACAB…ABsinZABC

在VABC中，由正弦定理可得-------=>AC=-------------------

sinZABCsinCsinC非岳一11

----------1---------

105

(II)設ACAD=a,由S4ABe=S/AD+SACW,

27T27T

可得A/5〃=2sin(~^--a)+bsma,化簡可得也力一Z?sina=2sin(^--a)

bCD2_BD

有sin/ADCsina'sinZADB2兀,

sin^——ct)

Z?sinersinZADB_1

由于3D=2￡)C,所以sin/ADcX].2n2,

zsin^——CL)

sin(?-a)i拒b