高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.2 余弦定理（2）教學(xué)設(shè)計(jì) 蘇教版必修5

高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2余弦定理（2）教學(xué)設(shè)計(jì)蘇教版必修5科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2余弦定理（2）教學(xué)設(shè)計(jì)蘇教版必修5課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2余弦定理（2）

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：2023年4月15日星期五上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)

---

同學(xué)們，大家好！今天咱們要一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界，繼續(xù)探索解三角形中的奧秘。這節(jié)課，我們就來(lái)深入探討余弦定理的更多應(yīng)用，讓我們一起在數(shù)學(xué)的海洋中乘風(fēng)破浪吧！????核心素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：理解余弦定理的幾何意義，發(fā)展空間想象能力。

2.邏輯推理：運(yùn)用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，提升邏輯推理和論證能力。

3.數(shù)學(xué)建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提高建模與解決問(wèn)題的能力。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：熟練運(yùn)用余弦定理進(jìn)行計(jì)算，提高運(yùn)算技能和精確度。

5.數(shù)學(xué)思考：在探究余弦定理的過(guò)程中，培養(yǎng)批判性思維和創(chuàng)造性思維。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

同學(xué)們?cè)诖酥耙呀?jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，對(duì)正弦定理和余弦定理（1）有了一定的了解。他們已經(jīng)能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的三角形問(wèn)題，具備了初步的數(shù)學(xué)建模能力。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高一的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍抱有較高的興趣，尤其對(duì)幾何問(wèn)題有著濃厚的興趣。他們的學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，能夠快速吸收新知識(shí)。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，大部分學(xué)生傾向于通過(guò)邏輯推理和實(shí)際操作來(lái)理解數(shù)學(xué)概念。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)余弦定理（2）時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難：一是理解余弦定理在解決非直角三角形問(wèn)題中的應(yīng)用，二是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，三是計(jì)算過(guò)程中的精確度和運(yùn)算速度。此外，一些學(xué)生可能對(duì)幾何圖形的想象和空間思維存在一定的障礙，需要更多的直觀輔助來(lái)幫助他們理解和掌握。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)清晰的講解，幫助學(xué)生理解余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程和幾何意義。

2.討論法：組織學(xué)生分組討論，鼓勵(lì)他們提出問(wèn)題并共同解決問(wèn)題，提高合作學(xué)習(xí)的能力。

3.實(shí)例分析法：通過(guò)具體的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，加深對(duì)定理的理解。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：利用PPT展示余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程和實(shí)際應(yīng)用案例，增強(qiáng)直觀性和互動(dòng)性。

2.教學(xué)軟件：運(yùn)用幾何軟件模擬三角形的變換，幫助學(xué)生直觀理解余弦定理在不同情況下的應(yīng)用。

3.實(shí)物教具：使用三角形模型等教具，讓學(xué)生動(dòng)手操作，加深對(duì)余弦定理空間意義的理解。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)**導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）**

同學(xué)們，今天我們來(lái)繼續(xù)探索三角形的奧秘。還記得我們?cè)谏弦还?jié)課中學(xué)到的余弦定理（1）嗎？它幫我們解決了許多直角三角形的問(wèn)題。今天，我們要把目光投向非直角三角形，看看余弦定理（2）如何大顯身手。首先，我想請(qǐng)大家思考一個(gè)問(wèn)題：如果你手頭有一個(gè)三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)，你能否確定這個(gè)三角形的形狀呢？好，讓我們帶著這個(gè)問(wèn)題開(kāi)始今天的探索之旅吧！

**講授新課（15分鐘）**

1.余弦定理（2）的推導(dǎo)（5分鐘）

-通過(guò)回顧正弦定理，引入余弦定理（2）的推導(dǎo)思路。

-利用向量乘積的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出余弦定理（2）的公式。

-展示推導(dǎo)過(guò)程，確保學(xué)生理解每一步的邏輯。

2.余弦定理（2）的應(yīng)用（10分鐘）

-舉例說(shuō)明余弦定理（2）在解決非直角三角形問(wèn)題中的應(yīng)用。

-分析不同類型的問(wèn)題，如求角度、邊長(zhǎng)、面積等。

-通過(guò)PPT展示實(shí)際案例，如工程測(cè)量、航海導(dǎo)航等。

**鞏固練習(xí)（15分鐘）**

1.基本練習(xí)（5分鐘）

-出示幾道簡(jiǎn)單的計(jì)算題，讓學(xué)生運(yùn)用余弦定理（2）求解。

-鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成，并及時(shí)給予反饋。

2.綜合練習(xí)（5分鐘）

-提供一些綜合性題目，要求學(xué)生綜合運(yùn)用余弦定理（2）和其他相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。

-學(xué)生分組討論，互相幫助，共同完成。

3.應(yīng)用練習(xí)（5分鐘）

-設(shè)計(jì)一些實(shí)際情境題，讓學(xué)生運(yùn)用余弦定理（2）解決實(shí)際問(wèn)題。

-例如，計(jì)算兩艘船的相對(duì)速度、確定建筑物的角度等。

**課堂提問(wèn)與互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘）**

-提問(wèn)：同學(xué)們，在使用余弦定理（2）時(shí)，有哪些注意事項(xiàng)？

-互動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們分享他們?cè)诮忸}過(guò)程中遇到的困難和解決方案。

**拓展延伸（5分鐘）**

-引導(dǎo)學(xué)生思考：余弦定理在更高維空間中是否仍然適用？

-提出挑戰(zhàn)性問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生課后進(jìn)行探索和研究。

**總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘）**

-總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)余弦定理（2）的重要性和應(yīng)用價(jià)值。

-布置作業(yè)：完成課后練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

**用時(shí)**：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果是教學(xué)過(guò)程的重要反饋，以下是對(duì)本節(jié)課“高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2余弦定理（2）”教學(xué)后學(xué)生方面取得的效果的詳細(xì)分析：

1.知識(shí)掌握情況：

-學(xué)生能夠熟練掌握余弦定理（2）的公式及其幾何意義。

-學(xué)生能夠理解并運(yùn)用余弦定理（2）解決非直角三角形中的角度和邊長(zhǎng)問(wèn)題。

-學(xué)生能夠識(shí)別并應(yīng)用余弦定理（2）在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如工程計(jì)算、地理測(cè)量等。

2.能力提升情況：

-學(xué)生在邏輯推理和論證能力上得到提升，能夠通過(guò)余弦定理（2）的推導(dǎo)過(guò)程，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯。

-學(xué)生在數(shù)學(xué)建模能力上有所增強(qiáng)，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。

-學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算能力上得到鍛煉，能夠熟練進(jìn)行余弦定理（2）相關(guān)的計(jì)算，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。

3.思維發(fā)展情況：

-學(xué)生在空間想象能力上得到加強(qiáng)，能夠通過(guò)余弦定理（2）的應(yīng)用，更好地理解幾何圖形的空間關(guān)系。

-學(xué)生在批判性思維上有所發(fā)展，能夠?qū)τ嘞叶ɡ恚?）的應(yīng)用提出質(zhì)疑，并嘗試不同的解題方法。

-學(xué)生在創(chuàng)造性思維上得到激發(fā)，能夠嘗試將余弦定理（2）與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，解決更復(fù)雜的問(wèn)題。

4.學(xué)習(xí)興趣和參與度：

-學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣得到提升，尤其是對(duì)幾何學(xué)部分產(chǎn)生了更濃厚的興趣。

-學(xué)生在課堂上的參與度明顯提高，能夠積極回答問(wèn)題，參與小組討論，提出自己的見(jiàn)解。

-學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心增強(qiáng)，愿意面對(duì)挑戰(zhàn)，勇于嘗試解決復(fù)雜問(wèn)題。

5.實(shí)踐應(yīng)用能力：

-學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活，如解決家庭裝修中的角度計(jì)算問(wèn)題、戶外活動(dòng)中的距離測(cè)量等。

-學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠靈活運(yùn)用余弦定理（2），展現(xiàn)出良好的問(wèn)題解決能力。

-學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的動(dòng)力。典型例題講解例題1：在三角形ABC中，已知邊AB=5，邊AC=7，角BAC=60°，求邊BC的長(zhǎng)度。

解答：

根據(jù)余弦定理（2），我們有：

BC2=AB2+AC2-2*AB*AC*cos(BAC)

將已知值代入，得：

BC2=52+72-2*5*7*cos(60°)

BC2=25+49-70*0.5

BC2=74-35

BC2=39

BC=√39

BC≈6.24（保留兩位小數(shù)）

例題2：在三角形ABC中，已知角A=45°，邊AB=8，邊AC=12，求角B和角C的度數(shù)。

解答：

首先，使用正弦定理求角B的正弦值：

sin(B)=(AB*sin(A))/AC

sin(B)=(8*sin(45°))/12

sin(B)=(8*√2/2)/12

sin(B)=√2/3

B=arcsin(√2/3)

B≈41.81°

接著，使用余弦定理求角C的余弦值：

cos(C)=(AB2+AC2-BC2)/(2*AB*AC)

由于B和C是三角形ABC的內(nèi)角，且A=45°，所以C=180°-A-B

C≈180°-45°-41.81°

C≈93.19°

cos(C)=cos(93.19°)

C=arccos(cos(C))

C≈93.19°

例題3：在三角形ABC中，已知邊AB=10，邊AC=14，邊BC=18，求角A的度數(shù)。

解答：

使用余弦定理（2）求角A的余弦值：

cos(A)=(BC2+AC2-AB2)/(2*BC*AC)

cos(A)=(182+142-102)/(2*18*14)

cos(A)=(324+196-100)/(504)

cos(A)=420/504

cos(A)≈0.833

A=arccos(0.833)

A≈33.69°

例題4：在三角形ABC中，已知角A=30°，邊AB=8，邊AC=6，求邊BC的長(zhǎng)度。

解答：

使用正弦定理求邊BC的長(zhǎng)度：

BC/sin(A)=AB/sin(C)

由于A=30°，我們可以使用正弦定理來(lái)求C：

sin(C)=(AB*sin(A))/AC

sin(C)=(8*sin(30°))/6

sin(C)=(8*0.5)/6

sin(C)=4/6

sin(C)=2/3

C=arcsin(2/3)

C≈41.81°

由于三角形內(nèi)角和為180°，所以B=180°-A-C

B=180°-30°-41.81°

B≈108.19°

現(xiàn)在我們可以求BC：

BC/sin(A)=AB/sin(B)

BC=(AB*sin(B))/sin(A)

BC=(8*sin(108.19°))/sin(30°)

BC≈(8*0.951)/0.5

BC≈15.28（保留兩位小數(shù)）

例題5：在三角形ABC中，已知邊AB=20，邊BC=30，角B=120°，求邊AC的長(zhǎng)度。

解答：

使用余弦定理（2）求邊AC的長(zhǎng)度：

AC2=AB2+BC2-2*AB*BC*cos(B)

AC2=202+302-2*20*30*cos(120°)

AC2=400+900-2*20*30*(-0.5)

AC2=1300+600

AC2=1900

AC=√1900

AC≈43.61（保留兩位小數(shù)）作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

為了鞏固學(xué)生對(duì)余弦定理（2）的理解和應(yīng)用，以下作業(yè)將有助于提高他們的數(shù)學(xué)能力和解決問(wèn)題的技巧。

1.完成課本第X頁(yè)的練習(xí)題1至5，這些題目旨在幫助學(xué)生熟悉余弦定理（2）的基本應(yīng)用。

2.解決以下實(shí)際問(wèn)題：

-如果一個(gè)三角形的兩角分別是30°和60°，且這兩角對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別是6cm和8cm，求第三邊的長(zhǎng)度。

-在一個(gè)三角形中，已知兩邊長(zhǎng)分別是10cm和12cm，夾角是90°，求第三邊的長(zhǎng)度和第三個(gè)角的度數(shù)。

3.設(shè)計(jì)一個(gè)幾何問(wèn)題，利用余弦定理（2）來(lái)解決，并嘗試用不同的方法解答。

作業(yè)反饋：

作業(yè)的批改將按照以下標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行：

1.正確性：檢查學(xué)生是否正確應(yīng)用余弦定理（2）公式。

2.解題過(guò)程：評(píng)估學(xué)生是否清晰地展示了解題步驟，包括公式的應(yīng)用和計(jì)算過(guò)程。

3.應(yīng)用能力：觀察學(xué)生是否能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。