2024-2025學年江蘇省常州市金壇一中高二（下）調研數(shù)學試卷（4月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省常州市金壇一中高二（下）4月調研數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空聞直角坐標系Oxyz中，點(1,2,0)關于x軸的對稱點為A.(?1,?2,0) B.(?1,2,0)2.y=f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則下列排序正確的是(

)A.f(5)?f(3)<2f′(3)<2f′(5) B.2f′(3)<2f′(5)<f(5)?f(3)

C.2f′(3)<f(5)?f(3)<2f′(5) D.2f′(5)<2f′(3)<f(5)?f(3)3.已知函數(shù)f(x)=1?2x?sinx，則曲線y=f(x)在x=0處的切線斜率為(

)A.1 B.?1 C.3 D.?34.給出下列四個命題，其中正確的有(

)

(1)若空間向量a，b滿足|a|=|b|，則a=b；

(2)空間任意兩個單位向量必相等；

(3)對于非零向量c，由a?cA.0個 B.1個 C.2個 D.4個5.某學校有A、B兩家餐廳，王同學第一天去A、B兩個餐廳的概率分別是35和25，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為35；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為45，則王同學第二天去AA.1217 B.817 C.17256.如果隨機變量X～N(1,σ2)，且P(?1≤X≤1)=0.3，則P(X≥3)=A.0.3 B.0.2 C.0.8 D.0.77.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2，點PA.[0,2]B.[1,3]

C.[2,4]D.[3,5]8.已知函數(shù)f(x)=ax+2cosx,x≤0,ax2?x?2a?4,x>0在R上單調遞減，則實數(shù)A.[?3,?2) B.(?3,?2] C.[?3,?2] D.(?3,?2)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知隨機變量X的分布列如下，則(

)X1234P4p3p2ppA.p=0.2 B.P(X<3)=0.7 C.E(X)=52 D.10.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=23，點E是棱PB上一點，則下列說法正確的是(

)A.存在點E，使AE//平面PCD

B.存在點E，使PB⊥平面ACE

C.若點E為PB中點，則點C到平面ADE的距離為3

D.二面角P?AE?D夾角最大時，11.已知函數(shù)f(x)=lnxx，則下列說法中正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的最大值是1e

B.f(x)在(1,+∞)上單調遞減

C.對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x1>x2，若f(x1)=f(x2)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.5個零件中有3個次品，從中每次抽檢1個，檢驗后放回，連續(xù)抽檢3次，則抽檢的3個零件中恰有2個是次品的概率為______．13.已知x∈R，空間向量a=(3,1,2)，b=(1,1,?1)，c=(5,x,0).若a，b，c共面，則x=14.已知y=exf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x>0時，f(x)+f′(x)>0，則滿足ex?2?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

某新能源汽車制造商為了評估一批新型電池的續(xù)航時間(單位：小時)，從這批次電池中隨機抽取50組進行測試，把測得數(shù)據(jù)進行適當分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值；

(2)從抽取的50組電池中任取2組，求恰有1組電池續(xù)航時間不少于35小時的概率；

(3)將樣本分布的頻率視為總體分布的概率，從該批次電池組中任取2組，設X為續(xù)航時間不少于35小時的電池組的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學期望．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?12ax2(a≠0)．

(1)討論f(x)17.(本小題15分)

如圖，已知平行六面體ABCD?A′B′C′D′．

(1)若AB=4，AD=2，AA′=2，∠BAD=90°，∠BAA′=60°，∠DAA′=60°，求AC′的長度；

(2)若AB=AD=AA′，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°，求AC與BD′所成角的余弦值．18.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.M，N分別為AB，PC的中點．

(1)求證：MN//平面PAD；

(2)平面PAD與平面MND夾角的余弦值；

(3)在棱PA上是否存在一點E，使得直線DE與平面PBC所成角為π6.若存在，確定點E19.(本小題17分)

有一水平直角通道，其寬度分別為1米和33米.現(xiàn)要將一批鋼管從M通道水平抬至N通道.為了計算能抬過去的鋼管最大長度，建立模型如圖所示，設一根長度為L的鋼管經過點B且兩端與通道壁恰好接觸于A，C兩點時，鋼管與M通道壁的夾角為θ∈(0,π2)(不計鋼管直徑)．

(1)求長度L與θ的函數(shù)關系式；

參考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.C

6.B

7.C

8.C

9.BD

10.ABC

11.ACD

12.5412513.3

14.(?∞,415.解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.01+0.06+0.07+a+0.02)×5=1，解得a=0.04．

(2)由頻率分布圖可知，電池續(xù)航時間不少于35小時的頻率等于(0.04+0.02)×5=0.3，

所以電池續(xù)航時間不少于35小時的電池有50×0.3=15組，

電池續(xù)航時間少于35小時的電池有50×0.7=35組，

所以從抽取的50組電池中任取2組，恰有1組電池續(xù)航時間不少于35小時的概率為C351C151C502=37．

(3)由(2)知，每次抽到電池續(xù)航時間不少于35小時的概率等于310，

由題可知，X～B(2,310)，

所以X所有可能的取值有0，1，2，X012P49219所以X的數(shù)學期望為E(X)=0×4910016.當a>0時，f(x)在(?∞,0)，(a,+∞)上單調遞增，在(0,a)上單調遞減；當a<0時，f(x)在(?∞,a)，(0,+∞)上單調遞增，在(a,0)上單調遞減；

當b<?76或b>103時，函數(shù)g(x)有1個零點；

當b=?76或b=103時，函數(shù)g(x)有2個零點；

17.18.(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，取PD的中點Q，連接AQ，NQ，由M，N分別為AB，PC的中點，

NQ//CD，NQ=12CD，又四邊形ABCD是菱形，則AM//CD//NQ，AM=12CD=NQ，

于是四邊形AMNQ是平行四邊形，MN//AQ，而AQ?平面PAD，MN?平面PAD，

所以MN//平面PAD．

(2)解：以D為原點，直線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則D(0,0,0)，M(2,1,0)，N(0,1,1)，平面PAD的一個法向量為n=(0,1,0)，

設平面MND的法向量m=(x,y,z)，DM=(2,1,0)，DN=(0,1,1)，

所以m?DM=2x+y=0m?DN=y+z=0，令x=1則y=?2，z=2，所以m=(1,?2,2)，

所以平面PAD與平面MND夾角的余弦值為|cos<m，n>|=|m?n||m||n|=23．

(3)解：A(2,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，

假定在棱PA上存在一點E，