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1第七屆全國大學生數學競賽決賽試題解答(非數學類,2016年3月福州)一、填空題(本題30分,每小題6分)y=c2(4)f(λ1)f(λ2)···f(λn);(5)π.二、(本題14分)證明記則取曲面的法向量n=((z—c)f1,(z—c)f2,—(x—a)f1—(y—b)f2).記(x,y,z)為曲面上的點,(X,Y,Z)為切平面上的點,則曲面上過點(x,y,z)的切平面方程為[(zc)f1](Xx)+[(zc)f2](Yy)[(xa)f1+(yb)f2](Zz)=0.容易驗證,對于任意(x,y,z)(zc),(X,Y,Z)=(a,b,c)都滿足切平面方程.結論得證.三、(本題14分)證明由f(x)在[a,b]上連續(xù)知f(x)在[a,b]上可積.令F(x)=f(t)dt,則FI(x)=—f(x).由此2四、(本題14分)證明我們要證明且(n),(—Ep),(p—q)可逆,所以五、(本題14分)解(1)In+In-2(2)由于0,所以0<tanx<1,tann+2x<tannx<tann-2x.從而In+2<In<In-2,于是In+2+In<2In<In-2+In.故<In< 知絕對收斂.當0<p≤1時,由于{I}單調減少并趨于0,由Leibniz判別法知,收斂.而I發(fā)散,所以3知發(fā)散.六、(本題14分)證明記上半球面S的底平面為D,方向向下,S和D圍成的區(qū)域為Ω.由于σDPdydz+Rdxdy=—σDRdσ和題設條件,其中dσ是xy平面上的面積微元,我們得到注意到上式對任何r>0成立,我們由此證明R(x0,y0,z0)=0.若不然,設R(x0,y0,z0)0.注意到σDRdσ=R(ξ,ζ,z0)πr2,這里(ξ,ζ,z0)∈D.而當r→0+,R(ξ,ζ,z0)→R(x0,y0,z0),故(*)式左端為一個2階的無窮小.類似地,當0,ⅢΩ是一個3階無窮而當該積分趨于零的階高于3.故(*)式右端階高于左端.從而當r很小時這與(*)式矛盾.由于在任何點處,R(x0,y0

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