高考數(shù)學解三角形（七大題型+模擬練）培優(yōu)練習題

專題17解三角形（七大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01余弦定理、正弦定理

?題型02判斷三角形的形狀

?題型03解三角形與平面向量

?題型04解三角形幾何的應用

?題型05取值范圍、最值問題

?題型06解三角形的實際應用

?題型07解三角形解答題

?題型01余弦定理、正弦定理

1.（2024?浙江金華三模）在中，角ABC的對邊分別為。，b,。.若。=近,b=2,A=60。，則。

為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.

【解析】由余弦定理得cosA="上二三，

2bc

即？（近）J,gpC2-2C-3=0,解得C=3或C=—1（舍）.

2x2c2

故選：C.

2.（21-22高一下?江蘇連云港?期中）AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c=l,

cos（A+C）=-1,則6=（）

A.A/7B.V13C.3D.719

【答案】A

【分析】先求得B的余弦值，再根據(jù)余弦定理可求得6的值.

【角軍析1cos（A+C）=COS（7T—/?）=—cosB=——,cosB=—=----------=—----——,

；"2=7,b=幣.

故選：A.

3.（2022?河南?模擬預測）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a",c,面積為3后A=,b+c=46,

則a=（）

A.2A/3B.5C.8D.272

【答案】A

【分析】由三角形的面積和A計算出6c的值，再根據(jù)余弦定理求出標的值，即可得到答案

【解析】由題意可知，S,Mc=；bcsinA=3A^,得稅=12

,;b+c=4也,be=12

由余弦定理可得：a2=b~+c2-2bccosA=（b+c）2—2Z?c-2Z?ccosA

整理得：a2=12,a=2A/3

故選：A

4.（2022?山西晉城?三模）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=30。萬+c?-/=4后,

則AABC的面積為（）

A.；B.&C,1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理可求得歷=4,再根據(jù)三角形的面積公式gbesinA,即可求出結(jié)果.

【解析】因為4=30。萬+，一/=46，

IU2Z;ccosA=\[3bc=4A/3,所以be=4,

所以AABC的面積為?csinA=l.

故選：C.

5.（2023?四川南充?三模）在44BC中，角ABC的對邊分別是a,》,c,^b2=a2+c2-ac,則3=（）

兀兀_,2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

3636

【答案】A

【分析】由余弦定理即可求解.

【解析】^b2=a2+c2-acnac=2+c2-b2,所以旦」

aCOS./+CT、

2ac2ac2

由于5w（0,兀）,b=1，

故選：A

?題型02判斷三角形的形狀

6.（21-22高二上?廣西桂林?期末）”RC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若。=尻0$人，則AABC一

定是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用余弦定理角化邊整理可得.

【解析】由余弦定理有c=6x"+c一。,整理得〃=1+°2,故“RC一定是直角三角形.

2bc

故選：C

|1?|2|Uuni2|ULTO|2

7.（2023?上海嘉定?一模）已知AABC,那么“AC+\AB\-\BC\<0”是“AABC為鈍角三角形”的（）

A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件

C.充要條件D.以上皆非

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.

iuuni|2|Uui|2lUunp

【解析】|AC|+|AB|-|BC|<o,即62+02一/<0,

Z,2,r-2-a2

由余弦定理得：cosA=\\<0,

2bc

因為4?0,兀），所以Aeg,，，故A/RC為鈍角三角形，充分性成立，

|UUD|2|UUni2|UUfl|2

AABC為鈍角三角形，若5為鈍角，則A為銳角，PIIJ|AC|+|AB|-|BC|>O,必要性不成立，

叫叫2lump|Uun,2

綜上："AC|<0”是“AABC為鈍角三角形”的充分條件但非必要條件.

故選：A

r

8.（2023?貴州?一模）在AABC中,瓦c分別為角一模C的對邊,且滿足b-a=2加it?一，則AABC的形狀

2

為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)三角恒等變換得a=bcosC,再由余弦定理解決即可.

【解析】由題知，b-a^2bsm2^-,

2

所以=,^a=bcosC,

所以a=+"一',得/+c2=￡,

lab

所以AABC的形狀為直角三角形，

故選：A

?題型03解三角形與平面向量

jr7T

9.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）AABC中，^AB=6,ZBAC=-,ZACB=~,則麗.就+國.而=（）

34

A.54B.27C.9D.376

【答案】A

【分析】利用正弦定理求出BC,再利用數(shù)量積的運算律求解即得.

ABsin'

【解析】在AABC中，若筋=6,/區(qū)4。=4,/4==工，由正弦定理得3C=--------*=3瓜,

.兀

34sin—

4

所以麗屈+無?屈=麗?肥+/?而=5人

故選：A

10.（2024.安徽六安.模擬預測）已知平面向量以5,E滿足同=1,忖=右，a-S=-|,（6Y,方一寸=30。,

則同的最大值等于（）

A.2sB.V7C.2A/3D.3A/3

【答案】A

【分析】由4408=150。,/ACB=30。，即點AO,反C四點共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解析】設西=萬,詼=尻苑=不，

由同=1,網(wǎng)=,ab=――,則cos440_8=—,

所以NAO3=150。，又乙B-3=30。，所以NACB=30。，

即點A,0,8,C四點共圓，要使同最大，即|靈|為圓的直徑，

在AAOB中，由余弦定理可得AS?=042+032_20A*OBXCOSZAOB=7,

BPAB=y/l,又由正弦定理可得2R=.AB=2幣,

sinZAOB

即同的最大值為2—,

故選：A

11.（2024.廣東東莞.模擬預測）已知在同一平面內(nèi)的三個點A,B,。滿足[AB]—2,之1,則|AC+BC|

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,0]D.[0,2^]

【答案】D

【分析】根據(jù)C三AS>h利用向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得NACB260。，從而點C在度數(shù)為?的優(yōu)弧

1司冏3

上運動，或點C在圓的內(nèi)部，然后根據(jù)三角形中線性質(zhì)和圓的性質(zhì)可解.

CACB

【解析】設6=同，

則錄是與國同方向的單位向量，1是與無同方向的單位向量,

CACB

即卜1一可21,

對于同-國>1,

2I

兩邊平方得W-磯21,化簡得44=5,

因此可以得到4與瑟的夾角ZACB>60。，在構(gòu)成等邊三角形時取等號,

兀

在如圖所示的圓中，點43在圓上，其中劣弧42的度數(shù)為年2，

點C在度數(shù)為三的優(yōu)弧上運動，或點C在圓的內(nèi)部，

若點C在圓上，根據(jù)正弦定理，

\AB\_2_473行

可得圓的半徑R滿足碇一二萬一亍，即氏=會"，

~T

設E為A3的中點，則①+甌=2擊，

當CE，AB時，CE長達到最大值，此時AABC為等邊三角形,

可知|CO|=|R=豆，即|目+司=2道，

當點C在圓的內(nèi)部時，則C、E重合時，|田=0,

此時取最小值屈+詞=o,X|C4+CB|=|AC+BC|,

綜上所述，|工+覺|的取值范圍為［。,2若］

故選：D

?題型04解三角形幾何的應用

12.（2024?北京三模）在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPC4=45°,

則APBC的周長為（）

A.10B.11C.7+拒D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用全等三角形性質(zhì)及余弦定理求出尸8即得.

【解析】在四棱錐P-ABCD中，連接AC8。交于。，連PO,則。為AC,8。的中點，如圖,

正方形ABC。中，AB=4,AC=BD=4后,

在△POC與APOD中，OC=OD,OP=OP,PC=PD,則△POC會△尸OZ),

于是NPDB=ZPG4=45。，

由余弦定理得PB=VBD2+PD2-2BD-PDCOSZPDB=^32+9-2X472X3X^=717-

所以/^8(2的周長為7+而'.

故選：C

13.（2024?廣東廣州?模擬預測）在44BC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若c=3,b=2,ZBAC

的平分線AO的長為生色，則BC邊上的中線AH的長等于（）

5

A717R472rV17n4^/3

2343

【答案】A

【分析】由設NB4Z）=NC4D=a,54鉆。=5/即+5.48可得。05。的值,進而可求得cos2a,sin2a的值,結(jié)

合余弦定理可得。，由Z萬2=；（而+撫『可求得而2,即可求得結(jié)果.

【解析】由題意知，設NBAD=NC4D=a,則NBA。=2a,如圖所本,

整理得3sin2a=2"sina,即sina(3cosa-")=0,

又因為sinawO,所以cosa=如，

3

所以cos2a=2cos2I一1二；,所以sin2a=Jl-cos，2a=,

33

在AASC中，由余弦定理得/=32+22一2x3x2cos2e=13—4=9,所以a=3,

由AH是8c邊上的中線，得加=g(屈+正)

癡=；(通+時

=^AB+AC+2AB-AC)=1(Z?2+C2+2bccos2a)=Z?2+c2+|z?c

=^22+32+2X2X3X1^=1（4+9+4）=^-_

所以，中線長AH="7.

2

故選：A

14.（2023?四川南充?二模）在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若廿+°?=2023儲，則網(wǎng)粵工

tanA?sinA

的值為（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理有2‘inBsinC=2singsinC.34=當尸+2-,再根據(jù)條件整體代

tanA?sinAsinAa2bc

換即可.

【解析】因為廿+上=2023》,

則根據(jù)正弦定理和余弦定理有

2sinBsinC2sinBsinC.2bcb2+c2-a22022a2_

---------------=--------z-------cosA=-------------------=——--=2022.

tanA-sinAsinAa2bca

故選：B.

?題型05取值范圍、最值問題

15.（2024.江蘇連云港.模擬預測）在"LBC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,若a=l,>cosA=l+cosB,

則邊6的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【答案】B

【分析】利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦推理得3=2A,又由正弦定理得b=2cosA,根據(jù)角A

的范圍利用余弦函數(shù)性質(zhì)求解值域即可求解.

【解析】由a=l,Z?cosA=l+cos5得，bcosA=a+acosB,

由正弦定理可得sin3cosA=sinA+sinAcosB,即sin3cosA-sinAcosB=sinA,

所以sin（3-A）=sinA,所以3—A=人或3-4+4=兀（舍去），所以3=2A,

asinBsin2A

由正弦定理得力==2cosA,

sinAsinA

jr

而0VA<7T,0<5=2A<it,0<C=7i-3A<7i,所以

所以;<cosA<l,所以b=2cosAe（l,2）,所以6的取值范圍為（1,2）.

故選：B

16.（2024?四川成都?模擬預測）設銳角AABC的三個內(nèi)角的對邊分別為且c=2,5=2。，則

的取值范圍為（）

A.(2,10)B.(2+20,10)C.(2+2及,4+26)D.(4+2宕,10)

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡后換元，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可.

【解析】在AABC中，由5=2C可得A=7T—3C,

ab

由正弦定理sin(7t_3C)-sin2c-sinC得:

2(sin3C+sin2C)2(sinCcos2C+cosCsin2C+2sinCcosC)

a+b=

sinCsinC

0<A=7C-3C<-

2

又“IBC為銳角三角形，所以0<B=2C<J,解得？<7,

264

、

令"cosC,貝(JQ+b=2(4〃+2t—1),tG2'2卜

7

因為y=4/+2E-1在/￡時單調(diào)遞增,

所以1+A/^<y<2+V^,則a+6e(2+2A/5,4+2*\/5).

故選：c

ab3c

17.（2024.河南.三模）在△回（：中，角A,B,。所對的邊分別為b,c.?石——+---,貝UtanA+tanC

cosAcosBcosC

的最小值是（)

A-7B-IC.2近D.4

【答案】B

【分析】由正弦定理得tanA+tan8=3tanC,再通過兩角和的正切公式得tanAtan5=4,最后使用基本不

等式求解即可.

ab3c

【解析】因為-----------1-----------

cosAcosBcosC

sinAsinB3sinC

由正弦定理得-----------1-----------

cosAcosBcosC

所以tanA+tanB=3tanC,

又因為C=TL-(A+3),

tanA+tanB

所以tanA+tanB=—3

1-tanAtanB

3

所以1=

tanAtanB-1

即tanAtan3=4.

4Iif4

所以tanB=------,tanC=-(tanA+tanB)=-tanA+-------,

tanA33(tanA)

顯然tanA必為正(否則tanA和tanC都為負，就兩個鈍角),

44而8

所以tanA+tanC=—tanA+-------->2J-=—,

33tanAV93

44

當且僅當；；tanA=^_即tanA=l,A=:取等號.

33tanA4

Q

所以tanA+tanCN§.

故選：B.

18.（2023?陜西榆根一模）AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為asinA+（b+2a）sinB=csinC,則

2的取值范圍為（）

A.（-2,2）B.（0,2）C.[-2,2]D.[0,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得/l=-2cosC,結(jié)合Ce（O,%）即可求解.

【解析】因為asinA+(l>+2a)sinB=csinC,由正弦定理得c?="十從+2ab.又(?=/+/一2a6cosC,

所以2=-2cosC.因為Ce(0,兀)，

所以cosC?-l,l),故北(—2,2).

故選：A.

?題型06解三角形的實際應用

19.（2024?陜西西安?模擬預測）在100m高的樓頂A處，測得正西方向地面上3、C兩點（3、C與樓底在同

一水平面上）的俯角分別是75。和15。，則8、C兩點之間的距離為（）.

c6D2

8000

【分析】根據(jù)圖形，利用直角三角形求解即可.

BC=-^2___=tan750-tanl5°tan600(ltanl0tan75°)

【解析】由題意,100x=1QQ><+5

tan15°tan75°tan15°tan75°tan15°tan75°

sin15。sin75。sin15°cosl5°

而tan15°tan75°=

cos15°cos75°cos15°sin15°

所以BC=100x2癢200A.

故選：D

20.（2024?廣東.二模）在一堂數(shù)學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將

小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為

1.00m,之后將小鏡子前移a=6.00m,重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為%=0-60m,已

知人的眼睛距離地面的高度為“=L75m,則鐘樓的高度大約是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

【答案】D

ah

【分析】設鐘樓的高度為p。，根據(jù)相似得到尸。=-----，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.

【解析】如下圖，設鐘樓的高度為尸。，

由?△尸QE,可得：EQ=PQKE=^^-,

MKh

由△N7F?ZkPQ尸，可得：FQ=PQ^F=PQ^2,

故￡。一抽=中一""，

nn

ah6x1.75

故尸。=—=26.25m

%一%1-0.60.4

故選：D.

21.（2024?上海嘉定?二模）嘉定某學習小組開展測量太陽高度角的數(shù)學活動.太陽高度角是指某時刻太陽

光線和地平面所成的角.測量時，假設太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面.如圖，兩豎直墻面所

成的二面角為120。，墻的高度均為3米.在時刻，，實地測量得在太陽光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬

度分別為1米、L5米.在線查閱嘉定的天文資料，當天的太陽高度角和對應時間的部分數(shù)據(jù)如表所示，則

時刻f最可能為（）

太陽高度角時間太陽高度角時間

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

【答案】B

【分析】作出示意圖形，在四邊形ABC。中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形ABCD的外接圓直徑大

小，然后在RtaBDE中利用銳角三角函數(shù)定義，算出血狙的大小，即可得到本題的答案.

【解析】如圖所示，

設兩豎直墻面的交線為DE,點、E被太陽光照射在地面上的影子為點B,

點AC分別是點8在兩條墻腳線上的射影，連接AC,BD,BE,

由題意可知ND3E就是太陽高度角.

?.,四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZADC=120°,

ZABC=36。一（ABAD+NBCD+ZADC）=60。，

AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos60°=1.52+12-2xl.5xlxl=1.75,

2

可得AC=VET?a1.32,

?..四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，3。是其外接圓直徑，

Ar1

???設AABC的外接圓半徑為R,則BD=2R=——。1.53,

sm60°

ED3

在.RtABDE中，tanNDBE-......=------?1.96,

BD1.53

所以ZDBE=arctan1.96-63.02°,

對照題中表格，可知時刻7=10:00時，太陽高度角為62.29。，與63.02。最接近.

故選：B.

22.（2024?云南昆明?一模）早期天文學家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑.假設一種理想狀態(tài)：地球E

和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示.地球在心位置時，測

出行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了用位置，測出

NEiSEoJ.若地球的軌道半徑為R,則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：石“7）

()

C.2.37?D.2.42?

【答案】A

【分析】連接Kg,根據(jù)給定條件，在AAffiog中利用正弦定理求出再在中利用余弦定理求解

即得.

【解析】連接EQE\,在ASEQEt中，SE0=SEl=R,又ZEXSEO=］，則是正三角形，E再=R,

2冗37rJr5冗

由NSKM=w，ASE.M=—,得/與KM=§,ZE0E1M=—,

皿耳4R&

在AME°EI中，ZEME=~,由正弦定理得.兀一.n,則&=

0t4sinysin-V2J2

工

-2R￡R孚=J[R2+辰2x4^2R22.1R.

在ASME中，由余弦定理得&W=R2+

41

?題型07解三角形解答題

23.（2024?內(nèi)蒙古?三模）在中，內(nèi)角A,2,C的對邊分別為a,6,c,且（。-@卜。$。=c（0cos3-cosA）.

⑴求士b的值；

a

（2）若3=2C,證明：AABC為直角三角形.

【答案】（1）血

(2)證明見解析

【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到6=&〃，求出答案；

（2）由（1）得到sinB=V^sinA，結(jié)合3=2C,得到sin2c=0sin2CcosC+虛cos2csinC，化簡得到

cosC=立~,C=—,B=-f得到答案.

242

【解析】（1）由（。一行qcosC=c（V5cos3—cosA）,

可得acosC+ccosA=0（&cosC+ccosB）,

所以sinAcosC+sinCcosA=后（sinBcosC+sinCcosB）,

所以sin8=0sinA，

則6=任，即2=0.

a

（2）證明：由（1）可得sinB=V2sinA.

又B=2C,所以sin2c=0sin（3+C）=V5sin3C,

即sin2C=\[2sin（2C+C）=A/2sin2CcosC+A/2COS2CsinC,

故2sinCcosC=2A/2sinCeos2C+V2cos2CsinC>

所以2cosc=2A/2COS2C+2豆coCC-近，

即4任os2c-2cosC-垃=Q,

因為3=2C,所以C為銳角，

解得cosC=4^（負值舍去），即C=E，8=],

所以44BC為直角三角形.

24.（2024?四川綿陽?模擬預測）三角形三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,J已知叵=匕3.

asinA

（1）求角8的大??；

（2）若"IBC的面積等于。為8C邊的中點，當中線AD的長最短時，求4c邊的長.

【答案】（1）2=胃2兀

（2）AC=V14.

【分析】(1)由正弦定理以及條件邊化角得瓜inB=l-cos2,再結(jié)合輔助角公式即可求解.

（2）先由面積公式SwengacsinB得ac=4,再在△至￡）中，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得中線AD

的最小值，進而可得AC長.

【解析】（1）在AABC中，由正弦定理得，VSsinBsinA=sinA-sinAcosB.

因為A￡（O,?）,sinAwO,所以氐in3=l—cos3,

所以百sin3+cosB=2sin[5+弓]=1,即sin+個）=；,

又5?0,兀）,則3+女=型，

66

2兀

所以8=1.

（2）由（1）得5Aa”=L〃csinl20°=/,所以。。=4,

2LX/1DC24”

在△ABD中，由余弦定理可得：

W+電1*-5+圖+.券=6,

當且僅當c=￡,即a=20，c=0時，等號成立，

C

止匕時AC?=a2+c2_2acc0sl200=8+2_2.2A/L0]_；）=[4,

故AC=VS.

25.（2024?重慶渝中?模擬預測）已知AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為。，"c,且滿足叵-sinB=tanAcosB.

a

（1）求角A的大??；

（2）若AABC為銳角三角形且a=2遙，求AABC面積的取值范圍.

【答案】（嗎

【分析】（1）根據(jù)條件由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求得答案;

（2）由正弦定理得6=4應sin8,c=4后sinC，代入三角形面積公式化簡得5=4后n（222g,

結(jié)合角B的范圍求出答案.

SinC

【解析】（1）由正弦定理得，^-sinB=tanA-CosB,

sinA

所以布sinCsinB_sinA

sinAcosBcosBcosA

即^3sinCsinA+sin5sinAcosB+cosAsinB_sin（A+B）sinC

sinAcosBcosAcos3cosAcosBcosAcosBcosAcosB

化簡得：坐=若，即tanA=君，

cosA

又A￡（o,兀），所以A=*

a_b_c_2a_/n

（2）由正弦定理得：sinAsinBsinC.兀,

sin—

3

所以b=40sinB?c=4A/2sinC，

所以SVABC=-^bcsinA=8A/3sinBsinC=83sinBsin^-B

=6sin2B-2Gcos2B+2^3

sin25一;cos2B+2g=46sin25—￡+23,

0<B<-

2./口兀_71

因為融。是銳角三角形，所以，斛得B<大,

7162

0<--B<

32

所以2囁/釜所以sin,用心：

所以Sv.=46sin）+273￡（473,673].

26.（2024.江西.模擬預測）在AABC中，角A,8,C所對的邊分別記為。，b,c,且tanA=—7:;~：—

cosC+smB

（1）若8=3,求C的大小.

（2）若。=2,求6+c的取值范圍.

2兀

【答案】（l）c=?

（2）（2,+oo）

cosB-sinC

【分析】（1）由tanA=，得sinAcosC+sinAsin5=cosAcos5—cosAsin。，再利用兩角和差的

cosC+sinB

正余弦公式化簡，進而可求得AB的關(guān)系，即可得解;

（2）利用正弦定理求出"c,再根據(jù)A5的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

_.?_…、E、rcosB-sinC.sinAcosB-sinC

【解析】(1)因為tanA4=--—,所以--=--—-

cosC+sin6cosAcosC+sinB

BPsinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cosAsinC,

BPsinAcosC+cosAsinC=cosAcosB—sinAsin5,

所以sin(A+C)=cos(A+5),即sinB=cos(A+B),

7TTT

而A,3￡(0,71),所以5+A+5=5或3—(A+3)=Q,

所以A+2B=W或A=-5（舍去），

又因為8=9所以A=9，

66

所以c=T27r；

(2)由⑴得A+22TgT

sinAsinBsinC

7asinB2sinB2sinB2sinB

b-...........=---------=-----------------=---------

所以sinAsinA.，兀cn)cos23,

sin——2B

(2)

2sin]工+5〕

_asinC_2sinC_(212cos5

sinAsinA.(it]cos25'

sin——2B

(2J

b2(sinB+cosB)2(sinB+cosB)2血

22

貝!Jcos2BcosB-sinBcosB-sinB(n兀、，

I4J

0＜B＜TI

TT

又由＜0＜萬一28＜兀得0<3〈工,

4

jr

0＜一+8＜兀

I2

所以:+所以。+3〈字

所以Z?+cw(2，a).

27.(2023?全國?模擬預測)記及43。的內(nèi)角的對邊分別為已知cos2B-cos2A=4(cosC-cos?C).

⑴若C=5,求A;

(2)若AA8C為銳角三角形，求￡+與的取值范圍.

bc

【答案】(DA、

【分析】(1)運用二倍角公式及和角公式代入化簡解方程即可.

(2)根據(jù)銳角三角形得B的范圍，運用正弦定理邊化角，將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于cos?2的對勾函數(shù)，研究

其值域即可.

【解析】(1)cos2B—cos2A=4^cosC—cos3C),

l-2sin2B-^l-2sin2Aj=4cosC(^1-cos2C)=4cosCsin2C,

:?sin2A—sin2B=sin2CsinC,

又sin(A+5)sin(A_5)=sin2Acos25-sin23cos=sin2Acos25-sin25(l-sin2A)Msin?A-siYB,

sin(A+B)sin(A-B)=sin2CsinC,即sinCsin(A-B)=sin2CsinC,

又VsinC^O,

sin(A—B)=sin2C,

xvc=1,

sin(A-5)=

2兀2兀2兀2兀

X0<A<—,0<B<—,即一-—,

3333

???A-B=-

3f

27r

又?.?A+5=7T—C=——，

3

AA=~.

(2)由(1)知$1112。=5111(4-5),

冗「冗

①當2c=時，因為A+B+C=7t,所以2A=?r+C,即4=彳+u>=，與"8C為銳角三角形矛盾，所

222

以不成立；

②當2。+4—3=兀時，因為A+B+C=TI,所以C=23,

所以A=TT—C—3=兀一38.

71

0<B<-

2

由，。⑻苦，得釬5微

71

0<兀一33〈一

2

所以sinA=sin（萬一3B）=sin3B=sin（B+2B）=sinBcos2B+cosBsin2B=sinBcos2B+2sinBcos2B,

./ab1sinAsin2BsinBcos2B+2sinBcos2Bsin2B

故——I-----=--------1--------=----------------------------------1----------

bc2sinBsin2CsinBsin22B

=cos2B+2cosH--------——2cos—14-2cosH---------=4cosH------------1.

4cos54cosB4cos5

因為所以史^以^^*^，^,2<4COS2B<3,

6422

令/（x）=x+4一l（2<尤<3）,則/⑺=］二=（x+l），T>0,

■XXX

Q7

所以f（x）在（2,3）上單調(diào)遞增，所以;</（尤）<：,

所以q+4的取值范圍為佶,1.

bc5）

02模擬精練

一、單選題

1.（2024?湖南?模擬預測）在1BC中，c=l,a=2,C=30°,則A=（）

A.60°B.90°C.45°D.120°

【答案】B

【分析】利用正弦定理，求出sinA,從而求出角A.

ac

【解析】由正弦定理得,

sinAsinC

所以sinA-sin30°解得sinA=1,

由A為三角形內(nèi)角，所以A=90。,

故選:B.

2.（2024?吉林?模擬預測）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,“acos5=bcosA”是“A=3”

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理和正切函數(shù)的性質(zhì)以及充要條件的判定即可得到答案.

TT

【解析】=iacosB=bcosA,根據(jù)正弦定理得sinAcos3=sin3cosA,顯然A,—,

則tanA=tanB,因為A,3為三角形內(nèi)角，則A=3,則充分性成立；

TT7T

當A=3,因為A,B為三角形內(nèi)角，則不會存在A=3=,的情況，則A,B7,

則tanA=tanB,貝!jsinAcos_B=sinBcosA,根據(jù)正弦定理則acosB=bcosAf故必要性成立；

則“acos8=bcos4^“A=B”的充分必要條件.

故選：C.

3.（2024?江西九江?三模）在AABC中，角A