方程（組）與不等式（組）及其應(yīng)用-2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯題（解析版）

易錯03方程（組）與不等式（組）及其應(yīng)用

易錯集合

「易錯陷阱一、等式的基本性質(zhì)運用錯誤

廠易錯陷阱二、解分式方程忘檢驗根的存在

廠易錯陷阱三、分式方程增根或無解時易考慮不全面

方程（組）與廠易錯陷阱四、混淆一元二次方程的解法

不等式（組）

及其應(yīng)用J易錯陷阱五、若二次方程中的二次含參，易忽略o的情況

：易錯陷阱六、忽略韋達(dá)定理的應(yīng)用

J易錯陷阱七、解不等式（組）忽略變號

I易錯陷阱八、已知不等式（組）解集時，端點取舍易錯

h少

易錯陷阱一、等式的基本性質(zhì)運用錯誤

1、解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為lo

2、等式的基本性質(zhì)

在等式基本性質(zhì)中，“=”兩邊同時加、減、乘一個相同的數(shù)（或式子）時，大多不會出現(xiàn)問題；但是“=”

兩邊同時除一個相同的數(shù)（或式子）時，會容易除反，導(dǎo)致方程的解法最后一步出錯，所以一定要注意不

要除反了。

易錯總結(jié)：①等式基本性質(zhì)反向應(yīng)用時，不確定c的范圍時，結(jié)果不一定成立；

②一元一次方程解法中容易出錯的一些“小陷阱”：

去分母①不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)；

②分子是多項式的一定要先用括號括起來

去括號括號外是負(fù)因數(shù)時，一是要注意變號，二是要注意各項都不要漏乘公因

數(shù)

移項移項要變號

合并同類項單獨的一個未知數(shù)的系數(shù)為“土1”

系數(shù)化為1不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)一一分母）

例1.解下列方程：

⑴3±=1.

52

/-、%+。.20.2x+1.5

(2)------------------------

0.40.3

Q

【答案】(1"=一,

⑵x=3

【詳解】（1）解：去分母，得2（6x+4）—5（x-2）=10

去括號，得12x+8-5x+10=10,

移項，得12%-5%=10-8-10,

合并同類項，得7x=-8,

Q

系數(shù)化為1,得尤=-]:

（2）解：原方程可變?yōu)閺澤?笥”=L

去分母，得3（5x+l）-2（2x+15）=6,

去括號，得15尤+3-4尤-30=6,

移項，得15x—4x=6—3+30,

合并同類項，得15=33,

系數(shù)化為1,得x=3.

例2.已知方程2-％-岸=0的解與關(guān)于x方程加-》=3-2彳的解互為相反數(shù)，則，"的值是

【答案】4

V-L0

【詳解】解：解方程2-尤-丁=。，得尤=1.

???方程2—-7=。的解與關(guān)于X的方程切-％=3—2光的解互為相反數(shù)，

???方程加一%=3—2龍的角星為1=—1,

=3—2x(—1),

m+l=5,

m=4.

故答案為4.

易錯警示：要注意運用好等式性質(zhì)，對每個步驟都做詳細(xì)

練習(xí)1.解下列方程:

(1)2x—3(^x—l^=7；

x—23x—5.

(2)%-------=-----------3

24

【答案】⑴x=T

⑵％=21

【詳解】（1）解：2x-3（x—l）=7,

去括號，得2%-3%+3=7,

移項、合并同類項，得-尤=4,

系數(shù)化為1,得x=-4；

x—23x—5

(2)解：x-—3,

24

去分母，得4x—2（%-2）=3%—5—12,

去括號，得4x—2x+4=3%—5—12,

移項、合并同類項，得-％=-21

系數(shù)化為1,得x=21.

練習(xí)2.若〃+4與3a-8互為相反數(shù)，則〃的值為.

【答案】1

【詳解】由題意可得:

(〃+4)+(3a-8)=0,

解得：a=l.

故答案為：1.

%+1+2(〃+1)

練習(xí)3.已知關(guān)于x的一元一次方程2x+10-3機(jī)=0的解與關(guān)于元的一元一次方程=1的解互為

23

9

相反數(shù)，求代數(shù)式;根-布-1的值.

【答案】15

【詳解】解：V2x+10-3m=0,

2x=3m—10,

3m-10

?9X—f

2

..x+12（n+l）

?----1------=1,

23

/.3（x+l）+4（n+l）=6,

整理得：3x=-l-4n,

—l—4n

..x=----------

3

3m-10-l—4n八

由題意得---------+----------=0,

23

整理得：9m—8〃=32,

—HI-4幾=16,

2

9

：.-m-4n-l=16-l=15,

2

9

即代數(shù)式不加-4〃-1的值為15.

2

練習(xí)4.若關(guān)于1的一元一次方程區(qū)=x+2的解為整數(shù)，則整數(shù)上的所有可能值為

【答案】2,0,3,-1

2

【詳解】解：解方程h=%+2得%=丁二,

K-1

??,方程區(qū)=%+2的解為整數(shù)，

/.左一1=±1或左一1=±2,

?,?左=2,0,3,—1,

故答案為2,0,3,-1.

易錯陷阱二、解分式方程忘檢驗根的存在

分式方程的解法：①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；

②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；

③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。

易錯提醒：要記得將求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可確定為該方程的解.

x3

例3.解方程：-^-=1+—

2x-l2x-l

【答案】x=-2

Y3

【詳解】解：-^-=1+-^-

2%—12%—1

方程兩邊同時乘以最簡公分分母（2x-l）得：x=2x-1+3,

移項合并得：-x=2,

解得：x=—2,

經(jīng)檢驗，當(dāng)x=2時，2x-lw0,

.?.%=一2是分式方程的解.

例4.某早餐店一天的“瓦罐湯”的銷售額是2000元,“拌粉”的銷售額是1200元，且這兩種餐品的銷量相同.已

知“拌粉”的單價比“瓦罐湯”的單價少2元，求“拌粉”和“瓦罐湯”的單價.

【答案】“瓦罐湯”的單價為5元，貝獷拌粉”的單價為3元.

【詳解】解：設(shè)“瓦罐湯”的單價為x元，則“拌粉”的單價為為-2元,

依題意得出=學(xué),

xx-2

解得x—5,

經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解,

x—2=3,

答：“瓦罐湯”的單價為5元，貝『'拌粉”的單價為3元.

易錯警示：分式方程不管是直接考解法，還是應(yīng)用題中的解分式方程，都需要驗根;

練習(xí)1.解方程：

(2)-------1=-2----------?

x~lx+x—2

【答案】⑴x=0

(2)無解

龍+

【詳解】(1)解：—1——2=1,

x-1x-1

去分母,^#(X+1)2-2=(X-1)(X+1),

整理，得2%=0,

所以％=。.

經(jīng)檢驗：x=0是原方程的解.

所以原方程的解為：x=0.

X3

⑵解：—--1=^—

x—1x+x—2

x3

原方程可化為：二ri1=(x_i)(x+2),

去分母，得x(x+2)-(x+2)(x-l)=3,

整理，得/+2x—--尤+2=3,

所以x=l.

經(jīng)檢驗：x=l不是原方程的解.

所以原方程無解.

練習(xí)2.某項目室外綠化及道路工程進(jìn)入收尾階段，參建單位接下來需進(jìn)行某段路面施工工作，路面全長為

3000米，更改施工方式后工作效率為原來的1.25倍，預(yù)計會提前15天完成，則原計劃每天施工多少米？

【答案】原計劃每天施工40米

【詳解】解：設(shè)原計劃每天施工x米.

3000,匚3000

---------15=--------,

尤1.25x

解得x=40.

經(jīng)檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意.

答：原計劃每天施工40米.

練習(xí)3.從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長600千米的普通公路，另一條是全長480千米的高速公路，

某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度每小時快45千米，由高速公路從甲地

到乙地所需時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半.求該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速

度.

【答案】客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度為75千米/時.

【詳解】解：設(shè)客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度為x千米/時，由題意可得，

600?480

-----=2x--------,

xx+45

解得：x=75,

經(jīng)檢驗一75是原方程的解且符合題意，

答：該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度75千米/時.

17kx?—1

練習(xí)4.已知關(guān)于犬的方程」1=4的解比多-絲」=2的解多1,求（k+3產(chǎn)的值.

x-11-xx—1X

【答案】25

19

【詳解】解：解方程一--1=--得x=4,

x—11—x

19kx—A

???關(guān)于龍的方程」7-1=千的解比々-竺」=2的解多1,

X—11—XX—1X

kxDk_1

...關(guān)于X的方程々-2^=2的解為尤=3,

x-1X

,3k2k-lc

??=2,

3-13

解得k=2,

伏+3）2=（2+3）2=25

易錯陷阱三、分式方程增根或無解時易考慮不全面

一、增根：使最簡公分母值為0的未知數(shù)的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；

二、無解：不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等；

易錯提醒：對分式方程的增根和假根概念理解不透徹，如在增根或假根處無法正確判斷，導(dǎo)致求解過程出

現(xiàn)問題

例5.如果關(guān)于尤的分式方程上7=2+/無解，則a的值為（）

x-44-x

A.—4B.《C.2D.—2

【答案】A

【詳解】隗c=2a+---

4-x

解：去分母得：x=2（x-4）-a

角舉得x=a+8.

當(dāng)分母兀一4=0,即x=4時方程無解,

a+8=4.

a=-4時方程無解.

故選：A.

例6.若關(guān)于x的分式方程」■——=1有增根，則機(jī)的值為（）.

x-11-x

A.2B.1C.3D.-3

【答案】D

【詳解】解：方程去分母，得：m+3=x-l,

??,方程有增根，

/.兀―1=0,

??X-IL,

把％=1代入m+3=%-1,得：m+3=l-l,

/.m=—3；

故選D.

易錯警示：無解有兩種情況，需考慮全面：①原方程化去分母后的整式方程無解；②原方程化去分母后

的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根，從而使原方程無解

,_______________________________________________________________________________________________________I

練習(xí)1.若關(guān)于X的方程2三-9TYI-=2的解為正數(shù)，則加的取值范圍是（）

x-33-x

A.m>-8B.機(jī)<8且機(jī)w4

C.相>—8且加*3D.m>—8且根W—2

【答案】D

【詳解】解：解之一/-=2,得：x=絲芋，

x-33-x2

???關(guān)于X的方程32-4m=2的解為正數(shù)，

x-33-x

x>0,且X-3H0,

>-8且oiw-2；

故選D.

11+k

練習(xí)2.若分式方程一^-二=1無解，則％的值為（）

無一22-尤

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

11k

【詳解】解：三一-二】，

化為整式方程：1+1+左=x—2,

:分式方程無解，則x=2,

「.1+1+左—2—2,

解得：k=-2f

故選：B.

練習(xí)3.若關(guān)于x的分式方程-1=4的解為正數(shù)，則加的取值范圍是（）

x-11-x

A.機(jī)<4且加#3B.m<4C.且帆片3D.m>5且相。6

【答案】A

【詳解】解：方程兩邊同時乘以1-1得，1-機(jī)-（x-1）+2=0,

解得％=4—m.

;尤為正數(shù)，

:.4-m>0,解得機(jī)<4.

xw1,

.*.4—,即加工3.

m

?*-的取值范圍是m<4且加。3.

故選：A.

練習(xí)4.若關(guān)于x的方程==工有增根，則a的值為（）

x-1x-1

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】D

xn

【詳解】解：一—3=三，

x-1x-1

方程兩邊都乘以：x-l得:x-3=a,

??,分式方程有增根，

/.x-l=O,即x=l

將1=1代入整式方程，得：l—3=a,即a=—2.

故選：D.

易錯陷阱四、混淆一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有4種，不同解法的適用范圍也各不相同，準(zhǔn)確選擇合適的解法解對應(yīng)的方程，可以

更快速的求出方程的解，也可以減少一些解法中的易錯點。而在這些解法中，配方法、公式法、利用十字

相乘因式分解法是必須掌握的。

易錯總結(jié)：一元二次方程的解，要么無解，有解必有2個，所以最后的方程的解一定要寫明看,與

例7.一個直角三角形的兩條直角邊的長，是一元二次方程爐-7元+5=0的兩個實數(shù)根，則這個直角三

角形的斜邊長為.

【答案】V39

【詳解】解：,??一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程二一7彳+5=0的兩個實數(shù)根，

由公式法解一元二次方程Y-7元+5=0可得x=2叵或x=Zz恒，

22

???根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長是J乃：空［+上汽］=739-

故答案為：回.

例8.解方程：

(l)9(y+4)2-49=0

(2)%(2%-3)=4%-6

⑶9%2+6%—1=0

(4)3d+x—5-0

519

【答案】⑴X=-§,%=-"-

3-

(2)%二八，人2-乙

2

-1+72-1-42

(3)再二------,x=

3-223

-1+V61-1-761

(4)玉=-------=

6-26

【詳解】(1)解：9(y+4『=49,

(y+4)V

7

y+4=±§,

.519

??Ld；

(2)解：x(2x-3)=4x-6,

%(2x-3)-2(2x-3)=0

(2x-3)(x-2)=0,

2x—3=0或x—2=0,

(3)解：99+6x—1=0,

9f+6x+1=2,

(3尤+1)2=2,

3x+l=±V2，

.-1+V2-1-V2

；

(4)解：3%2+X-5=0,

*.*a=3,b=l,c=—5,

??.A=/—44c=12—4x3x(-5)=61>0,

.—b±y/b2-4ac—1±A/61

??x=-----------------=------------,

2a6

.-1+屈-1屈

16-6

練習(xí)1.解下列方程：

(l)4(x+l)2-9(x-2)2=0；(開平方法)

(2)_?-4X+2=0.

【答案】(1)%=7,%=1

(2)%=2+5/2,X。=2—V2

【詳解】(1)解:4(x+=9(x—2)2.

2(x+1)=±3(%-2),

2x+2=3x—6或2x+2=—3x+6,

/.2%—3x=—2—6或2x+3x——2+6

(2)解：尤2一4X+2=0,

移項得，x2-4x=-2)

酉己方得尤2一4元+4=—2+4,

即(x-2y=2,

x-2=x-2=-*\f2.，

解得%=2+A/5,x2=2-^2.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法——直接開平方和配方法，解決此題的關(guān)鍵是要熟練掌握解

一元二次方程的各種方法，進(jìn)而選擇最優(yōu)的方法解決問題.

練習(xí)2.下面是小華利用配方法解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：X2+4X-5=0.

移項，得爐+4彳=5..................................第一步

配方，得V+4X+16=5+16,即(X+4)2=21...........第二步

由此，可得彳+4=±后...................................第三步

；.X[=y/21-4,x2=-y/21-4..............................第四步

請完成下列任務(wù)：

(1)上述小華同學(xué)的解法中，第一步運算的依據(jù)是,其中，“配方法”所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是

(填“完全平方公式”或“平方差公式”)

(2)小華同學(xué)利用配方法解題過程中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出正確的解題過程.

【答案】(1)等式的基本性質(zhì)，完全平方公式

(2)二，解題過程見解析

【詳解】(1)解：上述小華同學(xué)的解法中，第一步運算的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，其中“配方法”所依據(jù)的數(shù)

學(xué)公式是完全平方公式.

故答案為：等式的基本性質(zhì)，完全平方公式；

(2)解：小華同學(xué)利用配方法解題的過程中，從第二步開始出現(xiàn)錯誤，正確的解法如下：

x2+4x-5=0，

移項，得f+4x=5,

配方，得爐+4彳+4=5+4,

即（x+2>=9,

可得x+2=±3,

..玉=1,無2=-5.

故答案為：二.

練習(xí)3.方程/+彳=0的根是.

【答案】%=0,%2=-1

【詳解】解：%2+x=0,

x(x+l)=0,

x=0或x+l=0,

解得X]=0,x2=-1,

故答案為：占=。，X2=-1.

練習(xí)4.已知。。的半徑是一元二次方程/一2%-3=0的一個根，圓心O到直線I的距離d=2,則直線/與。。

的交點個數(shù)為()

A.1個B.2個C.沒有交點D.不能確定

【答案】B

【詳解】解：.?,/-2犬-3=0,

(x-3)(x+l)=O,

x

解得i=3,x2=-1,

。。的半徑是3,

3>2,

???直線/與。。的位置關(guān)系是相交，

直線/與。。有2個交點，

故選：B.

易錯陷阱五、若二次方程中的二次含參，易忽略為0的情況

一、一元二次方程的一般形式：以2+〃x+c=0(aw0),其中是二次項，。是二次項系數(shù)；法是一次

項，〃是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項

二、求解方程過程中需滿足等式的性質(zhì)：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等

易錯提醒：不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件

例9.已知關(guān)于X的方程。九-1.2一（機(jī)一2卜-2租=0,求證：無論加為何值，方程總有實數(shù)根.

【答案】見解析

【詳解】解：①當(dāng)加一1=0時，即機(jī)=1,

代入方程得x-2=0,解x=2,

②當(dāng)7〃一1片0時，△=[—（一—2）丁一4（加—1）x2一=（3一一2『,

???（3/71-2）2>0,此時方程總有實數(shù)根.

綜上所述，無論機(jī)為何值，方程總有實數(shù)根.

例10.若方程（“+3）/卜|-尤=2是關(guān)于苫的一元二次方程，則a的值為（）

A.-3B.3C.±3D.不存在

【答案】B

【詳解】解：\?方程（a+3）J"Z-x=2是關(guān)于x的一元二次方程，

.".時-1=2且a+3Ko,

解得。=3,

故選：B.

；易錯警示：若忽略二次項系數(shù)，則可能得到一元一次方程，再用二次方程的方法求解就會出錯

練習(xí)1.關(guān)于天的一元二次方程區(qū)2一4》-2=0有實數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.k>-2B.k>-2S.k^0C.左2—2且％*0D.k<-2

【答案】C

【詳解】解：由題意，得：△=（T）2-（-2）X4左20且左甘0,

角軍得：k>—2S.k^0；

故選C.

練習(xí)2.已知關(guān)于x的方程62+2%_1=0有實數(shù)根，貝。。的取值范圍是（）

A.a>—1B.aN—1C.a>—1月D.aN—1月.

【答案】B

【詳解】解：關(guān)于x的方程62+2犬_1=0有實數(shù)根，

.?.當(dāng)a=0時，2%-1=0,是一元一次方程，

解得，x=1,符合題意；

當(dāng)。力0時，OX2+2X-1=0,是一元二次方程，

AA=22-4OX(-1)>0,

解得，<7>-1,符合題意；

綜上所述，當(dāng)時，關(guān)于X的方程依2+2x-l=0有實數(shù)根，

故選：B.

練習(xí)3.若事件“關(guān)于無的方程依2+4犬_1=0有實數(shù)根”是必然事件，則。的取值范圍是()

A.a<-4B.■且分0

C.D.且。片0

【答案】C

【詳解】解：???事件“關(guān)于》的方程加+4元-1=0有實數(shù)根”是必然事件，

關(guān)于x的方程加+4x-1=0有實數(shù)根，

①當(dāng)。=0時，原方程為4x-1=0,

此時方程的解為x=符合題意，

4

②當(dāng)〃w0時，

方程g?+4%-1=0有實數(shù)根，

AA=42-4x(-l)tz>0,

解得

二?a2T且，awO

綜上，a>-4,

故選：C.

練習(xí)4.若關(guān)于元的一元二次方程"2+2%—2=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.k<--B.左〉一」且左w0

22

C.kN—且左w0D.k>—且左w0

24

【答案】C

【詳解】解：.??關(guān)于X的一元二次方程近2+2尤一2=0有兩個實數(shù)根，

二?左W0且AN0,,即4—4xkx（—2）之0,且左w0,

角牟得左2—萬■且左w0,

故選：C.

易錯陷阱六、忽略韋達(dá)定理的應(yīng)用

b

%+%2=----

一a

韋達(dá)定理：若4工2是一元二次方程〃/+以+。=0（〃。0）的根，則有＜

c

+%2~—

a

易錯總結(jié)：兩根之和、兩根之積公式比較相似，不要用反了

。11C

例11.若關(guān)于1的一元二次方程f+2x+p=0兩根為耳、X2,且：+丁=3,則P的值為（）

22

A.—B.-C.—6D.6

33

【答案】A

【詳解】解：?關(guān)于x的一元二次方程Y+2x+0=O兩根為4、9，

/.xl+x2=-2,xxx2=p,

11

—H----=3,

%x2

.石+工2

石馬

-2

即b=3,

2

解得：P=~~.

故選：A.

例12.已知方程f+（2左+l）x+左—1=。的兩個實數(shù)根網(wǎng),超滿足國-％=4左-1,則實數(shù)上的值為（）

14

A.1,—B.1,—C.—3,0D.1,0

33

【答案】A

【詳解】解：方程爐+（2左+l）x+Z-1=。的兩個實數(shù)根為4，x2；

則xl+x2=—Qk+1）,xTx2=k-1.

Q（X]-無2）2=（無1+尤2）2-4元]尤2，％-尤2=4左一1,

（4左-1）2=[-（2k+1）]2-4（左-1）,

（4k-1）2-（2k+1）2+4（fc-1）=0,

即（4左一1+2左+1）（4左一1一2/一l）=-4/-l）,

二.6后（2左一2）+4（左一1）=0,

.?.（左_1）（12左+4）=0,

解得左=1或一g.

故選：A.

；易錯警示：需觀察所求的式子是否跟韋達(dá)定理有關(guān)，若有關(guān)，可大大減低計算難度

練習(xí)1.若a,6是關(guān)于x的一元一次方程V—2辰+4人=0的兩個實數(shù)根，且/+〃=12,則上的值是

【答案】-1

【詳解】解：：?、b是關(guān)于x的一元二次方程f-2履+4左=0的兩個實數(shù)根，

：.A=（-2k）2-4xlx4k=4左2-16Z20,

a+b=2k,ab=4k,

a2+b2

=（a+b）~—2ab

=（2左y_2x4左

=4左2一次，

/.4k2-8k=12,

解得尤=T,心=3,

當(dāng)左=T時，

△=4%2-i6左

=4X（-1）2-16X（-1）

=20>0,

...左=T符合題意;

當(dāng)心=3時,

A=4左2-16左

=4x32—16x3

=-12<0,

???&=3不符合題意，應(yīng)舍去；

綜上，上的值是—1.

故答案為：-1.

練習(xí)2.已知x”%是方程元2—3尤_]=o的兩個實數(shù)根，貝[]（芯-2）（%-2）=.

【答案】-3

【詳解】解：：占、%是方程/一3%-1=0的兩個實數(shù)根，

hr

.??由根與系數(shù)的關(guān)系得：X+X=--=3,x=-=-l,

12aXl2a

/.（再一2）（々-2）=平2—2（石+々）+4

=—1—2x3+4

=-3；

故答案為：-3.

11

練習(xí)3.若不、%是方程f―3%-4=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式,十7的值為—.

【答案】-43

4

【詳解】解：???馬、/是方程f—3x-4=0的兩個實數(shù)根，

%+%2=3,x1x2=—4,

1]_%+玉_3_3

%x2x1x2-44?

3

故答案為：-

4

練習(xí)4.已知W是方程f-5%+2=0的兩個不相等的實數(shù)根，貝!JZ7?一4根+〃+根〃=

【答案】5

【詳解】解：,??引〃是方程%2—5%+2=0的兩個不相等的實數(shù)根，

22

Am-5m+2=0,BPm-4m=m-2;m+n=5,mn=2f

m2—4m+n+mn=m—2+n+mn=m+n+mn—2=5+2—2=5.

故答案為：5.

易錯陷阱七、解不等式（組）忽略變號

不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;

不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變

易錯總結(jié)：注意乘（除以）一個負(fù)數(shù)，要記得變號

例13.解不等式：-2（x-l）>x+5.

【答案】x<-l

【詳解】解：-2（x-l）>x+5,

去括號，得—2.x+2>x+5，

移項，得—2x—x>5—2,

合并同類項，得-3x>3,

系數(shù)化為1，得x<-l.

例14.學(xué)校圖書館每年都會購買一批新的圖書，去年購買的圖書中，每套科技書的單價比每套文學(xué)書的單

價多20元，用3600元購買的科技書與2400元購買的文學(xué)書的套數(shù)相等.

（1）求去年購買的每套文學(xué)書和科技書的單價各是多少元？

（2）若今年每套科技書的單價提高到80元，每套文學(xué)書的單價與去年相同，該校今年計劃再購買文學(xué)書和科

技書共180套，每種書籍至少買50套，且購買科技書和文學(xué)書的總費用不超過12000元，該校今年至多可

購買多少套科技書？

【答案】（1）學(xué)校去年購買文學(xué)書的單價為每套40元，科技書的單價為每套60元

（2）120套

【詳解】（1）解：設(shè)去年購買文學(xué)書的單價為每套x元，則每套科技書的單價為（x+20）元.

36002400

由題意得:解得：x=40,

x+20x

檢驗：當(dāng)x=40時，x（x+20）^0,且符合題意,

則每套科技書的單價為：x+20=60（元），

答：學(xué)校去年購買文學(xué)書的單價為每套40元，科技書的單價為每套60元.

（2）解：設(shè)今年學(xué)校購買科技書根本.

80/?i+40（180-m）<12000

由題意得：，"止50,

180-m>50

A50<m<120,加為整數(shù),

答：學(xué)校今年至多可購買120套科技書.

2x+4>0

練習(xí)1.不等式組的解集是.

4-2x<-l

【答案】%>|

2x+420①

【詳解】解:

4-2x<-l②

解不等式①，得x?-2,

解不等式②，得x>|,

.??不等式組的解集為

故答案為：x>^

,\2X>~1

練習(xí)2.先化簡，再求值：r——1+2、；，其中X的值從不等式組x-l的正整數(shù)解中選取.

（x+xjx+2x4-1------<

I2

【答案】-----，—2.

X-Y

XX-1

【詳解】解:

X2+X"X2+2X+1

X2+X1(x+l『

Xx________

x(x+l)x(x+l)____+

(x+l)2

x(x+l)+

x2(x+1)2

______x______-__

x(x+l)+

X

x-1

x>-1

由,冗-1解得：一1<1<3,

-<1

I2

???正整數(shù)解為1,2,

Vx-1^0,

x=2,

2

當(dāng)x=2時，原式=-----二一2.

2-1

練習(xí)3.某商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)共50臺，這兩種空調(diào)的進(jìn)價、售價如下表所示:

類型進(jìn)價（元/臺）售價（元/臺）

甲23002800

乙33004000

⑴若該商場此次進(jìn)貨共用去13萬元，則這兩種空調(diào)各購進(jìn)多少臺；

（2）若商場規(guī)定每種空調(diào)至少購進(jìn)10臺，并且在當(dāng)月全部銷售完，應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能使商場在銷售完這批空調(diào)

時獲利最多，并求出最大利潤.

【答案】（1）購進(jìn)甲空調(diào)35臺，購進(jìn)乙空調(diào)15臺

⑵購進(jìn)甲空調(diào)10臺、乙空調(diào)40臺才能使商場在銷售完這批空調(diào)時獲利最多，最大利潤為33000元

【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)甲空調(diào)x臺，購進(jìn)乙空調(diào)y臺.

x+y=50

根據(jù)題意，得

2300x+3300y=130000,

X=35

解得

y=15

答：購進(jìn)甲空調(diào)35臺，購進(jìn)乙空調(diào)15臺.

（2）設(shè)購進(jìn)甲空調(diào)機(jī)臺，則購進(jìn)乙空調(diào)（50-根）臺.

fm>10

根據(jù)題意，得力

[50-7〃>10

解得10VmV40.

設(shè)獲得的總利潤為卬元，則W=(2800-2300)m+(4000—3300)(50-=-200m+35000,

V-200<0,

...W隨m的減小而增大,

V10<m<40,

,當(dāng)根=10時，W的值最大，唉大=-200x10+35000=33000,

50-10=40(臺).

答：購進(jìn)甲空調(diào)10臺、乙空調(diào)40臺才能使商場在銷售完這批空調(diào)時獲利最多，最大利潤為33000元.

練習(xí)4.南充有傳統(tǒng)民俗村在發(fā)展旅游經(jīng)濟(jì)過程中，村民制作并銷售多種特色手工藝品.其中一種制作一件

的原材料成本為15元，經(jīng)前期市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每件整數(shù)x元(20<40)時，每日的銷售量y(件)

與售價x之間滿足函數(shù)關(guān)系>=-5尤+200,同時，每日還需額外支出固定的場地費等共200元.

(1)求這種工藝品每日的利潤W(元)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)這種工藝品售價為多少元時，每日的利潤最大？最大利潤是多少？

(3)原材料購買費用每日不超過1000元，若每日利潤不低于550元，銷售單價應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？

【答案】(1).=-5￡+275彳-3200

(2)當(dāng)x=27或x=28時，每日的利潤最大，最大利潤為580元

⑶銷售單價應(yīng)定在27WxW30范圍內(nèi)

【詳解】(1)解：由題意得，每日的利潤w=(x-15)(—5x+200)—200=-5f+275彳-3200.

(2)解：由題意，由(1)W=-5X2+275X-3200,

275

二對稱軸是直線》=-云有=27$,拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越大.

XV20<x<40,且x為整數(shù)，

.,.當(dāng)x=27或x=28時，每日的利潤最大，最大利潤為580元.

(3)解：由題意，w=-5x2+275^-3200,

/.x=25或x=30.

?:每日利潤不低于550元，

25W30.

又?.?原材料購買費用每日不超過1000元，

/.15(-5x+200)=-75x+3000<10000,

2

:.x226—.

3

又：25VXW30,

27<x<30.

答：銷售單價應(yīng)定在27MXV30范圍內(nèi).

易錯陷阱八、已知不等式（組）解集時，端點取舍易錯

易錯總結(jié)：已知不等式組的解集情況求參數(shù)時，需要驗證臨界值是否符合條件，符合則可以取到否則舍棄

廣”的解集為X>2，且關(guān)于y的分式方程如?士

例15.已知關(guān)于x的一元一次不等式組

解為正整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)。的乘積為

【答案】8

3(3-X)-1<KD

【詳解】解:

x+2>a?

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x>a—2,

.不等組的解集為x>2,

a-2<2,解得a<4,

解分式方程@二1=1-―一得：丫=二，

y-33-ya-1

?.?分式方程的解為正整數(shù)，

------>0kl.———w3,

a—1CL—1

。=2或。=4或〃=7,

Va<4f

/.。=2或4,

???所有整數(shù)。的乘積為2x4=8.

故答案為：8.

{3x—a>2x

例16.若關(guān)于犬的不等式組。「八有3個整數(shù)解，則。的取值范圍是

【答案】2<a<3

【詳解】解：解不等式組得：a<x<^-,

；該不等式組有3個整數(shù)解,

???整數(shù)解為5,4,3,

2<a<3；

故答案為：2<aV3

fx>0

練習(xí)1.不等式組的解集為無>。，請你寫出一個符合條件的。的值:

[尤>4

【答案】1（答案不唯一）

fx>0

【詳解】解：..?關(guān)于X的不等式組的解集是x>“，

\x>a

:.a>0

的值可以是1.

故答案為：1（答案不唯一）.

Ix-a>0

練習(xí)2.若關(guān)于x的不等式組一,、,的所有整數(shù)解的和是9,則〃的取值范圍是—.

[17—3x25

【答案】或-24av-l

fx—a>0

【詳解】解：解不等式組r。、<,

[117-3%25

角軍得：a<x<4,

??,所有整數(shù)解的和是9,且9=4+3+2或9=4+3+2+1+0+（-1）,

???不等式組的整數(shù)解為①4,3,2或②4,3,2,1,0,-1,

.\l<a<2或-2<<2<—1；

故答案為：l<a<2^-2<a<-l.

-x-+-3>、x—I1

練習(xí)3.如果關(guān)于x的不等式組2-有且只有5個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)。的和為

3x+6>。+4

【答案】9

【詳解】解：由苫得XV5,

a—2

由3x+6>a+4,x>—,

???關(guān)于X的不等式組有且只有5個整數(shù)解，

,這5個整數(shù)解是I,2,3,4,5,

3

解得：2<a<5,

.??滿足條件的整數(shù)〃的值為2,3,4,

「?符合條件的所有整數(shù)。的和為9,

故答案為：9.

fx+9<5x+l

練習(xí)4.不等式組的解集是尤>2,則加的取值范圍是（）

Ix>m+1l

A.m<2B.m^2C.mWlD.m>l

【答案】C

【詳解】解：解不等式x+9v5%+l,

可得：x>2,

fx+9<5x+l

??,原不等式組?的解集是x>2,

Ix>m+1

m+1<2,

解得：機(jī),

故答案為：C.

1.若x=l是關(guān)于x的方程力-1=Z7一—Y的解，貝!的值是（）

2

A.-B.—C.4D.5

22

【答案】D

【詳解】解：由題意得，3x1-1==1,

2

解得〃=5,

故選：D.

2.若關(guān)于x的方程（加-1）鏟刊+3x-2=0是一元二次方程，則根的值為（）

A.1B.3C.-3D.1和3

【答案】C

【詳解】解：?關(guān)于尤的方程（加-1）一利+3%-2=0是一元二次方程，

「Jm+1|=2且用一1wO,

解得：根=-3,

故選:：C.

21

3.方程」v=一三的解是（）

x+1x-\

A.x=3B.x=0C.x=lD.無解

【答案】A

【詳解】解：方程兩邊同時乘以（x+D（xT）,得2（x—l）=x+l,

去括號，得2x-2=x+l,

移項合并同類項，得x=3,

檢驗：當(dāng)x=3時，（x+l）（x—1）。。,

.,.%=3是原方程的解,

故選：A.

x<a.

4a

4.若關(guān)于X的不等式組"-1t元+1至少有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程--+-=1的解是非負(fù)

------+1>-----y-22-

123

數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)。的和是（）

A.17B.20C.22D.25

【答案】B

X<4①

【詳解】解：不等式組X-11%+1e，

I23

由①得：