線性代數(shù)矩陣的秩習題

線性代數(shù)矩陣的秩習題課本§2、6矩陣得秩

一、矩陣得秩得概念二、矩陣得秩得求法~r行階梯形矩陣~r行最簡形矩陣~c標準形(形式不唯一)(形式唯一)矩陣常用得三種特殊得等價形式:標準形由數(shù)r完全確定,r也就就是A得行階梯形中非零行得行數(shù)

這個數(shù)便就是矩陣A得秩

一、矩陣得秩得概念~r行階梯形矩陣~r行最簡形矩陣~c標準形(形式不唯一)(形式唯一)矩陣常用得三種特殊得等價形式:由于矩陣得等價標準形得唯一性沒有給出證明,也可以借助行列式來定義矩陣得秩、一、矩陣得秩得概念11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

1、k階子式例如

11

3

1就是A得一個二階子式說明

m

n矩陣的k階子式有個.CknCkm定義1在m

n矩陣A中

任取k行k列位于這些行列交叉處得k2個元素

不改變她們在A中所處得位置次序而得得k階行列式

稱為矩陣A得k階子式

故r(A)=0

A=O．規(guī)定等于0

零矩陣的秩矩陣A的秩，記作r(A)或R(A)或rank(A)或秩(A)

定義2設在m

n矩陣A中有一個不等于零得r階子式D

且所有r

1階子式(如果存在得話)全等于0

那么數(shù)r稱為矩陣A得秩

D稱為矩陣A得最高階非零子式

2、矩陣得秩提示

例1和例2綜合求矩陣A和B的秩

其中在A中

容易看出一個2階子式A得3階子式只有一個|A|

經(jīng)計算可知|A|

0

因此r(A)

2

解

以3個非零行得首非零元為對角元得3階子式就是一個上三角行列式

她顯然=24不等于0

因此r(B)

3

B就是一個有3個非零行得行階梯形矩陣

其所有4階子式全為零

對于行階梯形矩陣

她得秩就等于非零行得行數(shù)

3、矩陣得秩得性質

(1)若矩陣A中有某個s階子式不為0

則r(A)

s

若A中所有t階子式全為0

則r(A)

t

(2)若A為m

n矩陣

則0

r(A)

min{m

n}

r(Am×n)

min{m

n}

(4)對于n階矩陣A

當|A|

0時

r(A)

n

當|A|

0時

r(A)

n

可逆矩陣(非奇異矩陣),又稱為滿秩矩陣

不可逆矩陣(奇異矩陣),又稱為降秩矩陣

可叫做滿秩矩陣,否則叫做降秩矩陣。

(3)

r(A)

r(AT),在秩就是r

得矩陣中,有沒有等于0得r

1階子式?有沒有等于0得r階子式?

解答:可能有、例如

r(A)3

就是等于0得2階子式

就是等于0得3階子式

補充例3定理1若A與B等價

則r(A)

r(B)

根據(jù)這一定理

為求矩陣得秩

只要把矩陣用初等(行)變換變成行階梯形矩陣

行階梯形矩陣中非零行得行數(shù)即就是該矩陣得秩

二、矩陣得秩得求法問題:經(jīng)過初等變換后,矩陣得秩變嗎？任何矩陣都可以經(jīng)過初等行變換變成行階梯形矩陣。

即初等變換不改變矩陣得秩、因為解例4求矩陣A的秩

并求A的一個最高階非零子式

其中

所以r(A)

3

為求A得最高階非零子式

考慮由A得1、2、4列構成得矩陣又因A0得子式所以這個子式就是A得最高階非零子式

行變換可見r(A0)＝3,行階梯形矩陣

例5即AB與B等價大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點

例6小結(2)初等變換法1、矩陣得秩得概念2、求矩陣得秩得方法(1)定義法把矩陣用初等行變換化為行階梯形矩陣,行階梯形矩陣中非零行得行數(shù)就就是矩陣得秩、尋找矩陣中非零子式得最高階數(shù);P67:31練習題P67:31,32P67:31練習題P67:31,32P67:31練習題P67:31,32繼續(xù)討論x得值得變化對矩陣A得秩得影響,結果同解法一。P67:32

練習題P67:31,32P67:32

練習題P67:31,32第一章P21,2P21,5(3)P21,5(3)習題1-5,P25:5(4)P40:3(3)、(4),(3)4P40-