2025學年八年級數(shù)學下冊期末復習（壓軸題50題22個考點）原卷版

期末復習(壓軸題50題22個考點)

因式分解的應用(共3小題)

1.閱讀材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求n的值.

解：itr-2nm+2i,-8w+16=0,(/u2-Imn+v?)+(?2-8,1+16)=0

(m-n)2+(”-4)2=0,/.(m-ri')2=0,("-4)2=0,.,.n=4,m=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知7+2盯+2/+2/1=0,求2x+y的值；

(2)已知a-6=4,ab+c1-6c+13=0,求a+6+c的值.

2.上數(shù)學課時，王老師在講完乘法公式(a±6)2=/±2"+廿的多種運用后，要求同學們運用所學知識解

答：求代數(shù)式W+4x+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：

解：/+4x+5=/+4x+4+l=(x+2)2+1

:(x+2)22。，

...當x=-2時，(尤+2)2的值最小，最小值是0,

(尤+2)2+1^1

...當(x+2)2=0時，(x+2)2+1的值最小,最小值是1,

，/+4x+5的最小值是1.

請你根據(jù)上述方法，解答下列各題

(1)知識再現(xiàn)：當苫=時，代數(shù)式f-6x+12的最小值是；

(2)知識運用：若y=-/+2x-3,當》=時，y有最_______值(填“大”或“小”這個值

是;

(3)知識拓展：-X2+3X+J+5=0,求y+x的最小值.

3.閱讀理解并解答：

【方法呈現(xiàn)】

(1)我們把多項式/+2必+序及/-2而+信叫做完全平方式.在運用完全平方公式進行因式分解時，關

鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)

式值的最小(或最大)問題.

例如：f+2x+3=(f+2x+l)+2=(x+1)~+2,

,?(尤+1)220,

(x+1)2+2N2.

則這個代數(shù)式W+2x+3的最小值是,這時相應的x的值是.

【嘗試應用】

(2)求代數(shù)式-?+14x+10的最小(或最大)值，并寫出相應的尤的值.

【拓展提高】

(3)已知a,b,c是△ABC的三邊長，aW=10a+8Z?-41,且c是△ABC中最長的邊，求c的取

值范圍.

二.分式的加減法(共1小題)

4.定義：若兩個分式的差的絕對值為2,則稱這兩個分式屬于“友好分式組”.

(1)下列3組分式：

①烏_與」_；②芻-與史2；③，_與基2.其中屬于“友好分式組”的有(只填序號);

a+1a+1a_la_l2a+l2a+l

22

(2)若正實數(shù)a,6互為倒數(shù)，求證，分式工一與祖終屬于“友好分式組”；

29

a+ba+b

222

(3)若a,6均為非零實數(shù)，且分式字、與——屬于“友好分式組”，求分式八-2b”的值.

@2_妊2a+2bab

三.分式方程的應用(共1小題)

5.某汽車銷售公司經銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降.今年5月份A款汽車的

售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額

只有90萬元.

（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？

（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元,

B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15

輛，有幾種進貨方案？

（3）按照（2）中兩種汽車進價不變，如果8款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司

決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金。萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？

四.一元一次不等式組的整數(shù)解（共1小題）

仔片1〉0

9Q

6.若不等式組（恰有兩個整數(shù)解.則實數(shù)a的取值范圍是_______________________.

5a+4、

Oo

五.一元一次不等式組的應用（共2小題）

7.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴大糧食生產規(guī)模，某糧食生產基地計劃投入一筆資

金購進甲、乙兩種農機具.已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需3.5萬元，購進1件甲種農

機具和3件乙種農機具共需3萬元.

（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩農機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，

設購進甲種農機具加件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于國家對農業(yè)生產扶持力度加大，每件甲種農機具降價0.7萬元，每件乙種

農機具降價0.2萬元，該糧食生產基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農機具（可以只

購買一種）請直接寫出再次購買農機具的方案有哪幾種？

8.為解決中小學大班額問題，東營市各縣區(qū)今年將改擴建部分中小學，某縣計劃對A、8兩類學校進行改

擴建，根據(jù)預算，改擴建2所A類學校和3所B類學校共需資金7800萬元，改擴建3所A類學校和1

所B類學校共需資金5400萬元.

（1）改擴建1所A類學校和1所B類學校所需資金分別是多少萬元？

（2）該縣計劃改擴建A、2兩類學校共10所，改擴建資金由國家財政和地方財政共同承擔.若國家財

政撥付資金不超過11800萬元；地方財政投入資金不少于4000萬元，其中地方財政投入到A、2兩類學

校的改擴建資金分別為每所300萬元和500萬元.請問共有哪幾種改擴建方案？

六.角平分線的性質（共2小題）

9.如圖，ZABC=ZACB,AMC的內角NABC的角平分線與/AC3的外角平分線交于點DAABC

的外角的角平分線與CD的反向延長線交于點E,以下結論:

?AD//BC-,②DBLBE；③/BDC+/ABC=90°；④3。平分/AOC；@ZBAC+2ZB￡C=180°.

其中正確的結論有.（填序號）

10.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AO平分/BAC,DELLAB于點E,點尸在AC上，且

（1）求證：CF=EB；

（2）請你判斷AE、AF與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由.

七.等腰三角形的性質（共2小題）

11.如圖，在第1個△ALBC中，ZB=40°,ArB=CB；在邊43上任取一點D,延長C4i到A2,使4人2

=AiD,得到第2個△A1A2D;在邊上任取一點E，延長A也到A3，使A2A3=人29得到第3個4

A2A3E…按此做法繼續(xù)下去，則第附+1個三角形中以4+1為頂點的底角度數(shù)是（）

A-(y)n-70°B-(y)11-1-700

c-(y)n-1-80°D-(y)n-80°

12.如圖，NBOC=9°,點A在02上，且。4=1,按下列要求畫圖:

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點4，得第1條線段A41；

再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交。B于點42，得第2條線段A1A2；

再以&2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3；…

這樣畫下去，直到得第〃條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則〃=

八.等腰三角形的判定（共1小題）

13.如圖，△ABC是等邊三角形，是中線，P是直線8c上一點.

（1）若CP=CD,求證：△OBP是等腰三角形；

（2）在圖①中建立以△ABC的邊BC的中點為原點，3c所在直線為x軸，3c邊上的高所在直線為y軸

的平面直角坐標系，如圖②，已知等邊AABC的邊長為2,AO=M，在x軸上是否存在除點尸以外的

點。，使△3D。是等腰三角形？如果存在，請求出。點的坐標；如果不存在，請說明理由.

圖②

九.等邊三角形的性質（共5小題）

14.圖①是一塊邊長為1,周長記為P的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為工的正三角形紙板

2

后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉如圖正三角

形紙板邊長的工）后，得圖③，④，…，記第w（〃23）塊紙板的周長為P”，則的值為（)

2

15.如圖，第（1）個多邊形由正三角形”擴展而來邊數(shù)記為的=12,第（2）個多邊形由正方形“擴展”

而來，邊數(shù)記為44=20,第（3）個多邊形由五邊形“擴展”而來，邊數(shù)記為45=30…依此類推，由正W

邊形“擴展而來的多邊形的邊數(shù)記為即（WN3）,則!」結果是（）

10303339

16.如圖，△A2C是邊長為6的等邊三角形，尸是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q

是CB延長線上一點，與點尸同時以相同的速度由2向C2延長線方向運動（。不與3重合），過尸作

PELABE,連接PQ交AB于D

(1)當N8Q￡>=30°時，求A尸的長;

（2）當運動過程中線段距的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由.

17.等邊△A2C,點。是直線上一點，以為邊在AD的右側作等邊△ADE,連接CE.

(1)如圖1,若點。在線段BC上，求證：CE+CD=AB；

(2)如圖2,若點。在CB的延長線上，線段CE,CD,AB的數(shù)量有怎樣的數(shù)量關系？請加以證明.

18.如圖1,點尸、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊A3、BC上的動點，點P從頂點A,點Q從頂點2

同時出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s,

(1)連接AQ、CP交于點則在P、。運動的過程中，/CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不

變，則求出它的度數(shù)；

(2)何時△尸2。是直角三角形？

(3)如圖2,若點P、。在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點、為M,則/CMQ

變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

一十.等邊三角形的判定(共1小題)

19.在RtZiABC中，ZACB=90°,8。是△ABC的角平分線.

（1）如圖1,若求/A的度數(shù)；

（2）如圖2,在（1）的條件下，作DE_LAB于E,連接EC.求證：△EBC是等邊三角形.

一十一.等邊三角形的判定與性質（共3小題）

20.如圖，。是等邊△ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE=DA,連接。E交AC于凡過。

點作OGLAC于G點.證明下列結論：

（1）AG=AAD；

2

（2）DF=EF；

（3）S&DGF=SAADG+SAECF.

21.如圖，點。是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，ZAOB=llO°,ZBOC=a,4BOC/AADC,

NOCD=60°,連接OD

（1）求證：△0C￡）是等邊三角形；

（2）當a=150°時，試判斷△A。。的形狀，并說明理由；

（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形.

22.如圖，△ABC是等邊三角形.

圖①圖②

(1)如圖①，DE//BC,分別交A3、AC于點。、E.求證：△ADE是等邊三角形;

(2)如圖②，△&￡>￡仍是等邊三角形，點2在即的延長線上，連接CE,判斷N3EC的度數(shù)及線段

AE.BE、CE之間的數(shù)量關系，并說明理由.

一十二.直角三角形的性質(共1小題)

23.如圖，已知點A(-1,0)和點8(1,2),在坐標軸上確定點P,使得△ABP為直角三角形，則滿足

C.6個D.7個

一十三.勾股定理(共6小題)

24.如圖所示，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，其中兩個半圓的面積s,衛(wèi)兀，S2=2TT,則S3

18

25.如圖，Rt^ABC中，ZBAC=90°,分別以AABC的三條邊為直角邊作三個等腰直角三角形：dABD、

△ACE>ABCF,若圖中陰影部分的面積Si=6.5,§2=3.5,￡=5.5,則S4=

26.如圖，在正方形ABC。的對角線AC上取一點E,使得/CDE=15°,連接BE并延長BE到尸，使CF

=CB,8尸與CO相交于點H,若48=任，有下列四個結論：①/CBE=15。；②AE=歷+1；③SADEC

=1二1；@CE+DE=EF.則其中正確的結論有.(填序號)

27.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,以AC,BC和AB為邊向上作正方形ACED和正方形BCA〃和正方

形ABGF,點G落在Ml上，若AC+BC=7,空白部分面積為16,則圖中陰影部分的面積

是.

28.如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=lOcm,AC=6cm,動點尸從點8出發(fā)沿射線8c以2cro/s的

速度移動，設運動的時間為f秒.

(1)求2C邊的長;

(2)當△AB尸為直角三角形時，求/的值；

(3)當尸為等腰三角形時，求t的值.

29.如圖，已知在中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是AC上的一點，CD=3,點P從B

點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點P的運動時間為九連接AP.

（1）當片3秒時，求AP的長度（結果保留根號）；

（2）當△ABP為等腰三角形時，求t的值；

（3）過點。作。EJ_A尸于點E.在點尸的運動過程中，當f為何值時，能使QE=CO?

一十四.勾股定理的證明（共3小題）

30.勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的

記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理.圖2是

由圖1放入矩形內得到的，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,點、D,E,F,G,/都在矩形KLM的邊

上，則矩形KLMJ的面積為（）

（圖1）

A.90B.100C.110D.121

31.如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH.連結EG,8。相

交于點O、8。與”C相交于點尸.若GO=GP,則;AABD的值是（）

S/kEFG

o

A.l+x/2B.2+V2c.5-V2D.

32.大家在學完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段

的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法.學有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC,其一腰

上的高為人，M是底邊上的任意一點，M到腰AB、AC的距離分別為歷、h2.

（1）請你結合圖形來證明：hi+h2=h；

（2）當點/在3c延長線上時，〃卜比、/?之間又有什么樣的結論.請你畫出圖形，并直接寫出結論不

必證明；

（3）利用以上結論解答，如圖在平面直角坐標系中有兩條直線/i：y=lx+3,gy=-3x+3,若72上的

4

一點M到/1的距離是3.求點/的坐標.

一十五.三角形中位線定理（共4小題）

33.如圖，已知四邊形4BC。中，AC±BD,AC=6,BD=6&，點E，尸分別是邊A。，BC的中點，連接

EF,則斯的長是（）

C.373D.3+3點

2

34.如圖，四邊形ABCD中，NA=90°,AB=3?,AD=3,點M,N分別為線段BC,AB上的動點（含

端點，但點M不與點B重合)，點E,F分別為DM,MN的中點，則EF長度的最大值為

35.如圖，在△AiBiCi中,已知421=7,21cl=4,4cl=5,依次連接△ALBCI三邊中點，得232c2,

再依次連接AA232c2的三邊中點得383c3，…，則585c5的周長為.

36.(1)證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖1寫

出已知、求證、證明；在證明過程中，至少有兩處寫出推理依據(jù)(“已知”除外)]

(2)如圖2,在回A3CD中，對角線交點為O,ABBI、CI、DI分別是。4、OB、0C、0D的中點，42、

歷、C2、功分別是04、031、0C1、。。的中點，…，以此類推.

若回A3C。的周長為1,直接用算式表示各四邊形的周長之和/；

(3)借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜/可能是多少？

一十六.三角形綜合題(共1小題)

37.(1)如圖1,已知：在△ABC中，ZBAC=90°，AB=AC,直線機經過點A,直線機，(7后,直

線相，垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，并且有/

BDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+C￡是否成立？如成立，請你

給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展與應用：如圖3,D、E是D、A、E三點所在直線機上的兩動點(D、A、E三點互不重合),

點F為NBAC平分線上的一點，且AAB尸和廠均為等邊三角形，連接8。、CE,

=ZBAC,試判斷△￡>￡下的形狀并說明理由.

一十七.平行四邊形的性質(共1小題)

38.如圖，在平行四邊形4BCD中，ZA=90°,AD=10,AB=8,點P在邊上，且BP=BC,點〃在

線段B尸上，點N在線段BC的延長線上，且PM=CN,連接MN交CP于點尸，過點M作MELCP于E,

則EF=________________.

一十八.平行四邊形的判定(共1小題)

39.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD=Ucm,8c=15c%,點P自點A向。以ICTH/S的速度運動，

到D點即停止.點。自點C向8以2cm/s的速度運動，到2點即停止，點尸，。同時出發(fā)，設運動時間

為t(s').

(1)用含r的代數(shù)式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=

(2)當f為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？

(3)當/為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？

一十九.平行四邊形的判定與性質(共1小題)

40.我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

(1)如圖1,四邊形ABCD中，點E,F,G,X分別為邊AB,BC,CD,ZM的中點.求證：中點四邊

形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖2,點尸是四邊形ABCD內一點，且滿足PC=PD,/APB=NCPD,點、E,F,G,

〃分別為邊AB,BC,CD,D4的中點，猜想中點四邊形EFG”的形狀，并證明你的猜想；

(3)若改變(2)中的條件，使/APB=/CPD=90°,其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFG”的

形狀.(不必證明)

二十.平移的性質(共1小題)

41.如圖(1)所示：已知MN〃尸。，點B在MN上，點C在尸。上，點A在點B的左側，點。在點C的

右側，ZADC.NABC的平分線交于點E(不與3、。點重合)，NCBN=110；

(1)若乙400=140°,則/BE。的度數(shù)為(直接寫出結果即可)；

(2)若NADQ=7"°,將線段AD沿DC方向平移，使點。移動到點C的左側，其它條件不變，如圖(2)

所示，求NBED的度數(shù)(用含根的式子表示).

二十一.坐標與圖形變化-平移(共3小題)

42.如圖，在平面直角坐標系中，AB//DC,ACA.BC,CD=AD=5,AC=6,將四邊形ABC。向左平移

個單位后，點8恰好和原點。重合，則，"的值是()

A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

43.如圖1,已知，點A(1,a),AHLx軸，垂足為H,將線段AO平移至線段BC,點8(6,0),其中點

A與點2對應，點。與點C對應，a、b滿足｛4-a+(b-3)2=0

(1)填空：①直接寫出A、B、C三點的坐標A()、B()、C()；

②直接寫出三角形AOH的面積.

(2)如圖1,若點。Cm,n)在線段。4上，證明：4m=n.

(3)如圖2,連OC,動點尸從點8開始在x軸上以每秒2個單位的速度向左運動，同時點。從點。開

始在y軸上以每秒1個單位的速度向下運動.若經過，秒，三角形AO尸與三角形COQ的面積相等，試

求f的值及點P的坐標.

44.在平面直角坐標系xOy中，把線段4B先向右平移h個單位，再向下平移1個單位得到線段C。(點A

對應點C）,其中A（a,b）,B（m，n）分別是第三象限與第二象限內的點.

（1）若|a+3|+{b+l=。，h=2,求C點的坐標；

（2）若連接40,過點B作AO的垂線/.

①判斷直線/與x軸的位置關系，并說明理由；

②已知E是直