2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練：最值模型之胡不歸模型解讀與提分訓(xùn)練

專題33最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析,

方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。

目錄導(dǎo)航

模型1.胡不歸模型（最值模型）........................................................1

習(xí)題練模型

13

模型1.胡不歸模型（最值模型）

從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖

然從他此刻位置/到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙

子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

一動點尸在直線MV外的運動速度為匕，在直線上運動的速度為匕，且匕＜%,N、5為定點,

點C在直線初V上，確定點C的位置使土+色的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。

丫2匕

B

B

1）—fsc+-^^cI,記左=x，即求8C+雙C的最小值.

匕匕八匕J匕

2）構(gòu)造射線4D使得sinNZMAM;,—=k,C〃=fc4C,將問題轉(zhuǎn)化為求3C+CH最小值.

/C

3）過8點作跳L4D交〃N于點C,交4D于H點，此時3C+CH取到最小值，即2C+叔C最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“a+權(quán)好’的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與柱5相等的線段，將“以+止B”型問題

轉(zhuǎn)化為“我+尸?！?（若啟＞1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

例1.（24-25九年級上?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖，在VNBC中，ZA=15°,AB=10,尸為NC邊上的一個

動點（不與4、C重合），連接AP,則交4P+P5的最小值是（）

A.5A/2B.5百C.yV3D.8

【答案】B

【分析】以NP為斜邊在/C下方作等腰直角△NDP,過2作BE，/。于E,通過解直角三角形可得BE的長,

再根據(jù)。P=/Psin45°=^/P,可得在+=+據(jù)此即可解答.

22

【詳解】解：如圖，以"為斜邊在/C下方作等腰直角八4。尸，過8作于E,連接5。

B

???/PAD=45。,/B4c=15。,：.ABAD=60°,:.BE=AB-sin60Q=5^^

■.■DP=AP-sin45°=—AP,—AP+PB=DP+PB>BE,.?.且AP+P8的最小值為5?.故選：B.

222

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，點到直線的距離，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

例2.（23-24九年級上?湖南婁底?階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,E,P分別是邊4D和對角線

4

NC上的動點，連接EP,記/氏4C=a,若tana=§,則PE+尸Ceosc的最小值為（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】A

【分析】本題考查了三角函數(shù)的定義，矩形的判定和性質(zhì).過點尸作GHLBC于點X,交/。于點G,求得

尸。<0$&=尸7/,根據(jù)垂線段最短，知當(dāng)點￡與點G重合時，PE+PC-cosa有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：過點尸作GHL3C于點〃，交4D于點G,

四邊形ABCD是矩形，N8=/BAG=90P，二四邊形ABHG是矩形，，PH//AB,ZHPC=ABAC=a,

4BC4,--------------

AB=3,tana=-,/.——=-,/.SC=4,AC=dAB?+BC?=5，

3AB3

4B3

cosa==—=cosZ.HPC,PC-cosa=PH,

AC5

當(dāng)點￡與點G重合時，PE+尸C-cosa有最小值，最小值為GH的長，

VGH=AB=3,.?.尸￡+尸。851的最小值為3,故選：A.

例3.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在菱形48co中，對角線/C、5。相交于點O,AC=8,BD=6,尸是

3

對角線ZC上的動點，則5尸+5/尸的最小值為.

BC

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，過點尸作尸E1N。，連接3E,由菱形的

性質(zhì)可得。4=」NC=4,OD=-BD=3,AC±BD,則由勾股定理可得4。=5,解直角三角形得到

22

333

sinZO^￡>=|,則依=/Psin/E4￡=]NP,進而得到當(dāng)3、P、E三點共線，且小，/。時，BP+^AP最

小，最小值為3E的長，據(jù)此利用等面積法求出5E的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點尸作連接8E,

???在菱形/3CD中，對角線/C、8。相交于點O,/C=8,BD=6,P

2

：.OA=-AC=4,0D=-BD=3,ACLBD,：.AD=y/o^+OD=5-sinZOAD=-=-,

22J4,D5

33

???在RM4尸￡中，PE=AP.sin/PAE=?AP,：.BP+-AP=BP+PE,

3

???當(dāng)從尸、E三點共線，且BE，/。時，+尸最小，最小值為BE的長，

1124

此時有S四邊形Z6CZ）=4D'BE=—AC,BD,5BE=,x6x8,BE=,

.?.82+；3/9的最小值為（24，故答案為：y24.

例4.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，正方形48CD邊長為4,點E是。邊上一點，且N/3E=75。.P

是對角線8D上一動點，則+的最小值為（）

A.4B.472C.也+6D.V2+V6

2

【答案】D

【分析】連接/C,作PGLBE,證明當(dāng)4P+，8P取最小值時，A,P,G三點共線，且/GLBE,此時最

2

小值為NG,再利用勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果.

【詳解】解：連接/C,作尸GL8E

?.?48CD是正方形且邊長為4,/.ZABO=45°,AC1BD,AO=2枝,

VAABE=75°,ZPBG=30°,PG=-BP,

2

.?.當(dāng)+取最小值時，A,P,G三點共線，且/GL5E,此時最小值為/G,

,/AABE=75°,AG1BE,；.N"G=15°,VZBAO^45°,：.ZPAO^30°,

設(shè)OP=b,貝1」/尸=26,；.〃+（2行『=（26）2,解得：6=半，

設(shè)尸G=a,則3P=2。，?：B0=26,，2。+6=2也，解得：a=V2-—

3

:.AG=AP+PG=2b+a=?+&，故選：D

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是

證明當(dāng)/尸+；2尸取最小值時，A,P,G三點共線，且/GL3E,此時最小值為/G.

例5.（23-24九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，N8是。。的直徑，CE切。。于點C交A8的延長線于

點￡.設(shè)點。是弦/C上任意一點（不含端點），若NC及4=30。，BE=4,則CD+2。。的最小值為（）

c

A.2A/3B.V3C.4D.473

【答案】D

【分析】作O尸平分//oc,交00于尸，連接/尸、CF、DF,過點。作。于根據(jù)切線的性

質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得/COE=60。，求得4。。=120。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

乙4OF=/CO尸=60。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得OE=2OC,求得0c=4,根據(jù)等邊三角形

的判定和性質(zhì)可得/尸=AO=OC=FC,根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得AC平分ZFAO,根據(jù)角平分線的性質(zhì)

和全等三角形的判定和性質(zhì)可得分=。。，根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求得/OC4=/CMC=30。,

根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求得CD=2D”，推得C。+2O。=2（。H+ED）,根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)下、

D、H三點共線時，DH+ED的值最小，即以，/C時，CD+2OD的值最小，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)

可求得萬H=2內(nèi)，即可求解.

【詳解】解：作//OC的角平分線。尸，交。。于尸，連接NF、CF、DF,過點。作D〃_LOC于“，如

圖：

OCVCE,：.NOCE=90。，又ZCEA=30°,/.NCOE=180°-90°-30°=60°，,ZAOC=180°-60°=120°,

,/平分//OC,貝IJN/OF=NCOF=1N/OC=!X120O=60°,

22

VACEO=3Q°,ZOCE=90°,：.OC=-OE,即OE=2OC,

2

XVOE=OB+BE=OC+BE,BE=4,：.WC=OC+4,：.OC=4,即圓的半徑為4,

OA=OF=OC,NAOF=NCOF=60°,"OF、ACOF是等邊三角形，

AF=AO=OC=FC,四邊形NOC尸是菱形，NC平分/E4O,AZFAC=ZOAC,

又；4尸=40,AD=AD,也AGMD(SAS),:.DF=DO,

180?！?/。。180?！?20。

,：OA=OCZOCA=ZOAC=

f22

Z.DH=DC-sinZDCH=DC-sin30°=-DC,BPCD=2DH,：,

2

CD+2OD=2DH+2OD=2{DH+OD)=2(DH+FD).若使CD+20。的值最小，即DH+ED的值最小,

當(dāng)尸、D、H三點共線時，DH+FD=FH,此時。8+FD的值最小，即切_L4C時，C0+2O。的值最小，

此時，F(xiàn)H=OF-sinZFOH=OF-sin60°=^-OF=2y[3,CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=46,故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，特殊角的銳角三角

函數(shù)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)尸、D、H三點共線時，DH+FD的值最小，即。+2OD的值

最小.

例7.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-；x+2與x軸，y軸分別交于/,3兩點，點。是線

段上一動點，點〃是直線y=-gx+2上的一動點，動點0）,F（m+3X））,連接BE,DF,HD.當(dāng)

8E+D尸取最小值時，38H+5D”的最小值是

【分析】作出點C（3,-2）,作于點。，交x軸于點R此時8E+。尸的最小值為的長，利用解

直角三角形求得尸利用待定系數(shù)法求得直線8的解析式，聯(lián)立即可求得點D的坐標(biāo)，過點D作

OGLy軸于點G,此時+的最小值是5DG的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：直線>=-；》+2與x軸，y軸分別交于4,3兩點，，以。?,/（6,0）,

作點2關(guān)于x軸的對稱點夕（0,-2）,把點"向右平移3個單位得到C（3,-2）,

作。，于點。，交x軸于點尸，過點"作〃?？诮粁軸于點E,則四邊形EFC8'是平行四邊形,

此時，BE=B'E=CF,二8￡+。b=。尸+。尸=。。有最小值，作CP_Lx軸于點P,

則CP=2,OP=3,VZCFP=ZAFD,：.ZFCP=ZFAD,：.tanZFCP=tanZFAD,

看需哼"*”尸pok設(shè)直線。的解析式為y=h+b,

3k+b=-2k=3

則11,,c，解得-?直線c。的解析式為-11,

——左+6=0

13

39

y=3x-11x=——

;,即。397

聯(lián)立，1「解得;過點。作。軸于點G,

y=——x+2

3y——

10

3

直線y=-*+2與x軸的交點為。任，o],則50=后齊而=:,sinZOS2=^=|=|,

3）2￡5

2

HG=BHsinZGBH=[BH,：.3BH+5DH=5113〃+DH^=5（HG+DH）=5DG,

3939淚

即38〃+50〃的最小值是5AG=5*m=萬，故答案為：y.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學(xué)知識解決問題.

例8.（2024?山東濟南?一模）實踐與探究

【問題情境】（1）①如圖1，Rt△4BC,DB=90°,N/=60。，D,E分別為邊/C上的點，DE//BC,

AJ~）

且3C=2OE,則一=；②如圖2,將①中的V/DE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。，則DE,8c所在直線較

AB

小夾角的度數(shù)為.

【探究實踐】（2）如圖3,矩形48=2,4。=26，E為邊/。上的動點，尸為邊BC上的動點，BF=2AE,

連接E尸，作BH1EF于H點,連接8.當(dāng)C"的長度最小時，求8〃的長.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4,RtAABC,ZACB^90°,ZCAB=60°,AC=。,。為48中點，連接CD,E,F

分別為線段助，CD上的動點，且DF=2BE,請直接寫出/尸+拽斯的最小值.

3

圖1圖2圖3圖4

【答案】(1)①上;②30。；(2)2；(3)V13

【分析】(1)①由。E〃3c得出△4D￡sa4gc,再由相似三角形的性質(zhì)即可得解；②延長DE交8C于下，

令4B交DE于G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算即可得出答案；

(2)延長34FE,相交于點G,連接AC.由矩形的性質(zhì)可得/E〃BF,BC=AD=243,證明

AGAESAGBF,由相似三角形的性質(zhì)得出點A為G8中點，由直角三角形的性質(zhì)得出==2,當(dāng)

A,H,C,三點共線時S取得最小值，證明出瓦/為等邊三角形，即可得解；

(3)分別過點。和3作垂線，兩線相交于點P,連接PE、PF、PA,貝"CO尸=/尸"=9QP,證明

APBES^PDF,得出NPEB=NPFD,再證明出尸、E、D、尸四點共圓，得出/尸尸￡=/尸。8=30°,

ZPEF=ZPDF=90°,解直角三角形得出尸尸=述跖，即可得出/尸+拽斯=/尸+尸尸2/尸，最后由

33

勾股定理計算即可得出答案.

ADr)rr)r11

【詳解】解：⑴①；DE〃BC,.?.嗎=-=上幺=上，故答案為：

ABBC^JDE2~

圖3

由①可得ND=ZABC=90。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ND4B=30。,

ZAGD=90P-ZDAG=60°,/.ZBGF=ZAGD=6CP,ZBFG=90°-ZBGF=30°,

DE,3C所在直線較小夾角的度數(shù)為30。，故答案為：30°；

(2)延長34FE,相交于點G,連接/〃，AC.

■:四邊形/BCD是矩形，AE//BF,BC=AD=2拒,:.NGAE=NGBF,

G4AEAE1

?r/G=/G,：.AGAESAGBF,：.—=—=——=-,二點A為G3中點，:.BG=2AB=4,

GBBF2AE2

,:BHLEF于點、H,...在RSBHG中，AH=-=AB=2,

2

:在中，CH>AC-AH,且/C,為定值，，當(dāng)4H,C,三點共線時取得最小值，

DZ~?

VtanZCAB=--=73,/.ZCAB=60°,此時為等邊三角形，二58=48=2.

AB

(3)如圖，分別過點。和8作垂線，兩線相交于點尸，連接PE、PF、PA,則/C。尸=/尸8E=90P,

RtA^5C,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=43,。為N8中點，

CD=AD=BD=^AB,ZABC=90°-ZCAB=30°,AB=2AC=2

:.^ACD為等邊三角形,NADC=60。，BD=AD=ACZ，

12

ZPDB=180°-AADC-ACDP=30°,PB=-PD,-；PB2+BD2=DP~>/.PB2+(73)=(2P5)2,:.PB=\,

-：DF=2BE,FPBESAPDF,ZPEB=ZPFD,/.ZPED+ZPFD=18(F,尸、￡、。、尸四點共圓，

ZPFE=ZPDB=3(F,ZPEF=ZPDF=90°,在Rt△尸￡尸中，cosZPFE=cos30°=—=—,

PF2

:.PF=^-EF,AF+^-EF=AF+PF>AP,

33

在RMPB中，AP=AB2+PB2+仔，,AF+^EF的最小值為V13.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、圓的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定

與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加

適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

例9.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，二次函數(shù)了=6/-6瓜+5。的圖象交x軸于/、B兩

點，交y軸于點C,連接8C.(1)直接寫出點8、。的坐標(biāo)，B；C.

(2)點尸是y軸右側(cè)拋物線上的一點，連接PB、PC.若△尸的面積15百，求點尸的坐標(biāo).

(3)設(shè)E為線段8c上任意一點(不含端點)，連接一動點M從點/出發(fā)，沿線段/E以每秒1個單位

速度運動到E點，再沿線段EC以每秒2個單位的速度運動到C后停止，求點M運動時間的最小值.

【答案】⑴（5,0）,僅,5旬（2）（2,-3@或（3,-4石）或（6,5碼（3）點新的運動時間的最小值為7秒

【分析】（1）根據(jù)拋物線計算即可；（2）利用同底等高的三角形面積相等構(gòu)造與2C平行直線，找到與拋物

線的交點P;（3）如圖，在x軸上取一點G,連接CG,使得NBCG=30。，作ENLCG于M作/NUCG

pr1

于N'交8C于￡.由點M的運動時間f=+EN=-EC,推出點M的運動時間/=4E+EN,根據(jù)

22

垂線段最短可知，當(dāng)/,E,N關(guān)系，點N與V重合，點￡與夕重合時，點M的運動時間最少.由此即可

解決問題；

【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時，y=5#）,

2,

當(dāng)y=。時，y/3x-6y/3x+5sj3-0,解得：玉=1,x2=5,故答案為：（5,0）,（0,56）；

（2）解：設(shè)x軸上點。，使得的面積156，.彳&^^二匕百，解得：BD=6,

???C（0,5A/3）,5（5,0）,則可求直線8C解析式為：＞=-&+5百，故點D坐標(biāo)為（T。）或（口⑼，

當(dāng)D坐標(biāo)為（-1,0）時，過點D平行于BC的直線I與拋物線交點為滿足條件的P,

則可求得直線/的解析式為：y=_島飛,

求直線/與拋物線交點得：屈2-6岳+56=-屈-6，解得：玉=2,%=3,

則P點坐標(biāo)為（2,-3碼或（3,-473）,同理當(dāng)點。坐標(biāo)為（11,0）時，直線/的解析式為y=-后+1173,

求直線/與拋物線交點得：、回苫2_6岳+56=_&+11@,解得：西=-1（舍棄），x2=6,

則點尸坐標(biāo)為上59，綜上滿足條件P點坐標(biāo)為：（2,-3右）或（3,-46）或k,59；

(3)解：如圖，在x軸上取一點G,連接CG,使得/3CG=30。，作ENLCG于N.作/N」CG于N'交

BC于E'.

AGCO=60°,

OG=V3OC=15，直線CG的解析式為=-—X+5A/3?

3

pc1

,?,點M的運動時間￡=+—,EN=-EC，，點M的運動時間+,

22

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)HE,N關(guān)系，點N與N'重合，點E與￡重合時，點M的運動時間最少.

由題意/Q,0),，/G=14,.?.NN，=；/G=7,.?.點”的運動時間的最小值為7秒，止匕時￡(3,2力).

【點睛】本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.

習(xí)題練模型

1.（2024?山東淄博??？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點/的坐標(biāo)是（0,2）,點C的坐標(biāo)是（0,-2）,

點3（x,0）是x軸上的動點，點8在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連

接PC,求得力尸+；尸C的最小值為（）

A.4GB.4C.2A/3D.2

【答案】C

【分析】如圖1所示，以為邊，向右作等邊△/。。，連接PD,過點。作于E,先求出點。的

坐標(biāo)，然后證明△A4。名△以。得到/尸。/=/3。4=90。，則點尸在經(jīng)過點。且與/D垂直的直線上運動，

當(dāng)點尸運動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，證明此時點尸的坐標(biāo)為（0,-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3

所示，作點/關(guān)于直線電＞的對稱點G,連接PG,過點尸作尸軸于凡設(shè)直線尸。與x軸的交點為“,

先求出點〃的坐標(biāo)，然后證明/"CO=30。，從而得到/尸+gpC=GP+PF,則當(dāng)G、P、尸三點共線時，

GP+尸尸有最小值，即4P+[PC有最小值，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點G在x軸上，則OG即為所求.

【詳解】解：如圖1所示，以。/為邊，向右作等邊A/OD,連接PD,過點。作于E,

:點/的坐標(biāo)為（0,2）,：.OA=OD=2,：.OE=AE=l,：.DE=^OD2-OE2=V3,.,.點。的坐標(biāo)為（g，l）；

：△ZAP是等邊三角形，A/OD是等邊三角形，：.AB=AP,NB4P=60。,AO=AD,ZOAD=60°,

：.ZBAP+ZPAO=ZDAO+ZPAO,即:.ABAO經(jīng)八PAD（”S）,AZPDA=ZBOA=90°,

.?.點P在經(jīng)過點D且與AD垂直的直線上運動，

當(dāng)點尸運動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，此時點尸與點C重合,

0是等邊三角形，BOL4P,：.AO=PO=2,J此時點尸的坐標(biāo)為（0,-2）,

fy/3k+6=1.女=百

設(shè)直線尸。的解析式為歹=履+6,???直線PQ的解析式為y=2；

[b=-2「b=-2

如圖3所示，作點4關(guān)于直線心的對稱點G,連接尸G,過點尸作?3；軸于尸，連接CG,設(shè)直線尸D

與X軸的交點為〃，.?.點”的坐標(biāo)為一，0,tan/OC〃=q^=@，.?./。。/=30。，...尸尸=1PC,

I3JOC32

由軸對稱的性質(zhì)可知AP=GP,：.AP+-PC=GP+PF,

2

.?.當(dāng)G、尸、尸三點共線時，GP+PF有最小值，即4P+」PC有最小值，

2

：/、G兩點關(guān)于直線PD對稱，且NNDC=90。，.?.4）=GD,即點。為/G的中點,

:點/的坐標(biāo)為（0,2）,點。的坐標(biāo)為限1）,：.AG=2AD=2OA=4,

"：AC=4,ZCAG=60°,ZUCG是等邊三角形,"：OC=OA,：.OGLAC,即點G在x軸上,

，由勾股定理得OG=142-22=26，，當(dāng)點尸運動到〃點時，GP+P尸有最小值，即/尸+；尸C有最小值,

最小值即為。G的長，4P+；尸C的最小值為26，故選：C.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸

對稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點尸的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?四川德陽?二模）如圖，已知拋物線y=a/+6x+c與x軸交于41，0），C（-3,0）兩點，與y軸交于點

3（0,3）.若P為y軸上一個動點，連接NP,則［BP+NP的最小值為（）

C.2亞D.4

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識，關(guān)鍵在

于把求也8P+4P最小值轉(zhuǎn)化為求尸G+N尸的最小值；連接8C,AP,過點P作尸GL3C于點G,連接ZG,

2

過點/作于點〃；由B、C的坐標(biāo)得08=0。，則有NO3C=45。，從而尸G=*2尸；于是求

2

顯BP+AP最小值轉(zhuǎn)化為求PG+AP的最小值；利用勾股定理即可求得最小值.

2

.'.—BP+AP=PG+AP>AG>AH,—BP+AP的最小值為的長，

22

6

?.,/(1,0),C(-3,0),\AC=1-(-3)=4,在RQ4C“中，vDACH=45°,AC=4f\AH=—AC=272,

2

.?.也5P+4尸的最小值為2后.故選：C.

2

3.(2024?山東校考一模)如圖，AB=AC,力(0,乖)，C(1,0),。為射線力。上一點，一動點尸從4出

發(fā)，運動路徑為力-。-。，在4。上的速度為4個單位/秒，在CZ）上的速度為1個單位/秒，則整個運動時

間最少時，。的坐標(biāo)為

【答案】0,

【分析】如圖，作于H,CM_LAB于"，交AO于D.運動時間/=半+半=竺+CZ),由

414

LAHDsAAOB,推出。H=」4D,nJ^-AD+CD=CD+DH,推出當(dāng)C,D,〃共線且和C"重合時,

44

運動時間最短.

【詳解】如圖，作DH工4B于H,。/_1/6于/，交/。于。叱

:運動時間，=—+—=—+CD,"AB=AC,AO1BC,：.BO=OC=1,

414

V^(0,V15),C(1,0),AB=AC,AOIBC,：.AB=AC=yjoA1+OB1=715+1=4>

ADAH=ABAO,ZDHA=ZAOB=90°,：.^AHD^AOB,

：.DH=-AD,：.-AD+CD=CD+DH,

ABOB44

...當(dāng)C,D,"共線且和CW重合時，運動時間最短，

:.^BC-AO=^AB-CM,:.CM=李,；.-CM?=半)=*,

49

VAD,=4MD,,設(shè)〃/>=加，則4。'=4加，則有：16加？—冽2=一

4

?；蚝簦ㄉ崛ィ?二嗜.??心書

4.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。是等邊三角形48c的外接圓，其半徑為4.過點8作

于點E,點尸為線段3E上一動點（點尸不與3,E重合），則CP+lgP的最小值為

2

【分析】過點。作尸。連接CO并延長交于點R連接/。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三

角形的性質(zhì)得到。4=08=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性質(zhì)得到OE=；CM=2,進而求

出8￡=8。+￡。=6,然后利用CP+,J8P=C尸+P。VC尸代入求解即可.

2

【詳解】如圖所示，過點尸作尸3,連接CO并延長交于點尸，連接/O

^ABC是等邊三角形，BE1ACZABE=ZCBE=-ZABC=30°

2

：。。是等邊三角形4BC的外接圓，其半徑為4,CU=O8=4,CF1AB,

：.AOBA=NOAB=3TZOAE=ZOAB=-ZBAC=30°

2

BEVAC：.OE=-OA=2：.BE=BO+EO=6

2

11

,/PD1AB,ZABE=30°；.PD=—PB：,CP+-BP=CP+PD<CF

22

尸的最小值為CF的長度：AA8C是等邊三角形，BELAC,CFJ.AB

2

：.CF=BE=6,CP+▲8尸的最小值為6.故答案為：6.

2

【點睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

5.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt448C中，44c3=90。，ZABC=30°,ZC=4,按下列

步驟作圖：①在/C和N8上分別截取/￡＞、AE,使②分別以點。和點E為圓心，以大于工?！?/p>

2

的長為半徑作弧，兩弧在/切C內(nèi)交于點③作射線交BC于點E若點P是線段小上的一個動點,

連接CP,則CP+g"的最小值是.

【答案】2拒

【分析】過點P作尸。工N8于點。，過點C作于點X,先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求

出/切尸=30。，然后利用含30°的直角三角的性質(zhì)得出尸0=；/尸，則CP+；/尸=CP+P02C〃，當(dāng)C、

尸、。三點共線，且與垂直時，CP+；/尸最小，CP+；/尸最小值為S,利用含30。的直角三角的性質(zhì)

和勾股定理求出N8,BC,最后利用等面積法求解即可.

［詳解］解：過點尸作P?！笰B于點Q,過點C作C"，AB于點H,

由題意知：N/平分/8ZC,?.?44。3=90。，AABC=30°,ABAC=60°,

：.ZBAF=^BAC=30P,PQ=^AP,：.CP+^AP^CP+PQ>CH,

...當(dāng)C、P、0三點共線，且與垂直時，CP+g/P最小，CP+；/P最小值為CH,

VZACB=90°,ZABC=30°,NC=4,AB=2AC=S,：.BC=>JAB2-AC2=473.

，,y二-=25

S^AC.BC=LAB.CHCH

即CP+；/尸最小值為2VL故答案為：2G.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意掌握利用

等積法求三角形的高或點的線的距離的方法.

6.（2022?湖北武漢?九年級期末）如圖，口/BCD中乙4=60。，48=6,AD=2,P為邊CD上一點,則

43PD+2PB的最小值為.

【答案】6G

【分析】作尸〃_￡/。交4。的延長線于“，由直角三角形的性質(zhì)可得打=且。尸，因此

2

6PD+2PB=2（二~DP+PB）=2（PH+PB）,當(dāng)H、P、B三點共線時HP+P8有最小值，即百尸。十2p5有最小

2

值，即可求解.

【詳解】如圖，過點P作尸交/。的延長線于

,??四邊形48co是平行四邊形，.?./8//CA,:.ZA=NPDH=60。

1/?

:PH±AD；.ZDPH=30°；.DH=-PD,PH=>J3DH=—PD,

22

/?

/.粗PD+2PB=2yPD+PB）=2（PH+PB）

當(dāng)點H,點P,點B三點共線時，HP+依有最小值，即由尸。+2尸8有最小值，

此時BH1AH,ZABH=30°,N/=60。，：.AH=^AB=3,BH=CAH=3C

則百尸D+2尸8最小值為6行，故答案為：6百.

【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識.構(gòu)造直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）已知中，BC=6cm,ZA=60°,則/臺+1二1/c的最大值為

2

A

【答案】6&

【分析】過點C作CDL4B,垂足為D,^LDE=AD,即可說明VADE是等腰直角三角形，求出乙4c0=30。，

進一步求出CE=3二/C,繼而將/8+避匚/。轉(zhuǎn)化為AD+C。，推出點。在以8C為直徑的圓上，從而

22

可知當(dāng)△BCO為等腰直角二角形時，BD+CD最大,再求解即可.

【詳解】解：如圖，過點。作CDL48,垂足為。，取DE=AD,

：.VADE是等腰直角三角形，；.NDAE=ZDEA=45°,

???/4=60。，AZCAE=15°：.ZACD=ZAED-ZCAE=30°,AD=-AC=DE,

f2

ACD=4AC1-AD1=—AC,CE=CD-DE=-AC--AC=也,

2222

J3-1

AB+-——AC=AB+CE=AD+BD+CE=DE+BD+CE=BD+CL,

2

2222

V(BD+CD)=BD+CD+2BDXCD=BC+4Sabcd=36+4SMCD,而BC一定，

...當(dāng)△BCD的面積最大時，8。+。最大，：一班)。=90。，；.點。在以3(7為直徑的圓上，

二當(dāng)。平分前時，點。到3C的距離最大，即高最大，則面積最大，

此時8。=CD,則為等腰直角三角形，...30+。。=250=2\存=6逝，故