2025年中考數(shù)學復習分類匯編：等腰三角形與直角三角形（28題）（附參考解析）

專題等腰三角形與直角三角形

一、單選題

（2024?廣東廣州?中考真題）

1.如圖，在VA3C中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊BC的中點，點E,尸分別在邊

AC上，AE=CF,則四邊形AED尸的面積為（）

A.18B.972C.9D.672

（2024?青海?中考真題）

2.如圖，在Rt^ABC中，。是AC的中點，ZBDC=60°,AC=6,則BC的長是（）

A.3B.6C.V3D.3代

（2024.四川廣元?中考真題）

3.如圖，將VA2C繞點A順時針旋轉90。得到VADE,點8,C的對應點分別為點。，E,

連接CE,點。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=l,則A。的長為（）

C.2D.2夜

（2024.內蒙古包頭?中考真題）

4.如圖，在扇形AO3中，ZAOB=80°,半徑OA=3,C是AB上一點，連接OC,。是OC

上一點，且OD=DC,連接BO.若3D_LOC,則AC的長為（）

A.

C

J

71_71-兀-

A.—B.—C.一D.兀

632

（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）

5.小明同學手中有一張矩形紙片ABC￡）,AD=12cm,CD=10cm,他進行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AON,AD交折痕MN于

點E,則線段EN的長為（）

24248

（2024?福建?中考真題）

6.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中△OAB與AODC

都是等腰三角形，且它們關于直線/對稱，點E,尸分別是底邊A3,CD的中點，OELOP.下

A.OBVODB.ZBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

（2024.內蒙古赤峰.中考真題）

7.等腰三角形的兩邊長分別是方程X2_10X+21=0的兩個根，則這個三角形的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）

8.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點A為圓心，適當長為半徑畫弧分別交AB,AC

于點M和點N,再分別以點M,N為圓心，大于!的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連

接AP并延長交BC于點D.若AACD的面積為8,則△ABD的面積是（）

A

C力b

A.8B.16C.12D.24

（2024.安徽.中考真題）

9.如圖，在中，AC=3C=2,點。在A3的延長線上,S.CD=AB,則的長

是（）

C

ABD

A.屈一垃B.#-夜C.20-2D.2A/2-A/6

（2024.四川自貢?中考真題）

10.如圖，等邊丫4^（?鋼架的立柱0），48于點。，4B長12m.現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE,

/血）=60。.則新鋼架減少用鋼（）

C

，卜

//1、、

//':、、

，/1\\

//1\、

//1:、、

，/1!、、

/與\

ADB

A.（24-12^）mB.（24-8月）mC.（24-6^）mD.（24-4司m

（2024?天津?中考真題）

11.如圖，VABC中，ZB=300,將VABC繞點C順時針旋轉60。得到ADEC,點AB的對

應點分別為RE,延長54交DE于點尸，下列結論一定正確的是（）

一

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

二、填空題

（2024?浙江?中考真題）

12.如圖分別是VABC邊A3,AC的中點，連接BE,DE,若ZAED=/BEC,DE=2,

則BE的長為________

A

BC

（2024.四川成都.中考真題）

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中,已知4（3,0）,5（0,2）,過點3作V軸的垂線/,尸為

直線/上一動點，連接P。，PA,則尸O+9的最小值為____

fc

O\AX

（2024?天津?中考真題）

14.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,F,G均在格點上.

（1）線段AG的長為；

（2）點E在水平網(wǎng)格線上，過點A,E,尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點作切線，分

別與AE,AF的延長線相交于點3,C,VABC中，點時在邊BC上，點N在邊43上，點

P在邊AC上.請用不刻序的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M,N,P,使△MNP的

周長最短，并簡要說明點M,N,P的位置是如何找到的（不要求證明）.

（2024?甘肅臨夏?中考真題）

15.如圖，等腰VA3C中，A5=AC=2,ABAC=120°,將VABC沿其底邊中線AD向下

平移，使A的對應點A滿足AA'=gAD,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

16.矩形ABCD的面積是90,對角線AC,BD交于點O,點E是BC邊的三等分點,連接DE,

點尸是DE的中點，OP=3,連接CP,則尸C+PE的值為.

（2024?山東?中考真題）

17.如圖，已知/M4N,以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與A"、AN相交于

點B,C；分別以C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在NM4N內部相交于

點P,作射線分別以A,B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點。，

E,作直線OE分別與AB,AP相交于點尸，Q.若AB=4,"QE=675。,則尸到AN的

距離為.

M

無匕/尸

、乂I。-------------N

（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

18.已知矩形紙片ABC￡>,AB=5,3c=4,點P在邊2C上，連接AP,將△鉆尸沿AP所

在的直線折疊，點2的對應點為8,，把紙片展平，連接BB',CB',當VBCB'為直角三角形

時，線段CP的長為.

（2024?四川內江?中考真題）

19.如圖，在VABC中，ZABC=60°,BC=8,E是3C邊上一點，且3E=2,點/是VABC

的內心，3/的延長線交AC于點。，P是3D上一動點，連接尸E、PC,則PE+PC的最小

值為.

20.如圖，在VABC中，AB=5,tanZC=2,則AC+@8C的最大值為

三、解答題

（2024?陜西?中考真題）

21.如圖，已知直線/和/外一點A,請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角VABC,使得頂

點8和頂點C都在直線/上.（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，

不寫作法）

A

（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）

22.數(shù)學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在RtaABC中，

ZAC8=90°,ABAC=30°,點D在直線BC上,將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE,

過點E作族〃3C,交直線A8于點？

（1）當點。在線段8C上時，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用">=AE構造全等三角形，便嘗試著在A8上截

取A〃=EF,連接DM,通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當點。在線段BC的延長線上時，如圖②：當點。在線段CB的延長線上時，如圖③，

請判斷并直接寫出線段3D,EF,A3之間的數(shù)量關系；

拓展思考:

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=6g,CD=2BD,貝

（2024?江西?中考真題）

23.追本溯源:

題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）.

（1）如圖1,在VA3C中，3。平分NABC,交AC于點。，過點。作2C的平行線，交AB

于點E,請判斷ABDE的形狀，并說明理由.

方法應用：

（2）如圖2,在645CD中，BE平分/ABC,交邊AD于點E,過點A作AFXBE交DC的

延長線于點E交BC于點G.

①圖中一定是等腰三角形的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

②已知AB=3,BC=5,求CF的長.

（2024?山東威海?中考真題）

24.感悟

如圖1,在中，點C,。在邊8E上，AB=AE,BC=DE.求證：ZBAC=ZEAD.

（1）如圖2,用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點。，點E（點。在點E的左側），使得

NEAD=NBAC,且DE=3C（不寫作法，保留作圖痕跡）；

圖2

（2）如圖3,用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點。，在直線2C上取一點E,使得

NCDE=NBAC,且（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

25.已知VABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/肱W在ZB4C的內部,

點、M、N在8C上，點M在點N的左側，探究線段剛公NC、MN之間的數(shù)量關系.

由N54C=90。，AB=AC可知，將繞點A順時針旋轉90。，得到則CW=3尸

且NP3Af=90。，連接尸易證△⑷WP咨△AWN,可得MP=AfiV,在Rt△尸RW中，

BM2+BP2=MP2)貝U有3"+收=肱/.

(2)當ZBAC=60。時，如圖②：當NBAC=120。時，如圖③，分別寫出線段剛公NC、MN

之間的數(shù)量關系，并選擇圖②或圖③進行證明.

(2024?北京?中考真題)

26.已知/M4N=(z(O°<]<45。)，點、B,C分別在射線AN,AMh,將線段BC繞點8順

時針旋轉180。-2。得到線段BD,過點。作AN的垂線交射線AM于點E.

(1)如圖1,當點。在射線AN上時，求證：C是AE的中點;

(2)如圖2,當點。在NM4N內部時，作D尸〃AN,交射線AM于點F，用等式表示線段研

與AC的數(shù)量關系，并證明。

(2024?湖北武漢?中考真題)

27.如圖是由小正方形組成的3x4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.VA3C三個頂點都

是格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

⑴在圖（1）中，畫射線交BC于點。，使平分VABC的面積；

⑵在（1）的基礎上，在射線AD上畫點E,使NECB=ZACB；

（3）在圖（2）中，先畫點F,使點A繞點/順時針旋轉90。到點C,再畫射線AF交2C于點

G；

（4）在（3）的基礎上，將線段45繞點G旋轉180。，畫對應線段（點A與點M對應，點

2與點N對應）.

（2024?吉林?中考真題）

28.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,AD是VABC的角平分線.動

點P從點A出發(fā)，以J§cm/s的速度沿折線AD-D3向終點B運動.過點P作尸。〃人3,交

AC于點。以尸。為邊作等邊三角形尸。石，且點C,E在PQ同側，設點尸的運動時間為

t（s）（f>0）,VPQE與VA3C重合部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）當點尸在線段AD上運動時，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用

含/的代數(shù)式表示）.

⑵當點E與點C重合時，求f的值.

（3）求S關于/的函數(shù)解析式，并寫出自變量f的取值范圍.

參考答案:

1.c

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質以及三角形全等的性質與判定，掌握相關的線段與

角度的轉化是解題關鍵.連接4D,根據(jù)等腰直角三角形的性質以及AE=CF得出

VADE^CDF,將四邊形AEDF的面積轉化為三角形ADC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接AD,如圖：

VZBAC=90°,AB=AC=6,點。是2C中點，AE=CF

：.ABAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC

NADE^CDF,

,?S四邊形AEDF=+*^AAZ)F=^ACFD+^AA￡>F=^AADC=ABC

又

?—、S△AADRCC=6x6x2—=18

==(

,?S四邊形AEDF2^^ABC^

故選：C

2.A

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的判定和

性質.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結合等邊三角形的判定得到AMC等邊

三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：在Rt^ABC中，ZABC=90°,。是AC的中點，

BD=-AC=CD,

2

9：ZBDC=60°,

???△5DC等邊三角形，

BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故選：A.

3.A

【分析】此題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，由旋轉得

AC=AE,ZC4E=90°,DE=BC=\,推出八4?！晔堑妊苯侨切?，CE=4,過點A

作于點“，得到HD=1,利用勾股定理求出AD的長.

【詳解】解：由旋轉得ZC4E=90°,

AAC=AE,NC4E=90。，DE=BC=1,

...aACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

過點A作AHLCE于點”，

2

/.HD=HE-DE=2-1=1,

AD=y/AH2+HD2=A/22+12=45，

故選：A.

4.B

【分析】本題考查了弧長公式,等邊三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質；連接5C,

根據(jù)BD1OC,易證△05。是等腰三角形，再根據(jù)03=。。，推出AC?。是

等邊三角形，得到N8OC=60。，即可求出NAOC=20。，再根據(jù)弧長公式計算即可.

/.OB=BC,

「?△O5C是等腰三角形,

??,OB=OC,

..OB=OC=BC,

△03。是等邊三角形，

ZBOC=60°,

=80°,

??.ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

???OA=3,

..20x3兀7i

,?AC——,

1803

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形的性質，折疊的性質，勾股定理是解題

的關鍵.

根據(jù)矩形的性質和折疊的性質推出N/W拉=NZZ4N,進而得出￡A=4V,設E4=AN=Acm,

貝I]EM=(12-x)cm,根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【詳解】解：???四邊形A5c。是矩形，

AB=CD=10cm,

r

由折疊可得：AM=^AB=5cmfAD=AD=12cmfMN±AB,ADAN=3AN，

???四邊形AAWD是矩形，

：.MN\\AD,MN=AD=12cm,

：.ZDAN=ZANM,

:?ZANM=/D'AN,

：.EA=EN,

設_E4=EZV=xcm,貝!JEM=(12-x)cm,

在RtZWWE中，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2^AE2,

§P52+(12-X)2=X2,

在,169

斛得：X=~~7，

24

即EN="^cm,

24

故選：B.

6.B

【分析】本題考查了對稱的性質，等腰三角形的性質等;

A.由對稱的性質得NAO3=/￡)OC,由等腰三角形的性質得ZBOE^^ZAOB,

ZDOF=-ZDOC,即可判斷;

2

B.ZBOC不一定等于NAQB,即可判斷；

C.由對稱的性質得AOAB%QDC,由全等三角形的性質即可判斷；

D.過。作GAf_LO”,可得ZGOD=ZBOH,由對稱性質得=/CO"同理可證

ZAOM=ZBOH,即可判斷；

掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A.vOEYOF,

.-.ZBOE+ZBOF=90°,

由對稱得ZAOB=ZDOC,

.?,點、E,尸分別是底邊AB,的中點，△OAB與AODC都是等腰三角形，

ZBOE^-ZAOB,ZDOF^-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF=90°,

OB±OD,結論正確，故不符合題意；

B./BOC不一定等于NAO3,結論錯誤，故符合題意；

C.由對稱得AOAB%ODC,

:點E,尸分別是底邊AB,8的中點，

：.OE=OF,結論正確，故不符合題意；

<?

過。作GM_LOH,

ZGOD+/DOH=90°,

:NBOH+NDOH=90°,

ZGOD=ZBOH,由對稱得NBOH=NCOH,

:.Z.GOD=Z.COH,

同理可證ZAOM=Z.BOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,結論正確，故不符合題意;

故選：B.

7.C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方

程可得再=3,%=7,根據(jù)三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進

而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程V一i0x+21=0得，%=3,x2=7,

：3+3<7,

...等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

8.B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30。的直角三角形的性質，等腰三角形的判定等知識，由

作圖知AD平分254。，則可求NC4D=NZMB=30。，利用含30。的直角三角形的性質得

出利用等角對等邊得出AD=3D,進而得出=然后利用面積公式即

22

可求解.

【詳解】解：：NC=90°,ZB=30。，

ZG45=60°,

由作圖知：AD平分NBA。，

ZCAD=ZDAB=3Q°,

：.CD=^AD,ZB=ZBAD,

:.AD=BD,

：.CD^-BD,

2

BD2

S、ABD^BDAC

2

又AACD的面積為8,

△ABD的面積是2x8=16,

故選B.

9.B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，對頂角的性質，勾股定理，過點。作

￡>E_LCB的延長線于點E,則/3ED=90。,由NACB=90。，AC=3C=2,可得AB=2百，

ZA=ZABC=45°,進而得到8=20,ZDBE=45°,即得VBDE為等腰直角三角形，得

到=設DE=BE=x,由勾股定理得（2+才+/，求出x即可求解，正確作

出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：過點。作DELCB的延長線于點E,則/血>=90。，

VZACB=90°,AC=3C=2,

AB=V22+22=2-J2>ZA=ZABC=45°,

:.CD=2屈,NDBE=45。,

；?VBDE為等腰直角三角形，

/.DE=BE,

設DE=BE=x,貝！］CE=2+x,

在RtACDE中，CE-+DE2=CD2,

（2+域+尤2=（2友『，

解得占=6-1,x2=-V3-1（舍去），

10.D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，解直角三角形的應用.利用三角函數(shù)的定義分別求

得DE=2百，BE==AE,CD=673,利用新鋼架減少用鋼

=AC+BC+CD-AE-BE-DE,代入數(shù)據(jù)計算即可求解.

【詳解】解：：等邊VABC,CD_LAB于點。，力B長12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

?；ABED=60°,

tan60。=些=5

DE

DE=2g,

BE=dDE?+BD2=46=AE，

?；ZC5D=60°,

/.CD=BD-tanZCBD=>J^BD=6石m,BC=AC=AB=12m,

，新鋼架減少用鋼=AC+BC+CD-AE-BE-DE

=24+6舁8舁2相=（24-46）1!1,

故選：D.

11.D

【分析】本題考查了旋轉性質以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正

確掌握相關性質內容是解題的關鍵.先根據(jù)旋轉性質得N3CE=NACD=60。，結合48=30。,

即可得證3尸，CE,再根據(jù)同旁內角互補證明兩直線平行，來分析AC〃小不一定成立；

根據(jù)圖形性質以及角的運算或線段的運算得出A和C選項是錯誤的.

【詳解】解：記正與CE相交于一點如圖所示：

?/VABC中，將VABC繞點C順時針旋轉60°得到QEC,

：.N3CE=ZACD=60°

?；ZS=30°

...在ABHC中，ZBHC=180°-Z.BCE-ZB=90°

BFLCE

故D選項是正確的，符合題意；

設NACW=x°

ZACB=60°-x°,

,?ZB=30°

ZEDC=ABAC=180°-30°-（60°-x°）=90°+x。

ZEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+^0

不一定等于30。

/./EDC+NAC。不一定等于180。

，AC〃上不一定成立，

故B選項不正確，不符合題意；

VZACB=60°-x°,ZACD=6O°,x。不一定等于0。

/.ZACB=NACO不一定成立，

故A選項不正確，不符合題意；

將VABC繞點C順時針旋轉60°得到ADEC,

/.AB=ED=EF+FD

,BA>EF

故C選項不正確，不符合題意；

故選：D

12.4

【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出NC=ZAED=/BEC,得出BE=BC=4

【詳解】解：E分別是VABC邊AB,AC的中點，

，DE是VABC的中位線，

DE//BC,BC=2DE=4,

：.ZAED=ZC,

ZAED=ZBEC,

：.ZC=NBEC,

：.BE=BC=4,

故答案為：4

13.5

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質.先取點A關于直

線/的對稱點A,連A'O交直線/于點C,連AC,得到AC=A'C,,再由軸對稱圖

形的性質和兩點之間線段最短，得到當O,P,A三點共線時，PO+PA的最小值為A0,再

利用勾股定理求A'O即可.

【詳解】解：取點A關于直線/的對稱點A,連A'O交直線/于點C,連AC,

則可知AC=A'C,AA_L/,

PO+PA=PO+PA'>A'O,

即當O,P,A!三點共線時，尸。+上4的最小值為A'O,

:直線/垂直于y軸，

，A'A_Lx軸，

???4(3,0),5(0,2),

/.AO=3,AA=4,

...在RLA'A。中，

AO=-JOAr+AA'2=732+42=5，

故答案為：5

A

14.V2圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質等知識，根據(jù)題意正確作圖是解題的關鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點M關于AB、AC的對稱點M2,連接赫區(qū)、MtM2,分別與AB、AC相交

于點E、P,△ACVP的周長等于的長，等腰三角形的腰長為AM，當A"的

值最小時，叫“2的值最小，此時〃是切點，由此作圖即可.

【詳解】(1)由勾股定理可知，AG=EF=&，

故答案為：亞

（2）如圖，根據(jù)題意，切點為M；連接ME并延長，與網(wǎng)格線相交于點/門取圓與網(wǎng)格

線的交點。和格點連接?！辈⒀娱L，與網(wǎng)格線相交于點加2；連接加也2,分別與A3,

AC相交于點N,P,則點M,N,P即為所求.

【分析】本題考查平移的性質，相似三角形的判定和性質，三線合一，根據(jù)平移的性質，推

出AA跖SAAB'C,根據(jù)對應邊上的中線比等于相似比，求出所的長，三線合一求出AD

的長，利用面積公式進行求解即可.

【詳解】解：：等腰VA3C中，AB=AC=2,ZBAC=120°,

ZABC=30°,

：AD為中線，

AADJ.BC,BD=CD,

AD=—AB=1,BD=#）AD-y[3,

BC=26,

..?將YABC沿其底邊中線AD向下平移，

AB'C//BC,B'C=BC=273,HG=AD=1,

^EF^AB'C,

.EFA'D

?.,AAr=-AD,

3

,22,2

DA,=-AD=-A,G=~,

333

.EFAD2

3

EF=

14^/324石

—X---------X—=----------

2339

故答案為：字

16.13或Vi而

【分析】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，勾股定理.當CE＞的時，利用三角

形中位線定理求得CE=12,再求得矩形的邊長，利用勾股定理求得DE的長，再根據(jù)斜邊中

線的性質即可求解；當CE＜3E時，同理求解即可.

【詳解】解：當CE＞即時，如圖，

:矩形A3m

；.點。是3。的中點，

:點P是。E的中點，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:點E是BC邊的三等分點，

:.CE=2BE=12,BC=3BE=18,

:矩形ABC。的面積是90,

3cxe￡>=90,

CD=5,

?'?DE+12?=13,

PC+PE=DE=13；

當CE<3E時，如圖，

:矩形ABC。，

二點。是3。的中點，

,?,點P是。E的中點，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:點E是BC邊的三等分點，

ACE=-BE=3,BC=3+6=9,

2

:矩形ABC。的面積是90,

BCxCD=90,

：.CD=1O,

DE=A/32+102=A/109，

/.PC+PEDE=y/W9；

故答案為：13或對.

17.72

【分析】如圖，過F作用，AC于H,證明/BAP=NC4P,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,

再證明ZFAH=45°,再結合勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，過/作FH_LAC于//,

由作圖可得：ZBAP=ACAP,DEJ.AB,AF=BF=-AB=2,

?：NPQE=67.5°,

ZAQF=67.5°,

???ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

???ZFAH=45°,

：.AH=FH=—AF=y/2,

2

.../到AN的距離為&；

故答案為：夜

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：基本作圖，三角形的內角和定理的應用，勾股定理的

應用，等腰三角形的判定，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形

的基本性質，逐步操作.

18.|?或2

【分析】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，

分兩種情況進行討論：當4CB'=90。時，當/M'C=90。，分別畫出圖形，求出結果即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD為矩形，

ZBCD=ZADC=ZABC=ZBAD=90°,AB=CD^5,AD=BC=4,

當=90°時，如圖所示：

?/ZBCD=90°,

...點"在CD上，

根據(jù)折疊可知：AB'=AB=5,BP=B'P,

設CP=x,則族=3'P=4-x,

DB'=y]AB'2-AD2=J52—42=3，

CB'=DC—DB'=5-3=2,

在Rt^CB'P中，根據(jù)勾股定理得：B'P-=B'C2+CP2,

即（4-X）2=22+X2,

3

解得：x=j

3

即CP=*

當NBB'C=90°,如圖所示:

根據(jù)折疊可知：BP=B'P,

NPBB'=ZPB'B,

?/NPBB'+ZBCB'=90°,ZPB'B+ZPB'C=90°,

ZBCB'=ZCB'P,

PC=PB',

：.PC=PB,

?/BC=BP+PC=4,

：.CP=2；

3

綜上分析可知：CP=］或2.

..3

故答案為：3或2,

19.2小

【分析】在A3取點尸，使成=3E=2,連接尸尸，CF,過點P作3c于X,利用三

角形內心的定義可得出=利用SAS證明ABEABEP,得出PF=PE,貝U

PE+PC=PF+PC>CF,當C、P、尸三點共線時，尸E+PC最小，最小值為CF,利用含

30。的直角三角形的性質求出利，利用勾股定理求出FH,CF即可.

【詳解】解：在A3取點憶使BF=BE=2,連接Pb,CF,過點P作F”_L3c于X,

:/是VABC的內心,

/.3/平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

:.ABFPmABEP(SAS),

：.PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

當C、P、尸三點共線時，PE+PC最小,最小值為CF,

'：FH1BC,ZABC=60。，

ZBFH=30°,

BH=-BF=1,

2

FH=ylBF2-BH2=>CH=BC-BH=7,

CF=yjCH2+FH2=2匹，

/.PE+PC的最小值為2屈\

故答案為：2屈.

【點睛】本題考查了三角形的內心，全等三角形的判定與性質，含30。的直角三角形的性質，

勾股定理等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形和含30。的直角三角形是解

題的關鍵.

20.50

【分析】過點2作3OLAC,垂足為。，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到

6

Ac+Bc

T=AC+DC,延長。。到使EC=CD=x,連接班，如圖所示，從而確定

B

叱

AC+C

5=AC+DC=AC+CE=AE,NE=45。,再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在

AE是。。的弦，求AC+且BC的最大值就是求弦AE的最大值，即AE是直

上運動,

5

徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：過點8作3￡>_LAC,垂足為。，如圖所示：

tanZC=2,

.?.在RtZXBCD中，設。C=x,則8D=2x,由勾股定理可得BC=&,

—==—,即或BC=DC,

BC氐55

AC+—BC=AC+DC,

5

延長0c到E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示:

AC+—BC=AC+DC=AC+CE=AE,

5

VBD±DE,DE=2x=BD,

.?△瓦龍是等腰直角三角形，則NE=45。,

AC+且BC的最大值就是求弦AE的最大值，根據(jù)圓的性質可知，當弦AE過圓心。，即AE

5

是直徑時，弦最大，如圖所示:

z,x

*z/I:1\

；o/\?.?AE是。。的直徑，

\/'/L/

A、、、一一一/B

/.ZABE=90°,

?.?ZE=45。，

「?4AB石是等腰直角三角形，

???AB=5,

，3E=AB=5,則由勾股定理可得AE=^AB1+BE2=50■，即AC+爭C的最大值為50，

故答案為：572.

【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、

圓的性質、圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦

定角模型的解法是解決問題的關鍵.

21.見解析

【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖.過點A作垂足為8,再

在直線/上截取點C,使3C=AB,連接AC,則VABC是所求作的等腰直角三角形.

【詳解】解：等腰直角VABC如圖所示：

22.(1)見解析；(2)圖②：AB=BD-EF,圖③：AB=EF-BD；(3)10或18

【分析】(1)在A3邊上截取AM=EF,連接根據(jù)題意證明出ARUW/AAEF(SAS),

得到AF=D暇，然后證明出是等邊三角形，得到?。?&欣=。心，進而求解即可;

(2)圖②：在3。上取點H,使BH=AB,連接并延長到點G使AG=AF,連接。G,

首先證明出△ABH是等邊三角形，得到NB4H=60。，然后求出的H=NH4E,然后證明

出△E4石/△GW(SAS),得至lj跖=DG,ZAFE=ZG,然后證明出△D"G是等邊三角形，

得到DH=DG=EF,進而求解即可；

圖③：在￡F上取點〃使AH=A尸，同理證明出△E4H0~W5(AAS),得到=

AB=EH,進而求解即可；

(3)根據(jù)勾股定理和含30。角直角三角形的性質求出5C=6,AB=12,然后結合CD=2B。,

分別(1)(2)的條件下求出5D的長度，進而求解即可.

【詳解】(1)證明：在A3邊上截取AM=￡F,連接。A/.

在RtZXABC中，ZB=90°-ABAC=90°-30°=60°.

\-EF\\BC,

ZEFB=ZB=60°.

又???NE4Z)=60。，

:.ZEFB=ZEAD.

y.\-ZBAD=ZEAD-ZEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

.\ZBAD=ZAEF.

又?.?AD=A瓦AM=￡7"

/.△ZMM^AAEF(SAS).

.\AF=DM.

ZAMD=ZEFA=180?！猌EFB=180?！?0°=120°.

/.ZBMD=180?！猌AMD=180?！?20°=60°.

vZB=60°,

:.ZBMD=ZB=ZBDM.

「.△5AZZ)是等邊三角形.

:.BD=BM=DM,

\AB=AM+BM,

/.AB=EF+BD；

(2)圖②：當點。在線段3c的延長線上時，AB=BD—EF,證明如下：

如圖所示，在8。上取點”，使B“=AB,連接4〃并延長到點G使AG=AF,連接E?G,

A

**?AABH是等邊二角形，

???NR4H=60。，

???線段AT＞繞點A順時針旋轉60。得到線段AE,

ZZME=60°,AE=AD,

ZBAH=ZDAE,

AZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,^ZBAE=ZHAD,

XVAG=AFf

：.年△GW(SAS),

；?EF=DG,ZAFE=ZG,

,:BD〃EF,

：.ZABC=ZF=ZG=60°,

'：ZDHG=ZAHB=60°,

???△D"G是等邊三角形，

：.DH=DG=EF,

：.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

圖③：當點。在線段CS的延長線上時，AB=EF-BD,證明如下：

如圖所示，在所上取點“使AH=AF,

EF//BC,

：.ZF=ZABC=60°,

9：AH=AF,

△AHF是等邊三角形,

：.ZAHF=ZHAF=60°,

：.ZAHE=120。，

??,將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE,

AAD=AE,NDAE=60°,

：.ZDAB+ZEAH=1800-ZEAD-ZHAF=60°f

???ZD+ZZMB=Zz4BC=60°,

:.ZD:/EAH,

,/ZDBA=180°-ZABC=120°=ZEHA,

又???=

???△E4H^AAT>B（AAS）,

ABD=AH,AB=EH,

???AH=FH,

:?BD=HF,

:.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

（3）如圖所示，

：.AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

/.（2BC）2=BC2+（6A/3）2,

JBC=6,

：.AB=2BC=U,

CD=2BD,BC=BD+CD,

???CD=-BC=2,

3

由（1）可知，BD+EF=AB,

：.EF=AB-BD=12-2=10；

如圖所示，當點。在線段BC的延長線上時,

VCD<BD,與CD=23r>矛盾，

.??不符合題意；

如圖所示，當點。在線段CB的延長線上時,

VCD=2BD=BD+BC,BC=6,

：.BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

AB=2BC=12,

：.EF=AB+BD=12+6=18.

綜上所述，￡F=10或18.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，等邊三角形的性質和判定，含30。

角直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點.

23.（1）ASDE是等腰三角形；理由見解析；（2）①B；②CF=2.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質和等腰三角形的判定和性質等知識，熟練掌握平行四

邊形的性質和等腰三角形的判定是解題的關鍵；

（1）利用角平分線的定義得到=利用平行線的性質得到=

推出ZBDE=ZABD,再等角對等邊即可證明&BDE是等腰三角形；

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性質可以得到四個等腰三角形；

②由①得=D/，利用平行四邊形的性質即可求解.

【詳解】解：（1）ABDE是等腰三角形；理由如下：

???&)平分/ABC,

???ZABD=ZCBD,

?：DE〃BC,

：.NBDE=/CBD,

:.ZBDE=ZABD,

；?EB=ED,

???△5。石是等腰三角形；

(2)①???nABC。中，

AE//BC,AB//CD,

同(1)ZABE=ZCBE=ZAEB,

：.AB=AE,

,:AFA.BE,

ZBAF=ZEAF，

u：AE//BC,AB//CD,

：.ZBGA=ZEAFfZBAF=ZF,

'：ZBGA=ZCGFf

：.ZBGA=ZBAG,ZDAF=ZF,/CGF=NF,

AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即AABE、AASG.AADF、ACG尸是等腰三角形；共有四個,

故選：B.

②：DABCr)中，AB=3,BC=5,

：.AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得尸，

CF=DF-CD=5-3=2.

24.見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質、尺規(guī)作圖：

證明當44￡0,即可求得NBAC=/E4￡>；

應用(1)：以點A為圓心，以A3長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E,以

點A為圓心，以AC長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點。，連接AD,AE-,

應用(2)：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點。，

以點C為圓心，以8C長為半徑作弧，交直線8C于一點，該點即為點E,連接DE.

【詳解】感悟：

,/AB=AE,

,Z6=ZE.

在VABC和中

AB=AE

<NB=NE

BC=DE

，/BAC=NEAD.

應用：

(1)：以點A為圓心，以AB長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E,以點A為

圓心，以AC長度為半徑作弧，交直線2C于一點，該點即為點。，連接AD,AE,圖形如

圖所示.

(2)：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點￡>,以點

C為圓心，以3C長為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E,連接。E,圖形如圖

所示.

根據(jù)作圖可得：CD=AC,CE=BC,

又ZACB=NDCE,

:.AACB冬ADCE,

:.NCDE=NBAC,DE=AB.

A

25.圖②的結論是：BM2+NC2+BM-NCMN2:圖③的結論是:

BM2+NC2-BM-NC=MN2;證明見解析

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，30度角所對的直角

邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，選②，以點8為頂點在VABC外作NABK=60。，在

8K上截取BQ=CN,連接QAQM,過點。作垂足為“，構造全等三角形，

得出AN=A。，ZCAN=ZQAB,再證明四△4VM,得到MN=QM.在RtAQHM

中由勾股定理得。82+碗2=。加2,即^-BQ+(BM+^BQ]=。知2,整理可得結論；

選③方法同②

【詳解】解：圖②的結論是：BM2+NC2+BMNC=MN2

證明：：AB=AC,N8AC=60。，

...VABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=60°,

以點B為頂點在VABC外作/A6K=60。，在BK上截取BQ=CN,連接QAQM,過點Q

作QHL8C,垂足為H,

.,.△ACNdAB